時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)的混沌性

田傳俊，陳關(guān)榮

1)深圳大學(xué)信息工程學(xué)院，深圳518060;2)香港城市大學(xué)電子工程系，香港

離散系統(tǒng)的類(lèi)隨機(jī)性在保密通信設(shè)計(jì)和隨機(jī)模擬等理論中有重要應(yīng)用. 離散系統(tǒng)的混沌性是當(dāng)前類(lèi)隨機(jī)性研究的熱點(diǎn)之一. 盡管時(shí)不變離散系統(tǒng)的混沌研究成果眾多［1-2］，但對(duì)時(shí)變離散系統(tǒng)的混沌研究成果仍較少. 時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)含有無(wú)限多個(gè)初始參數(shù)，當(dāng)它被用于保密通信中時(shí)，這些參數(shù)可保證保密系統(tǒng)有足夠多的密鑰數(shù)量，因而可克服低維混沌系統(tǒng)含有較少參數(shù)的缺點(diǎn). 可見(jiàn)，將時(shí)變離散時(shí)空混沌系統(tǒng)研究用于保密通信設(shè)計(jì)具有巨大的潛在價(jià)值.

本研究討論的時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)為

其中，k ∈N1= {1，2，…};m，n ∈N0= {0，1，…}，m 是時(shí)間變量;n 是空間位置變量;I 是R 的一個(gè)有界子集，f:N0× Ik+1→I 是實(shí)函數(shù).

由于有限維離散系統(tǒng)是離散時(shí)空系統(tǒng)的特殊情形，且時(shí)不變系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)的特殊情形，因此，系統(tǒng)(1)是相當(dāng)廣泛的一類(lèi)離散系統(tǒng)，包含許多特殊情形，如文獻(xiàn)［3-8］所研究的系統(tǒng)都是系統(tǒng)(1)的特殊形式. 文獻(xiàn)［2］指出，離散時(shí)空系統(tǒng)等價(jià)于無(wú)窮維離散系統(tǒng). 盡管有文獻(xiàn)在研究時(shí)變離散系統(tǒng)時(shí)是從一般度量空間中離散系統(tǒng)開(kāi)始入手的，但主要結(jié)果大都只適用于有限維的離散系統(tǒng)［3-11］. 經(jīng)檢索，目前尚未見(jiàn)文獻(xiàn)直接研究時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)的混沌性. 為此，本研究將探討研究系統(tǒng)(1)的混沌性，并給出f 為特殊函數(shù)時(shí)的幾個(gè)結(jié)果.

1 等價(jià)系統(tǒng)

設(shè)I 為有界實(shí)數(shù)子集，I2= I × I，It+1= I × It，t ∈N1，且

其中，m ∈N0，則系統(tǒng)(1)等價(jià)于無(wú)窮維離散系統(tǒng)

2 混沌及相關(guān)定義

設(shè)(X，d)是一個(gè)度量空間，g1，g2，…，gn，…是X上的映射，則由該映射列確定的時(shí)變離散系統(tǒng)為

顯然，對(duì)任意x0∈X，可得

參照文獻(xiàn)［1，4-6］，給出定義1 至定義7 以及引理1.

對(duì)于度量空間(X，d)上的一列映射g1，g2，…，gn，… 為便于表述，對(duì)任意x ∈X，記G0(x)= x 和

或 在I∞上是傳遞的，或周期點(diǎn)是稠密的，又或初值敏感依賴(lài)的，則稱(chēng)系統(tǒng)(1)或函數(shù)f 是傳遞的，或周期點(diǎn)是稠密的，又或初值敏感依賴(lài)的;若系統(tǒng)(4)或F = {Fn}∞n=1在Devaney 意義下是混沌的，則稱(chēng)系統(tǒng)(1)在Devaney 意義下是混沌的.

定義6 設(shè)I 和J 是兩個(gè)有界實(shí)數(shù)集，e:N0×Jk+1→J 和f:N0×Ik+1→I 是兩個(gè)函數(shù)，h:J →I 是一個(gè)同坯映射. 稱(chēng)f 和e 是h - 共軛的，若對(duì)任意x0，x1，…，xk，…，其中xk∈J 和m ∈N0，都有

3 主要結(jié)果

考慮另一形式的時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)

其中，x0，n∈J，且m，n ∈N0，則系統(tǒng)(11)等價(jià)于一個(gè)時(shí)變無(wú)窮維離散系統(tǒng)，可設(shè)為

這里，xm∈J∞，m ∈N0;J 是有界實(shí)數(shù)集;k 是正整數(shù);e:N0× Jk+1→J 是實(shí)函數(shù);Ej:J∞→J∞是由函數(shù)e 導(dǎo)出的映射，且j ∈N1.

則稱(chēng)H:I∞→J∞是由h 導(dǎo)出的一個(gè)映射. 由此很容易證明H 是一一對(duì)應(yīng)的映射，因而是可逆的.

證畢.

證畢.

下面通過(guò)示例說(shuō)明如何構(gòu)造具體的時(shí)變離散時(shí)空混沌系統(tǒng).

設(shè)I =［0，1)和k ∈N1，且f:N0× Ik+1→I 定義為:對(duì)任意x0，x1，…，xk∈I，有

考慮系統(tǒng)(1)特殊形式的時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)為

其中，對(duì)任意m，n ∈N0，都有x0，n∈I.

