圓筒型無鐵心永磁直線電機空載磁場解析計算

董劍寧 陳艷龍 黃允凱 金 龍

(東南大學(xué)電氣工程學(xué)院,南京 210096)

直線電機無需借助機械齒輪、滾珠絲杠等轉(zhuǎn)換裝置即可實現(xiàn)直線運動,具有結(jié)構(gòu)簡單、動態(tài)性能好等優(yōu)點,近年來在交通運輸、伺服控制、建筑工程、醫(yī)療器械等領(lǐng)域獲得越來越廣泛的應(yīng)用．

高精度伺服應(yīng)用要求永磁直線電機具有盡可能低的定位力矩和單邊力矩．因此,采用無槽動子的圓筒形永磁直線電機成為此類應(yīng)用的首選．這種電機定子永磁體分為表貼式和內(nèi)嵌式2種:前者沿徑向充磁,貼裝在磁軛的表面;后者沿軸向充磁,嵌在鐵心之間[1-2]．為進一步降低動子慣量以提高電機加速能力,可采用無鐵心動子結(jié)構(gòu)[3]．此時，為增強主磁場,定子一般采用Halbach陣列結(jié)構(gòu)或內(nèi)嵌式的聚磁結(jié)構(gòu)[4]．

文獻[5]提出一種定、動子均無鐵心的圓筒型無鐵心永磁直線電機結(jié)構(gòu)．其定子由軸向充磁的圓柱型永磁體組成,相鄰永磁體充磁方向相反,且緊貼在一起,中間無鐵磁性極靴．與普通的定子無鐵心圓筒型直線電機相比,該電機對永磁磁通的利用率更高，對動子偏心的敏感度更低，運動過程中繞組電感變化更小,因而具有更高的效率和控制精度[6]．目前,這種結(jié)構(gòu)的圓筒型無鐵心永磁直線電機已在納米級高精度伺服系統(tǒng)中獲得應(yīng)用[7],但國內(nèi)外關(guān)于此種電機電磁場分析的文獻較少．

為準(zhǔn)確分析直線電機的電磁場分布,優(yōu)化電機設(shè)計,國內(nèi)外學(xué)者提出了多種方法．其中最常用的是等效磁路法[8],該方法簡單易用,但存在模型不準(zhǔn)確的問題,在漏磁較大或磁路復(fù)雜時尤為嚴重．采用有限元法[9]可以對復(fù)雜邊界、多種媒介以及非線性、飽和等問題進行有效處理,具有明顯的優(yōu)越性,但前處理和計算耗時較長,不適合在電機優(yōu)化設(shè)計的迭代計算中使用,一般用于確定各項尺寸參數(shù)后的電磁性能核算．使用解析法計算電磁場可以克服上述2種方法的缺點,其特點是計算時間短,且不需要復(fù)雜的前處理,能直觀地表述各項參數(shù)對磁場分布的影響,以便調(diào)整參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計．但解析法不能考慮鐵心磁導(dǎo)率的非線性,僅適用于磁路飽和程度低的場合．文獻[1,10-11]均為解析法在直線電機電磁設(shè)計中的典型應(yīng)用．

本文所研究的圓筒型無鐵心永磁直線電機定、動子上均無鐵心,磁路線性且具有高度對稱性,非常適合解析法的應(yīng)用．本文首先在圓柱坐標(biāo)系下采用磁荷模型計算出單個圓柱形永磁體的磁場分布,再應(yīng)用疊加原理得到整個電機的氣隙磁場分布．之后在空載磁場的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出電機反電勢和推力表達式．最后通過有限元軟件對解析計算結(jié)果進行驗證,證明了該解析法的正確性．

1 磁場計算

1.1 磁荷模型

在無電流的永磁體和空氣區(qū)域,磁感應(yīng)強度矢量B和磁場強度矢量H滿足下式:

×H=0,·B=0

(1)

根據(jù)矢量場的亥姆霍茲定理,存在標(biāo)量φm,使

H=-φm

(2)

再將永磁體本構(gòu)關(guān)系B=μ0(H+M)代入式(1)、(2)可得

2φm=·M

(3)

式中,M為永磁體的磁化矢量．對式(3)中的拉普拉斯算子應(yīng)用格林函數(shù),可解得

(4)

式中,x為場點的位置矢量;x′為源點的位置矢量．M僅存在于永磁區(qū)域內(nèi),因在永磁區(qū)域表面M突變?yōu)?,式(4)需寫為

(5)

式中,v′為永磁區(qū)域;s′為v′的表面;n為s′外法方向上的單位矢量．參考電荷模型,可假設(shè)在永磁體內(nèi)存在體密度ρm=-·M,表面密度σm=M·n的磁荷．由此可推得,空氣中x處的磁密為[12]

(6)

1.2 空載磁場求解

對于組成圖1中圓筒型無鐵心永磁直線電機定子的某個軸向充磁的圓柱形永磁體(見圖2)而言,僅左右兩個圓形底面上存在密度為M的磁荷．僅考慮右底面上的磁荷,由其引起的φm為

(7)

圖1 圓筒型無鐵心永磁直線電機結(jié)構(gòu)

圖2 單個軸向充磁的圓柱形永磁體模型

(8)

式中,Im,Km分別為第一類和第二類m階虛宗量的貝塞爾函數(shù);ρ>(ρ<)為ρ和ρ′中的較大(小)者．由磁場的軸對稱性知,φm1與φ無關(guān),為簡化計算,可令φ=0．將式(8)代入式(7),有

