實時混合模擬頻域評價方法的物理意義

徐偉杰 郭 彤 陳 城

(1東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京210096)(2舊金山州立大學(xué)工程學(xué)院,舊金山94132)

實時混合模擬是一種新型的動力試驗方法[1].該方法可實現(xiàn)結(jié)構(gòu)在足尺條件下的實時加載,能夠全面反映其動力特性,因而在近年來得到廣泛關(guān)注和快速的發(fā)展[2-7].由于伺服系統(tǒng)的動力特性,作動器總是不能絕對實時地達(dá)到預(yù)定的位移,而是存在一個“時滯”,如果不能進(jìn)行合理的補償,將會導(dǎo)致試驗失敗.因此,實時混合模擬結(jié)果的有效性評價是該試驗技術(shù)的核心內(nèi)容之一.文獻(xiàn)[8]提出了一種頻域評價方法,將實時混合模擬的誤差分為幅值誤差和相位誤差,通過引入等效頻率的概念,可定量計算出實時混合模擬的時滯,該方法與傳統(tǒng)的時域評價方法相比，具有一定的優(yōu)越性[9-13].然而,作為一種新的評估手段,該方法的物理意義目前尚不夠明確.本文通過數(shù)值模擬和實驗室試驗,分別對線性和非線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,并對該方法的物理意義做出剖析.

1 頻域評價方法

本文涉及的實時混合模擬的頻域評價方法是一種雙參數(shù)方法[8],分別采用參數(shù)A和d對試驗的幅值和時滯進(jìn)行評估,即

A=‖F(xiàn)EI‖

(1)

(2)

式中,A和d分別表示實時混合模擬的幅值和等效時滯;‖·‖表示求模;FEI為頻域評價指標(biāo);φ表示實時混合模擬的相位差,可分別按下式計算:

(3)

φ=arctan[Im(FEI)/Re(FEI)]

(4)

式中,yI(f)和yo(f)為輸入和輸出的傅里葉變換,一般取計算位移作為輸入,測量位移作為輸出;p為分析數(shù)據(jù)的一半;feq表示等效頻率,通過對輸入進(jìn)行傅里葉變換,再將得到的頻率按照該頻率的幅值平方進(jìn)行加權(quán),即

(5)

(6)

式中,wi和fi為第i個頻率的權(quán)重和大小.在輸入和輸出進(jìn)行傅里葉變換之前,為消除頻譜泄露的影響,可乘上一個窗函數(shù)[14](如漢寧窗).

理想情況下,輸入與輸出沒有任何誤差,此時φ和d應(yīng)為0,且A為1.幅值A(chǔ)與1的誤差稱為幅值誤差,相位φ與0的誤差稱為相位誤差.幅值誤差和等效時滯的絕對值越小,實時混合模擬的效果越好.

按照實時混合模擬評價方法的基本思路,同樣可以計算出每一個頻率的幅值、相位和等效時滯[8],即

(7)

(8)

(9)

式中,Aj，φj，dj和fj分別為第j個頻率下的幅值、相位、等效時滯和頻率.需要注意的是,式(8)計算得到的相位取值范圍在±π之間,當(dāng)信號頻率較高時,計算得到的相位可能與實際相位存在誤差(相差若干個2π).

2 數(shù)值模擬

2.1 試驗子結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)

首先,利用Matlab軟件的Simulink模塊[14]進(jìn)行數(shù)值模擬研究.當(dāng)試驗子結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)時,設(shè)結(jié)構(gòu)的自振頻率為1 Hz,質(zhì)量m取1 000 kg,結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02.根據(jù)Wallace等[15]的研究,此時結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定的臨界時滯為6.4 ms,故實時混合模擬的時滯選擇為5 ms,且在模擬過程中不采用補償環(huán)節(jié).為了證明實時混合頻域評價方法能夠區(qū)分幅值誤差,令模擬的測量位移與指令位移之間存在一個1.1的幅值誤差.此時,實時混合模擬的Simulink模型如圖1所示,為了防止積分算法對模擬的影響,采用運動方程的轉(zhuǎn)換函數(shù)來代替積分算法.地震波選擇水平分量為CHY101-N的Chi-chi地震波,其峰值加速度為0.440 1g.

圖1 實時混合模擬的Simulink模型

采用實時混合模擬頻域評價方法,將計算位移作為輸入，指令位移作為輸出,得到的幅值、相位和等效時滯分別為1.1,-0.032 6 rad和5 ms,這與理論值完全相同.為研究頻域評價方法的物理意義,根據(jù)式(7)～(9)和式(5)分別計算出每個頻率的幅值、相位和等效時滯以及每個頻率在加權(quán)時的權(quán)重,如圖2所示.由圖2(a)可見,對于幅值A(chǔ),除在高頻處存在突變外,其他數(shù)值整體上較為平穩(wěn);而由圖2(b)可以發(fā)現(xiàn)，相位φ著隨頻率的增加而近似呈周期性變化,這是由于式(8)計算得到的相位只能在±π之間,當(dāng)相位超過±π時,計算得到的高頻相位要比實際相位大若干個2π.因此,當(dāng)頻率在較低的范圍內(nèi)時,計算得到的等效時滯約為5 ms,而當(dāng)頻率較大時,時滯將出現(xiàn)震蕩,如圖2(c)所示.由于圖2(b)中每一段相位都是隨頻率增加而線性減小,故理論上時滯在各個頻率上仍然為5 ms左右.然而,由圖2(d)可以發(fā)現(xiàn)，權(quán)重主要集中在低頻段,故在頻域評價方法中,高頻處相位和時滯計算的誤差可以忽略.

