仿生柔性并聯(lián)機器人的逆運動學與優(yōu)化設計

孫黎霞 宋洪剛 高丙團 湯 奕

(1河海大學能源與電氣學院,南京 210098)(2東南大學電氣工程學院,南京 210096)

在生化試驗、戰(zhàn)爭和搶險救災等特殊情境下,人們需要穿戴防化服和防毒面具等個人防護裝置(PPE)以及通訊設備進行作業(yè),PPE在人頭頸動作時會產(chǎn)生噪聲[1-3]．為了提高在此類噪聲情況下人們的通訊質量,需開發(fā)一種低運動噪聲的仿人頭頸機器人．基于文獻[1-3]提出的仿人頭頸系統(tǒng),本文給出一種簡化的以壓縮彈簧模擬頸椎和3根繩索模擬頸部肌肉的仿人頭頸并聯(lián)機器人．

仿人頭頸作為仿人機器人中的一個重要部分,其驅動結構類型可分為兩大類:串聯(lián)式和并聯(lián)式．與傳統(tǒng)串聯(lián)機構相比,并聯(lián)機構具有運動慣性小、承載能力高、動態(tài)響應快等優(yōu)點[4],而繩索驅動的并聯(lián)機構除具有上述優(yōu)點外,還具有工作空間大、精度高、可遠程驅動等特性[5],因此近年來得到越來越多的研究者關注．SAYA機器人的頸部由一根彈簧和幾根氣動的人工肌肉組成,其中彈簧支撐人頭模型,氣動的人工肌肉驅動頭部運動[6]．iCub機器人頸部有2種并聯(lián)結構形式[7]:① 由1個壓縮彈簧和3根相隔120°驅動繩索組成;② 1個球副脊柱和3根雙向驅動腿組成．在James仿生機器人中也有一種類似于第一種結構形式的頭部模型[8]．但是,上述文獻中未對系統(tǒng)逆運動學進行定量分析．

由于繩子只能產(chǎn)生單方向的拉力而不能產(chǎn)生推力,因此對于具有n個自由度的繩索驅動機器人一般至少需要n+1根驅動繩索[5]．文獻[3]給出的4繩索驅動的柔性仿人頸系統(tǒng)在實現(xiàn)仿人頸的Pitch和Roll兩自由度運動時存在一個冗余度,從而使得系統(tǒng)成本增大．理論上,并聯(lián)機構中實現(xiàn)仿人頸的兩自由度運動只需要3根120°分布的繩索,且3根繩索驅動的仿人頸并聯(lián)機構是研究多繩索驅動的仿人頭并聯(lián)機構的基礎．鑒于此,本文針對3根繩索驅動的柔性仿人頭系統(tǒng)的運動學和靜力學進行深入的研究,在此基礎上對3根繩子在基座和動平臺的端點位置進行了優(yōu)化設計．

1 機構描述

本文研究的并聯(lián)結構基本組成如圖1所示,其主要包括4個部分:

1) 基座．它是機構的固定部分,在其上定義一個全局坐標系OXYZ．坐標系的原點在彈簧底部的幾何中心處,Y軸沿OA1方向,X軸與Y軸垂直;Z軸由右手法則確定．

2) 動平臺．它是機構的非固定部分,在其上定義一個局部坐標系oxyz．坐標系的原點在彈簧頂部的幾何中心處,y軸沿oB1方向,x軸與y軸垂直,z軸由右手法則決定．

4) 彈簧．連接基座和動平臺,利用其產(chǎn)生的力或力矩支撐機器人頭部負荷并實現(xiàn)頭部運動．圖2中O點和o點之間是一條曲線．在O點處,曲線的切線方向垂直于基座所在平面;在o點處,曲線的切線方向垂直于動平臺所在平面．

圖1 繩索驅動的柔性并聯(lián)機構原理圖

圖2 彎曲平面內等效力系統(tǒng)

在上述假設成立的情況下,動平臺的結構可量化出4個參數(shù):θs為s軸與X軸的夾角;θp為基座平面與動平臺平面之間的夾角;t0為動平臺原點到基座平面的垂直距離;s0為基座原點O與o′之間的距離．當然也可以設置其他參數(shù)來描述動平臺的結構配置．對于上述4個參數(shù),其中只有3個是獨立的．一般把s0看作是其他3個參數(shù)的依賴性參數(shù),即一旦給出θs,θp,t0的值,便能求出s0,此時s0一般被看作由其他3個參數(shù)決定的伴隨運動[3]．機構中動平臺的姿態(tài)可以用θs,θp來描述,在其值給定的情況下,可得到動平臺的姿態(tài)變換矩陣．

