矩陣方程AXB+CXT D=E 自反最佳逼近解的迭代算法

楊家穩(wěn)

（滁州職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000）

0 引言

本文考慮如下問題：

關(guān)于反射矩陣的自反矩陣或反自反矩陣在系統(tǒng)與控制理論、工程、科學計算等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用［1－2］。近年來，Sylvester 矩陣方程是計算數(shù)學研究的熱點之一，并且取得很多成果。若矩陣方程是相容的，文獻［3］利用廣義Moore－Penrose給出了AX+XTC=B 解的表達式，文獻［4－5］用共軛梯度迭代算法給出矩陣方程AXB+CXTD=E 極小范數(shù)最小二乘解，文獻［6］給出了XA+AXT=0 的一般解，文獻［7］給出AXB+CXTD=E 的可解性，文獻［8］給出求解方程A1X1B1=C 、A2X2B2=D 的自反（或反自反）的最佳逼近解。若矩陣方程是不相容的，對于任意給定矩陣，文獻［9］提出一種算法求ATXB+BTXTA=D 的最佳逼近解，文獻［10］提出一種算法求AXB+CXD=E 自反（或反自反）的最佳逼近解。

1 迭代算法

本節(jié)首先給出解決問題Ⅰ和Ⅱ的迭代算法，然后證明該算法收斂，最后研究如何計算到非空凸集K 上的投影。具體算法步驟如下：

步驟2 計算

步驟3

步驟4 若‖Xk-Xk-1‖＜ε ，則停止；否則，k:=k+1，轉(zhuǎn)向步驟3。

為了證明算法的收斂性，首先給出下面的定義和定理。

定義1 若?x1，x2∈S ?H ，?κ ＞0 ，使得‖T(x)-T(y) ‖≤κ‖x-y ‖成立，則映射T:H →H稱為κ-Lipschitzian（或κ-Lipschitzian 連續(xù)）。特別地，若對于一切x，y ∈H ，有‖T(x)-T(y) ‖≤‖x-y ‖成立，則映射T:H →H 稱為非擴展映射。

定義2 對于給定的集合S ?H ，若?x，y ∈S，?η ＞0 ，使F(x)-F(y)，x-y ≥η‖x-y‖2成立，則稱映射F:H →H 在集合S 上η 強單調(diào)。

定理1［11］（HSDM）設(shè)T:H →H 是非擴展映射，且Fix(T)≠?。又設(shè)函數(shù)θ:H →R ∪∞存在Gateaux 導(dǎo)數(shù)θ′:H →H ，且θ′ 在T(H) 上滿足κ-Lipschitzian ，且η 強單調(diào)。對于任意的u0∈H和正實數(shù)序列(λn)n≥1滿足：

或者

則由

生成的序列(un)n≥0強收斂于唯一的u*，其中u*滿足θ(u*)=inf{θ(Fix(T))} 。

定理2［12］設(shè)K ?H 是閉凸子集，又設(shè)：

（i）ψ:H →R ∪{ }∞ 是Gateaux 可微的凸函數(shù)且 它 的 導(dǎo) 數(shù) ψ′：H →H 在 H 上 滿 足γ-Lipschitzian，

引理1 設(shè)ψ(νec(X))=‖AXB+CXTD-E‖2，則有

同理，可得

▽ψ2(νec(XT))=2[DDT?(CTC)]νec(XT)，

所以▽ψ2(νec(X))=2[CTC ?(DDT)]νec(X)。

依次計算可得

則（3）式得證。

引理2 設(shè)θ(νec(X))=‖‖X-X*2，則

證明 θ(νec(X))=‖‖X-X*2=＜X-X＊，X-X＊＞= ＜νec(X-X＊)，νec(X-X*)＞=[νec(X-X*)]T[νec(X-X*)]。

則（4）式得證。

可以證得：

和

因此，分別用▽ψ(νec(X)) 和▽θ(νec(X)) 來代替ψ′(νec(X))和θ′(νec(X))。

引理3 設(shè)ψ(νec(X))=‖AXB+CXTD-E‖2，θ(νec(X))=‖‖X-X*2，則有如下結(jié)論：

（a）ψ(νec(X))是凸函數(shù)；

（b）θ(νec(X))是凸函數(shù)；

（c）▽ψ(νec(X))是γ-Lipschitizian；

（d）▽θ(νec(X))是κ-Lipschitzian；

（e）▽θ(νec(X))是η 強單調(diào)的。

證明 由凸函數(shù)的定義，可以證明（a）、（b）成立。

（c）令

根據(jù)（3）式有

因此，▽ψ(νec(X)) 是γ-Lipschitizian ，其中γ=‖ ‖M1+‖ ‖M2。

（d）由（4）式有

因此，▽θ(νec(X)) 是κ-Lipschitzian ，其中κ=2。

（e）由（4）式可以得到

根據(jù)定義2，可以推出▽θ(νec(X)) 是η 強單調(diào)的，其中η=2。

證明由引理1 ～3 可知，ψ(νec(X)) 和θ(νec(X))滿足定理2 的條件，由定理2 可以推出算法是收斂的。

在算法中需要計算到凸集K 上的投影。為此給出如下定理：

其中，α1，α2，…，αs是矩陣(I-PT?P) 零空間的標準正交基。

證明 由自反矩陣的定義有

（7）式改寫成

凸集K 中的元素就是線性方程（8）的解。因此只要給定（8）式解集合的標準正交基，就可以利用（5）式計算出νec(X0)在K 上的投影。

2 數(shù)值舉例

下面用兩個數(shù)值例子來驗證上述算法的可行性，所有實驗都在MATLAB2007R 中進行。

例1 考慮矩陣方程AXB+CXTD=E，其中

是矩陣方程相容的解。

利用算法，令ε=1.0e-11，可得

相應(yīng)的余項為

例2 仍然考慮矩陣方程AXB+CXTD=E ，其中A，B，C ，D，P 和X0同例1，

可以證明上述矩陣方程是不相容的。令ε=1.0e-10，由算法得

相應(yīng)的余項

3 結(jié)語

本文利用HSDM，給出求解矩陣方程AXB+CXTD=E 自反（或反自反）最佳逼近解的迭代算法。無論方程AXB+CXTD=E 是否相容，所給的算法都可以計算其自反（或反自反）的最佳逼近解。實例說明了算法的可行性，但該算法的缺點是收斂速度較慢。文中自反（或反自反）矩陣的集合是凸集。若其他矩陣方程的未知約束矩陣是凸集，則可以應(yīng)用HSDM 解決其最佳逼近問題。

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