圖2 線性結(jié)構(gòu)頻域評價方法在各個頻率上的指標(biāo)

圖3進(jìn)一步給出了低頻區(qū)的頻域分析結(jié)果.由圖3(a)可以發(fā)現(xiàn),低頻上的幅值并非是1.1,但是相差非常小;而圖3(b)中的相位也不是一條直線.當(dāng)頻率稍大于0 Hz時,計算得到的時滯與5 ms相差較大,相差部分的時滯稱為“虛假時滯”,隨頻率的增加,時滯很快收斂到5 ms,如圖3(c)所示.虛假時滯主要集中在前3個頻率,這可能是由于傅里葉變換引起的,當(dāng)前3個頻率權(quán)重不大時,該虛假時滯對等效時滯不會產(chǎn)生影響,當(dāng)前3個頻率權(quán)重較大時(主要指非線性結(jié)構(gòu)),會對時滯產(chǎn)生較大影響,所以應(yīng)在加權(quán)時將前3個頻率的計算結(jié)果舍去.此外,由于實時混合模擬過程中存在1.1的幅值誤差,因此結(jié)構(gòu)的等效頻率要稍微大于1 Hz,如圖3(d)所示.

圖3 線性結(jié)構(gòu)頻域評價方法在低頻上的指標(biāo)

對于每個頻率,在計算其幅值A(chǔ)j、相位φj和時滯dj時,按照該頻率的權(quán)重wj進(jìn)行加權(quán),由此得到綜合的幅值A(chǔ)′、相位φ′和等效時滯d′,即

(10)

(11)

(12)

由式(10)～(12)計算得到的幅值A(chǔ)′、相位φ′和等效時滯d′分別為1.1,-0.032 6 rad和5 ms,與采用頻域評價方法直接計算得到的幅值、相位和等效時滯完全相同.因此,實時混合模擬的頻域評價方法實質(zhì)上是計算出各個頻率的幅值和相位,并按照各頻率輸入幅值平方的權(quán)重進(jìn)行加權(quán).

2.2 試驗子結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu)

當(dāng)結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu)時，采用與線性結(jié)構(gòu)相同的模型和參數(shù),但用Bouc-Wen模型[16]來代替試驗子結(jié)構(gòu)的剛度k,Bouc-Wen模型計算恢復(fù)力的方法為

r(t)=ηkx(t)+(1-η)kxyz(t)

(13)

式中,xy為數(shù)結(jié)構(gòu)的屈服位移,xy=10 mm;k為結(jié)構(gòu)的線彈性剛度,k=11.75 kN/mm;η為數(shù)值子結(jié)構(gòu)屈服前后的剛度比,η=0;x(t)為施加在數(shù)值子結(jié)構(gòu)上的位移;z(t)為Bouc-Wen參數(shù),由以下方程得到:

(14)

式中,β,γ,q為控制滯回曲線形狀的參數(shù),其值分別為0.55,0.45和2.由于非線性有助于提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,故模擬在5 ms的時滯下仍然會保證穩(wěn)定.采用實時混合模擬頻域評價方法,將計算位移作為輸入，指令位移作為輸出,得到的幅值、相位和等效時滯分別為1.1,-0.003 3 rad和5 ms.由于結(jié)構(gòu)的非線性會降低結(jié)構(gòu)剛度，因此非線性結(jié)構(gòu)的相位小于線性結(jié)構(gòu)的相位.根據(jù)式(6)～(8)分別計算出每個頻率上的幅值、相位和等效時滯以及每個頻率在加權(quán)時的權(quán)重，如圖4所示.

與線性結(jié)構(gòu)類似,幅值A(chǔ)除在高頻處存在突變外,總體上較為平穩(wěn),如圖4(a)所示.與圖2(b)相比,圖4(b)中的相位φ不再隨頻率做周期性變化.由于式(8)計算得到的相位只能在±π之間，因而高頻范圍內(nèi)的等效時滯計算結(jié)果并不準(zhǔn)確.當(dāng)頻率較低時,計算得到的等效時滯在5 ms左右,而當(dāng)頻率較大時,時滯同樣出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象,如圖4(c)所示.由圖4(d)可發(fā)現(xiàn),權(quán)重主要集中在低頻段,故在頻域評價方法中,高頻處相位和時滯計算的誤差同樣可被忽略.圖5給出了低頻區(qū)段的計算結(jié)果.