全局坐標系下,基座上Ai(Oa1,Oa2,Oa3)點的齊次坐標為

類似地，給出動平臺上的Bi(ob1,ob2,ob3)點的齊次坐標，即

利用羅德里格斯公式[9-10],得到從局部坐標系至全局坐標系下的旋轉矩陣ORo，即

從而得到局部坐標系至全局坐標系下的齊次坐標變換矩陣OTo，即

2 逆運動學和靜力學分析

在逆運動學分析中,已知機器人動平臺的姿態(tài)矩陣,求解繩子的長度li．令x=[θs,θp,t0]T∈R3,q=[l1,l2,l3]T∈R3,則兩者之間的關系可表示為

q=f(x),f:R3→R3

如果通過x求出s0,則OTo可完全確定且各繩長由li=‖Oai-OToobi‖求得．由于s0是彈簧側彎時發(fā)生的一種伴隨運動,其值不能隨意設定．因此,為了獲得解決方案,將結合機構的逆運動學和靜力學進行分析．

2.1 力和力矩平衡方程

由上文假設可知,所有繩子中的拉力均可轉化成平面Ost內的力和力矩,否則說明彈簧不在該平面內彎曲．如圖2所示,將繩子的拉力等效成Ost平面內2個互相垂直的力F1,F2及過o點且垂直于Ost平面的力矩M．

一般情況下假設動平臺不受其他外力的作用,此時,動平臺可被看作o點處一個質量為m的點,則力和力矩平衡方程為

(1)

(2)

在式(1)、 (2)中共有7個未知量,分別為T1,T2,T3,F1,F2,M和s0．消除T1,T2,T3后可得到只含有F1,F2,M和s0四個未知量的方程,再結合由彈簧側向彎曲方程導出的3個方程,便可求解上述4個未知量．方程(1)和(2)可分解為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

假設a≠b或者s0sinθp+t0(cosθp-1)≠0,且θs≠kπ/2(k=0,1,2,3,…),綜合式(3)～(8)可得

asinθpcos2θst0)F1-absinθpsinθs(a-

(9)

2.2 彈簧側向彎曲方程

由文獻[2]中對彈簧側向彎曲問題的分析可知,F1,M均可表示成s0的函數(shù),即

F1=D1s0+E1

(10)

M=D2s0+E2

(11)

式中

將式(10)、(11)代入式(9),可得到一個關于s0的二次方程，即

(12)

式中

本文需要找到一個s0∈R≥0．一旦s0確定,其他所有未知量都可以求出．

2.3 特例分析

在2.1節(jié)中,假設a≠b或s0sinθp+t0(cosθp-1)≠0,且θs≠kπ/2,得到方程(9)．

對于假設a≠b或s0sinθp+t0(cosθp-1)≠0是為了得到如下等式：

(13)

當?shù)仁?13)不成立時,則要求a=b且s0sinθp+t0(cosθp-1)=0;而對于這一情況只有在θp=0時才成立,但由于其代表頭頸沒有做彎曲動作,因而研究意義不大,故假設θp≠0,從而保證式(13)恒成立．

當θs=kπ/2時,由2.1節(jié)可知，θs在區(qū)間[0,2π]內存在4個特殊的點,即θs=0,π/2,π,3π/2．本文僅對θs=π的情況進行推導說明,其他特殊情況與其推導過程類似．

結合式(10)、(11)可得到一個類似于式(12)的關于s0的二次方程,從而可求出此時s0的值．

2.4 數(shù)值實現(xiàn)

壓縮彈簧的參數(shù)如表1所示,其中,l0為彈簧原長,h0為彈簧螺距,G為剪切模量,E為彈性模量,r為彈簧半徑,d為彈簧絲的直徑,K為彈簧彈性系數(shù)．由此可計算出彈簧的轉動慣量I和抗彎剛度β0,即

表1 壓縮螺旋彈簧的參數(shù)

其他參數(shù)選擇為a=0.06m,b=0.05m,m=0.05kg．因在實際應用中,t0用來調整3根繩子的預緊力,故仿真時t0取固定值0.085m．通過改變θp∈[0,π/9]和θs∈[0,2π],得到如圖3所示的結果．