(9)

式中,l為圓柱形永磁體的長度．由于其中二重積分的第2項為0,式(9)可簡化為

K0(kρ>)ρ′dρ′

(10)

利用虛宗量的貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)[14],對式(10)中的第2個積分進行處理,可得在ρ>r的區(qū)域(即空氣)內(nèi),有

(11)

對其求梯度,可得到空氣中磁通密度的徑向和軸向分量分別為

(12)

同樣可求出由永磁體的左底面上的磁荷引起的磁密分量為

(13)

由于磁路線性,可直接利用疊加原理,得到由n個永磁體組成的圓筒型無鐵心永磁直線電機定子的空載磁密為

(14)

2 反電勢與推力計算

圓筒型無鐵心永磁直線電機的動子繞組線圈軸對稱地環(huán)繞在定子外,每相繞組由若干組線圈串/并聯(lián)而成．圖3為動子繞組示意圖,其中Rco為線圈的外半徑,Rci為其內(nèi)半徑,wc為每組線圈寬度．

圖3 動子繞組示意圖

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,動子沿Z軸作直線運動時,每根環(huán)形線圈內(nèi)都會切割徑向磁場感應(yīng)出反電勢．根據(jù)空載磁場計算結(jié)果推導(dǎo)出每根線圈內(nèi)產(chǎn)生的反電勢,再將同相線圈的反電勢相加即可得到相反電勢．但這樣計算過程復(fù)雜,耗時長．為簡化計算,可假設(shè)所有線圈均集中在平均半徑處．如圖3所示,設(shè)某組線圈軸線所在位置為z,則該組線圈區(qū)域內(nèi)的徑向磁密平均值為

(15)

該組線圈在該位置時的反電勢為

ec(z)=NcBavLavv=πNcBav(z)(Rco+Rci)v

(16)

式中,v為動子運動速度;Nc為該組線圈的串聯(lián)匝數(shù);Lav為每匝線圈的平均長度．將同相的每組線圈中的反電勢相加,即可得到每相繞組反電勢波形．

動子上的推力是由電樞電流與空載磁場相互作用而產(chǎn)生的洛侖茲力．同樣認為線圈集中在平均磁密處,可得一組線圈的推力為

Fc(z)=πNcBav(z)i(z)(Rco+Rci)

(17)

將所有線圈組上的推力相加,即可得到總的動子推力．

3 結(jié)果對比與分析

使用以上解析模型分析了某型號圓筒型無鐵心永磁直線電機,計算了其空載磁場、反電勢和動子推力．該型號電機的主要參數(shù)如表1所示．

表1 某型號圓筒形無鐵心永磁直線電機主要參數(shù)

為驗證以上解析計算方法的正確性,建立了該電機的二維軸對稱有限元模型,圖4給出了有限元法計算出的空載磁場分布結(jié)果．

圖4 圓筒形無鐵心永磁直線電機的磁場分布

圖5對比了ρ=13 mm處,空載磁密軸向分量和徑向分量的有限元法和解析法計算結(jié)果．可看出隨著軸向距離的增加,空載磁密呈周期性變化．受邊端效應(yīng)影響，邊緣處磁密快速下降.解析法相對于有限元法的最大偏差出現(xiàn)在徑向磁密最大的位置,但此時誤差也在5%以內(nèi)．出現(xiàn)偏差的主要原因是最大磁密處對應(yīng)的實際磁化強度要低于解析模型中使用的剩余磁化強度．

圖5 ρ=13 mm處解析法與有限元法磁密計算結(jié)果對比

圖6給出了2種方法計算出的動子以1 m/s速度沿軸向運動時U相繞組中的反電勢波形,可見2種計算方法所得結(jié)果非常接近,最大誤差為7%．二者存在偏差的原因除磁化強度的偏差外還有解析模型中對線圈所作的平均化處理．

圖6 動子運動速度為1 m/s時U相繞組的反電勢

在繞組中通入有效值為1.3 A的三相對稱電流,并使電流位于q軸上,得到如圖7所示的動子推力曲線．由圖可知，解析法與有限元法計算出的推力波形接近．解析法所得推力平均值為77.8 N,有限元法結(jié)果為79.0 N,兩者偏差小于2%．

圖7 一個電周期內(nèi)動子受力曲線

圖8對比了負載狀態(tài)下,ρ=13 mm處,A相線圈電流達到幅值時對應(yīng)極面下的磁密波形以及相同位置的空載磁密波形．2種波形均由有限元分析得到．由圖可見,2種波形非常接近,這說明負載電流對電機磁場的影響非常小,這也是該種電機的優(yōu)點之一．

圖8 空載與負載時一個極面下的磁密波形

4 結(jié)語

本文應(yīng)用磁荷法在圓柱坐標(biāo)系下導(dǎo)出了圓筒型無鐵心永磁直線電機的空載磁場解析計算模型,給出了空載磁場軸向和徑向分量的解析公式．在此基礎(chǔ)上,對線圈區(qū)域進行平均化處理,求出電機相反電勢和推力的解析公式．之后利用此解析方法分析了某型號圓筒型無鐵心永磁直線電機,所得結(jié)果與有限元法所得結(jié)果進行了對比,驗證了解析法的正確性．本文所提出的解析計算方法適用于該種電機的電磁設(shè)計,對于其他永磁直線電機的理論分析也有參考價值．

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