基于蒙特卡洛技術(shù)時(shí)變Copula 的比較

劉 娟，王 沁，劉 軍，昌春艷

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都610031;2.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都610031)

Copula 函數(shù)，即為連接函數(shù)，它是把聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)連接在一起的橋梁。2001年，PATTON 首先提出時(shí)變Copula 模型，該模型利用類似ARMA(1，10)的模型描述了二元正態(tài)Copula 模型的參數(shù)隨時(shí)間的演變過程［1］。在PATTON 的基礎(chǔ)上，韋艷華等建立了Copula－GARCH 模型［2］，比較了常相關(guān)、時(shí)變相關(guān)的二元正態(tài)Copula 模型，其結(jié)果表明金融時(shí)間序列具有明顯的時(shí)變性。龔金國(guó)等采用經(jīng)驗(yàn)分布－局部極大似然估計(jì)法，估計(jì)了時(shí)變Copula 模型的參數(shù)，并用廣義偽對(duì)數(shù)似然函數(shù)檢驗(yàn)其時(shí)變性，證實(shí)了該方法的優(yōu)越性和穩(wěn)健性［3］。文獻(xiàn)［4］利用Spearman ρ 建立時(shí)變Copula 模型，以FGM－Copula 為例，表明了從Spearman ρ 角度出發(fā)建立的時(shí)變模型能較好地詮釋金融變量之間的相依機(jī)制。

建立時(shí)變Copula 模型的方法通常有3 種，分別是從線性相關(guān)系數(shù)、Kendall τ、尾部相關(guān)系數(shù)出發(fā)建立時(shí)變Copula 模型［5－6］。由于變量之間發(fā)生非線性單調(diào)變換時(shí)，其線性相關(guān)系數(shù)將會(huì)發(fā)生變化，因此，從線性相關(guān)系數(shù)的角度建立的時(shí)變Copula 模型存在不足，不能很好地描述變量之間非線性的相依機(jī)制。對(duì)于從Kendall τ、尾部相關(guān)系數(shù)出發(fā)建立的時(shí)變Copula 模型的優(yōu)劣性，尚沒有文獻(xiàn)進(jìn)行討論，筆者從Kendall τ、尾部相關(guān)系數(shù)出發(fā)建立時(shí)變Copula 模型，并分析和討論了其優(yōu)劣性。

1 Kendall τ 與尾部相關(guān)系數(shù)

定義1 設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)為獨(dú)立同分布的二維隨機(jī)變量，則Kendall τ 為［7］:

其中:(X1－X2)(Y1－Y2)＞0 說明兩個(gè)變量的變化方向一致，是和諧的;(X1－X2)(Y1－Y2)＜0 說明兩個(gè)變量的變化是反向一致的，是不和諧的。

τ=1 表示X 的變化與Y 的變化完全一致，是正相關(guān)的;τ=－1 表示X 的變化與Y 的反向變化完全一致，是負(fù)相關(guān)的;τ =0 表示X 的變化與Y的變化一半是一致的，一半是反相一致的，故不能判斷其相關(guān)性。

因此，Kendall τ 反映了變化一致與否的程度，是一個(gè)一致性指標(biāo)，也是一個(gè)全局變量。

根據(jù)Sklar 定理［8］，隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)H(x，y)可以表示為一個(gè)Copula 函數(shù)和其邊緣分布函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，即:

其中:C(·，·)為二元Copula 函數(shù);F(x)為X的分布函數(shù);G(y)為Y 的分布函數(shù);u=F(x)，v=G(y)。

從Sklar 定理可以看出，Copula 實(shí)際上是一個(gè)將聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)連接起來的函數(shù)，它能捕捉兩個(gè)變量之間的相依機(jī)制、相依關(guān)系［9］。

由Copula 函數(shù)可知，(X，Y)的Kendall τ 可以表示為:

其中，Cθ(u，v)為總體參數(shù)，是θ 的一族Copula 函數(shù)。

若二重積分可以直接積分且有封閉的表達(dá)式，那么，Kendall τ 與總體參數(shù)θ 存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。則基于這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，利用Kendall τ的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)θ，建立總體參數(shù)θ 的時(shí)變演變方程。