將系統(tǒng)(15)所等價(jià)的無(wú)窮維離散系統(tǒng)設(shè)為

其中，xm= (xm，0，xm，1，…)∈I∞，m ∈N0，且Fn是由f 所導(dǎo)出的I∞上的映射，n ∈N1.

【證】由條件可知，對(duì)一切m ∈N0和i = 0，1，…，k，都有ai，m= ai，m+p. 由式(4)和式(14)可知，對(duì)任意m ∈N0和x = (x0，x1，…xi，…)∈I∞，都有

因此，對(duì)任意n ∈N1，都有Fn= Fn+p.

證畢.

由引理3，可得推論1.

引理4 對(duì)任意m ∈N1和a，b ∈I =［0，1)，一定存在c ∈I，使得〈a + rmc〉= b.

【證】由r ≥1，可得rm≥1. 定義函數(shù)g(x)=rmx，x ∈I，則g(I)= {g(x)| x ∈I}?I. 因此，對(duì)任意a ∈I，有a +g(I)= {a +g(x)| x ∈I}?［a，a +1)和〈a + g(I)〉={〈a + g(x)〉| x ∈I}= I.于是，對(duì)任意b ∈I，存在c ∈I，使〈a + rmc〉= b.

證畢.

定理2 時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)(15)在度量空間(I∞，d1)上是Devaney 混沌的，其中，d1是由式(8)定義的一個(gè)度量.

【證】由定義5 可知，只需證明系統(tǒng)(16)在(I∞，d1)上是Devaney 混沌的.

定義函數(shù)g1:對(duì)任意u0，u1，…，uk-1∈I，有

則對(duì)n ∈N，有

利用歸納法，對(duì)任意m ∈N1，都存在一個(gè)與n ∈N0無(wú)關(guān)的函數(shù)gm:Imk→I，使得對(duì)n ∈N0，都有

由已知條件和引理4，對(duì)任一整數(shù)m ∈N1和任意η，η0，η1，…，ηmk-1∈I，都存在ηmk∈I，使得

對(duì)于充分大的整數(shù)m ＞0 和M = mk，由式(18)和式(19)可知，存在ρ = (c0，c1，…)∈Bθ(α)，使得對(duì)任意i ∈{0，1，…，mk -1}，都有ci= ai，且對(duì)任意j ∈{mk，mk + 1，…}，都有cj∈I，以及〈gm(c0，c1，…，cmk-1)+ rmcmk〉= b0和〈gm(cs，…，cs+mk-1)+ rmcs+mk〉= bs，s ∈N0.

因此，Gm(ρ)= Fm?…?F1(ρ)= β ∈V，且ρ ∈U. 于是，系統(tǒng)(16)在(I∞，d1)上是傳遞的.

與傳遞性證明類(lèi)似，存在ρ = (c0，c1，…)∈Bε0(α)，使得對(duì)任意i ∈{0，1，…，mkp -1}，有ci=ai，且對(duì)任意j ∈{mkp，mkp +1，…}，有cj∈I，及〈gmp(c0，c1，…，cmkp-1)+ rmpcmkp〉= c0，〈gm(cs，…，cs+mkp-1)+ rmpcs+mkp〉= cs，s ∈N0，其中，對(duì)任意n ∈N1，gn與上面?zhèn)鬟f性證明過(guò)程中的定義相同. 因此，ρ ∈U 和

由式(17)和推論1，可得

利用歸納法可證，對(duì)任意s ∈N1，都有

綜上可知，系統(tǒng)(16)在度量空間(I∞，d1)上是Devaney 混沌的.

證畢.

【例】考慮如下時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)

其中，x0，n∈［0，1)，m，n ∈N0，am= 2 +(-1)m;bm= (m +1)mod(5)，m ∈N0.

對(duì)系統(tǒng)(20)單軌道的混亂性和初值的敏感性進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，結(jié)果見(jiàn)圖1 和圖2. 圖1 是隨機(jī)產(chǎn)生的任意初值序列得到的比較“混亂”的單軌道xm，n的效果圖. 圖2 是各個(gè)分量相差1 ×10-5的兩個(gè)初值序列相應(yīng)解的差值即xm，n- ym，n的效果圖，可見(jiàn)對(duì)初值的敏感性.

由定理1 和定理2，通過(guò)變換ym，n= qxm，n，可得推論2.

推論2 設(shè)時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)為

圖1 單軌道混亂性仿真圖Fig.1 Simulation of chaoticity of a single orbit

圖2 初值敏感性仿真圖Fig.2 Simulation of sensitivity to initial conditions

結(jié) 語(yǔ)

本文研究一類(lèi)時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)的Devaney 混沌性. 由于時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)等價(jià)于某種無(wú)窮維離散系統(tǒng)，因此，利用度量空間中Devaney 混沌性概念給出了這類(lèi)時(shí)變離散時(shí)空系統(tǒng)是Devaney 混沌的新概念，舉例說(shuō)明了如何構(gòu)造特殊形式的時(shí)變離散時(shí)空混沌系統(tǒng)的方法，可供日后研究借鑒.

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