圖4 非線性結(jié)構(gòu)頻域評價方法在各個頻率上的指標(biāo)

圖5 非線性結(jié)構(gòu)頻域評價方法在低頻上的指標(biāo)

非線性結(jié)構(gòu)的幅值A(chǔ)、相位φ和等效時滯d與線性結(jié)構(gòu)類似,如圖5(a)～(c)所示.然而,非線性結(jié)構(gòu)的權(quán)重主要集中在0.1 Hz附近,明顯小于線性結(jié)構(gòu)的情況(見圖3(d),集中于1.0 Hz),這是由于結(jié)構(gòu)的非線性會造成剛度退化,從而降低了結(jié)構(gòu)的等效頻率,如圖5(d)所示.同時,虛假時滯范圍內(nèi)的頻率權(quán)重不大,對等效時滯的影響可忽略.

采用式(10)～(12)計算得到綜合的幅值A(chǔ)′、相位φ′和等效時滯d′分別為1.1，-0.003 3 rad和5 ms,與采用頻域評價方法直接計算得到的幅值、相位和等效時滯完全相同,進(jìn)一步證明了實時混合模擬的頻域評價方法實質(zhì)上是計算出各個頻率的幅值和相位,并按照各頻率輸入幅值平方的權(quán)重進(jìn)行加權(quán).

3 試驗驗證

為進(jìn)一步驗證頻域評價方法的物理意義,利用Lehigh大學(xué)完成的實時混合模擬試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[13].其中,數(shù)值子結(jié)構(gòu)采用多自由度的鋼框架,其質(zhì)量為5.034×105kg,結(jié)構(gòu)自振頻率為0.77 Hz,阻尼比為0.02.試驗子結(jié)構(gòu)采用洛德(LORD)公司生產(chǎn)的磁流變(MR)阻尼器.阻尼器的長度為1.47 m,沖程為584 mm,最大工作荷載為200 kN.整個試驗裝置由阻尼器、作動器、反力架等依次串聯(lián)而成.動態(tài)作動器的最大輸出荷載為1 700 kN,沖程為500 mm,最大運動速率為760 mm/s,伺服控制器采用PID控制,其中比例增益為20,積分增益為4,微分增益為0,采樣頻率為1 024 Hz.積分算法采用CR算法[3],補償方法采用倒轉(zhuǎn)補償法[4],預(yù)測時滯為29 ms.

由于試驗子結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu),根據(jù)式(7)和(8)分別計算出每個頻率上的幅值、相位和等效時滯以及每個頻率的權(quán)重,如圖6所示.由圖可以發(fā)現(xiàn),實時混合模擬的幅值變化規(guī)律與非線性結(jié)構(gòu)較為相似,而圖6(b)中相位在低頻波動要比數(shù)值模擬更為明顯,這同樣造成了時滯在低頻的波動,如圖6(c)所示.由圖6(d)還可以發(fā)現(xiàn)，權(quán)重主要集中在低頻段.圖7給出了低頻區(qū)段的計算結(jié)果.

圖6 實時混合模擬頻域評價方法在各個頻率上的指標(biāo)

圖7 實時混合模擬頻域評價方法在低頻率上的指標(biāo)

由圖7(a)可發(fā)現(xiàn),在低頻區(qū)域,幅值A(chǔ)約為1,說明實時混合模擬的幅值誤差較?。粓D7(b)中的相位在0附近,說明實時混合模擬的時滯較小.由圖7(c)可見,當(dāng)頻率非常小時,由于虛假時滯的影響，得到的時滯存在較大誤差.且由于權(quán)重集中于該非常小的范圍(見圖7(d)),在加權(quán)中若將這部分時滯考慮進(jìn)去會對結(jié)果產(chǎn)生較大的影響.經(jīng)試算,從第4個頻率開始加權(quán)得到的效果較好,得到的幅值、相位和等效時滯分別為1.007，0.001 3 rad和-0.4 ms.這說明實時混合模擬中,測量位移的幅值是計算位移的1.007倍,同時要比計算位移滯后0.4 ms.將式(10)～(12)從第4個頻率開始加權(quán),得到綜合的幅值A(chǔ)′、相位φ′和等效時滯d′同樣是1.007，0.001 3 rad和-0.4 ms,再次驗證了實時混合模擬頻域評價方法的意義.

4 結(jié)語

本文對實時混合模擬的頻域評價方法進(jìn)行了簡要介紹,分別計算了數(shù)值模擬和試驗中每個頻率上的幅值、相位、等效時滯和權(quán)重,并與整體的幅值、相位、等效時滯進(jìn)行對比,證明實時混合模擬的頻域評價方法實質(zhì)上是計算出各個頻率的幅值和相位,并按照各頻率輸入幅值平方的權(quán)重進(jìn)行加權(quán).

各個頻率組分在結(jié)果中的權(quán)重并不相同,低頻組分對于結(jié)果的影響顯著高于高頻組分.此外,通過計算每個頻率上的等效時滯發(fā)現(xiàn),當(dāng)頻率非常小時,計算得到的等效時滯與時滯的理論值有時會存在顯著差異(當(dāng)權(quán)重集中在該低頻范圍之外時除外).此時可以將前面極低頻率組分(如前3個頻率)舍棄,從之后的頻率開始加權(quán).對于頻率的截取,尚需在后續(xù)研究中做進(jìn)一步的分析.

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