目前，在金融風(fēng)險(xiǎn)分析中，除了利用Kendall τ指標(biāo)來刻畫變量之間的相關(guān)關(guān)系以外，還有很多學(xué)者利用變量之間的尾部相關(guān)系數(shù)來分析金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)。尾部相關(guān)系數(shù)表示當(dāng)一個(gè)觀測(cè)變量出現(xiàn)為極值時(shí)另一個(gè)變量也會(huì)出現(xiàn)極值的概率。它可以直觀地反映一支股票價(jià)格的暴跌是否會(huì)引發(fā)另一支股票價(jià)格的暴跌，或者一個(gè)金融市場(chǎng)的大波動(dòng)是否會(huì)引發(fā)另一個(gè)金融市場(chǎng)的大波動(dòng)［10］。

定義2 假定X、Y 為兩個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，具有邊緣分布F(·)G(·)，其Copula 函數(shù)為C(·，·)，則上尾相關(guān)系數(shù)為:

下尾相關(guān)系數(shù)為:

若這類極限存在，則上尾相關(guān)系數(shù)、下尾相關(guān)系數(shù)與總體參數(shù)θ 一一對(duì)應(yīng)。則基于這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，利用尾相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)θ，建立總體參數(shù)θ 的動(dòng)態(tài)演變方程。

由于Copula 函數(shù)在非線性單調(diào)變換下保持不變，因此，Kendall τ 和尾部相關(guān)系數(shù)在非線性單調(diào)變化下也會(huì)保持不變，且與Copula 函數(shù)的總體參數(shù)θ 是一一對(duì)應(yīng)的。因此，從Kendall τ 和尾部相關(guān)系數(shù)構(gòu)建時(shí)變Copula 模型是可行的，并且相比從線性相關(guān)系數(shù)出發(fā)構(gòu)建的時(shí)變Copula 模型，更具有優(yōu)越性。

尾部相關(guān)系數(shù)是指當(dāng)一個(gè)變量出現(xiàn)極值時(shí)另一個(gè)變量也出現(xiàn)極值的概率，它是一個(gè)極限，一個(gè)局部變量，其統(tǒng)計(jì)量仍然可以利用頻數(shù)來構(gòu)造，但是頻數(shù)依賴于u*的一個(gè)小鄰域，因此，從尾部相關(guān)系數(shù)構(gòu)建時(shí)變Copula 模型在理論上有缺陷，劣于從Kendall τ 構(gòu)建時(shí)變Copula 模型。

綜上可知，雖然從Kendall τ 和尾部相關(guān)系數(shù)都可以構(gòu)建時(shí)變Copula 模型，但是從Kendall τ 構(gòu)建時(shí)變Copula 模型會(huì)更具有優(yōu)越性。下面以Clayton Copula 為例來驗(yàn)證兩種時(shí)變模型的優(yōu)劣性。

對(duì)于Clayton Copula 函數(shù)，其Kendall τ 和下尾相關(guān)系數(shù)與總體參數(shù)θ 存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故Kendall τ 和下尾相關(guān)系數(shù)可以建立其時(shí)變的Copula 函數(shù)。

雖然筆者是以Clayton Copula 函數(shù)為例，但是Kendall τ 和尾部相關(guān)系數(shù)與Copula 函數(shù)的總體參數(shù)θ 是一一對(duì)應(yīng)的，用Kendall τ 和尾部相關(guān)系數(shù)來構(gòu)建其時(shí)變性都是可行的。

2 蒙特卡洛技術(shù)與時(shí)變Copula 模型建立

筆者以Clayton Copula 函數(shù)為例，假定參數(shù)的AR(1)模型，利用蒙特卡洛模擬技術(shù)仿真得到樣本的數(shù)據(jù)來建立兩類時(shí)變Copula 模型。

圖1 Clayton Copula 模型的散點(diǎn)圖

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算所得的時(shí)變Kendall τ，時(shí)變下尾相關(guān)系數(shù)的曲線圖如圖2 所示。