由圖3可知,每根繩子的拉力和長度互補,即繩子長度較小時,繩子的拉力就較大;θp越大,繩子的長度和拉力變化范圍就越大;當θp一定時,所有繩子的長度和拉力隨θs在0～2π內的變化曲線是對稱的,為了更清楚觀察這一特點,繪制了θp=π/9,t0=0.085m時所有繩子長度和繩子拉力隨θs∈[0,2π]的變化曲線,如圖4所示．

圖3 逆位置和靜力學

圖4 θp=π/9,t0=0.085m時繩長與拉力隨θs的變化曲線

3 繩子的優(yōu)化布局

基于并聯(lián)機構的逆運動學和靜力學綜合分析,可以對繩子的布局進行優(yōu)化設計以得到最小的繩子驅動力,從而減小驅動器的規(guī)模,降低成本．為實現(xiàn)這一目標,首先要確定優(yōu)化變量．根據(jù)以上推導可知,除變量a和b外,其余變量已給出或需要求解,故選擇a和b為優(yōu)化變量,兩者分別表示繩子在基座和動平臺上的端點位置．

本節(jié)將基于不同的目標函數(shù),通過數(shù)值方法來獲得最佳的a和b．由于機構中共有3根繩子的拉力,需定義適當?shù)哪繕撕瘮?shù)來評估力的大?。旅娑x2種目標函數(shù)分別為3根繩子的拉力之和Tsum與最大繩子拉力Tmax:

式中,Tsum和Tmax分別表示電動機平均出力和最大出力．因繩子只能產(chǎn)生單向驅動力,故繩子拉力均為非負值．因此,定義中含有的絕對值可以去掉．用T表示以上2種目標函數(shù)．則T是θs,θp,a,b的函數(shù)(t0=0.085m),即

T=ξ(θs,θp,a,b)ξ:R4→R

由2.1節(jié)可知,求出Ti的表達式,從而可求得T的解析表達式．由于T的解析表達式一般非常復雜,因此本文將采用數(shù)值迭代法推算其最優(yōu)解．

定義一個關于a和b的優(yōu)化目標函數(shù)g(a,b),g:R2→R,則最小化問題可表示為

g(a,b),al≤a≤au,bl≤b≤bu,Ti≥0

式中,al,au,bl和bu分別是a和b的下限和上限,均可由人頸的大小和彈簧的外直徑推導得出．令al=bl=0.03m,au=bu=0.08m,Ti≥0表示繩子拉力不為負．優(yōu)化后結果可表示為

3.1 最小平均值

最小平均值是指最小化區(qū)域W={(θs,θp)|θs∈[0,2π)且θp∈(0,π/9]}內T的平均值．因此,將W內T的平均值定義為目標函數(shù):

表2 最小平均值目標函數(shù)優(yōu)化結果

3.2 最小-最大值Tmin-max

最小-最大值是指最小化區(qū)域W內T的最大值．因此,將W內T的最大值定義為目標函數(shù):

由于難以得到gmax(a,b)的解析表達式,將θp和θs離散化并估測目標點的值,并通過密集離散化的方法得到gmax(a,b)的函數(shù)值．對應于上述2種目標函數(shù),最小-最大值Tmin-max的優(yōu)化結果如表3所示．從表3中可以看出,同一目標函數(shù)下,對應于不同的初始點,其優(yōu)化結果基本相同．而對應于不同的目標函數(shù),其優(yōu)化結果不完全相同．

表3 最小-最大值目標函數(shù)優(yōu)化結果

4 結語

本文對繩索驅動壓縮彈簧支撐的柔性并聯(lián)機器人的逆運動學進行了分析,解決了3根繩索驅動該機構的逆位置問題,并通過Matlab仿真驗證了其數(shù)學模型的正確性．基于該機構逆位置和靜力學分析,對3根繩子的布局進行了優(yōu)化設計．研究結果表明,不同目標函數(shù)下優(yōu)化結果不盡相同．若想使繩子的拉力平均值最小,最好使繩子端點靠近中心點處;若想使繩子的最大拉力最小,則最好使繩子端點遠離中心點．本文分析方法將有助于進一步研究具有柔性脊柱的并聯(lián)機構．研究成果對于復現(xiàn)人頭頸的運動將起到重要參考作用,同時可促進仿人機器人和繩索驅動技術的發(fā)展．

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