圖2 Kendall τ、下尾相關(guān)系數(shù)時(shí)變圖

(3)計(jì)算總體參數(shù)，建立時(shí)變Clayton Copula模型。根據(jù)Kendall τ、尾部相關(guān)系數(shù)與Copula 的總體參數(shù)θ 之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系得到Copula 的總體參數(shù)θ 的估計(jì)值θ1(i)，θ2(i)，圖3 為θ1(i)，θ2(i)與θ(i)的線圖。

圖3 從Kendall τ 角度，尾相關(guān)角度估計(jì)的θ 數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)的線圖

由圖3 可以知道θ 的樣本數(shù)據(jù)很快收斂到1.87，從Kendall τ 角度得到的時(shí)變Copula 模型的參數(shù)估計(jì)值θ1在第200 個(gè)數(shù)據(jù)后圍繞著1.87 小范圍波動(dòng)，從尾相關(guān)系數(shù)角度得到的時(shí)變Copula模型的參數(shù)估計(jì)值θ2與1.87 之間的差異要比θ1與1.87 的差異大。因此，從Kendall τ 出發(fā)比從尾相關(guān)系數(shù)出發(fā)得到的結(jié)果要好，更能反映變量之間的相依機(jī)制。

圖4、圖5 分別為θ1，θ2的自相關(guān)函數(shù)界面圖。由圖4、圖5 可以得出，自相關(guān)函數(shù)均有拖尾性，偏相關(guān)函數(shù)一步截尾，故用AR(1)模型對(duì)序列θ1，θ2進(jìn)行擬合，得到它的估計(jì)方程為:

圖4 Kendall τ 得到的θ1 自相關(guān)函數(shù)界面圖

圖5 下尾相關(guān)系數(shù)得到的θ2 自相關(guān)函數(shù)界面圖

θ1(t)=1.950 778 +0.982 528θ1(t－1)

θ2(t)=2.092 001 +0.904 095θ2(t－1)

3 兩種時(shí)變Copula 模型的比較

(1)時(shí)變Copula 模型參數(shù)估計(jì)。從Kendall τ、尾相關(guān)系數(shù)得到的θ1，θ2的AR(1)模型的估計(jì)結(jié)果如表1 所示。

表1 θ1、θ2 的AR(1)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表1 列出了θ1，θ2的AR(1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，θ1的AR(1)模型中常數(shù)項(xiàng)比θ2的更接近θ的AR(1)模型的常數(shù)項(xiàng)，θ1的AR(1)模型的AIC值比θ2的AR(1)模型的AIC 要低，說明θ1的AR(1)模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合比θ2的AR(1)模型要好，這反映了從Kendall τ 建立的時(shí)變Copula 模型要優(yōu)于從尾相關(guān)建立的時(shí)變Copula 模型。

表2 兩種不同情況下的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

由表2 可知，從Kendall τ 角度建立的時(shí)變Copula 模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的偏差要比從尾相關(guān)角度建立的時(shí)變Copula 模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的偏差小，且二者的差異非常大，而從Kendall τ 的角度建立的時(shí)變Copula 模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的絕對(duì)值平均誤差和均方誤差的平方根均比從尾相關(guān)角度建立的時(shí)變Copula 模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的要小。因此，從實(shí)證的角度驗(yàn)證了從Kendall τ 角度建立的時(shí)變Copula 更適合金融數(shù)據(jù)的相依機(jī)制。

4 結(jié)論

從所建立的時(shí)變模型和檢驗(yàn)結(jié)果可得出以下結(jié)論:

(1)Kendall τ 和尾相關(guān)系數(shù)均能構(gòu)建時(shí)變Copula 模型，二者建立的時(shí)變Copula 模型均比從線性相關(guān)角度構(gòu)建的時(shí)變Copula 模型好。

(2)由于Kendall τ 是一個(gè)全局變量，尾相關(guān)系數(shù)是一個(gè)局部變量，因此，從Kendall τ 角度構(gòu)建的時(shí)變Copula 模型要比從尾相關(guān)角度構(gòu)建的時(shí)變Copula 模型更好地反映金融變量之間的相依機(jī)制。

(3)從模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果、真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的比較可以看出Kendall τ 能比尾相關(guān)系數(shù)更好地描述變量間的相依機(jī)制。

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