一種共用定位銷的多工序夾具布局優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

張 磊 張志勝 周一帆 戴 敏 史金飛

(1東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,南京 211189)

(2徐州工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院,徐州 221018)

在復(fù)雜產(chǎn)品的多工序裝配過程中,夾具系統(tǒng)定位元件的布局對(duì)保證產(chǎn)品的裝配質(zhì)量至關(guān)重要．而在進(jìn)行夾具布局的最優(yōu)設(shè)計(jì)時(shí),其設(shè)計(jì)準(zhǔn)則直接影響到裝配的效率和精度．

一個(gè)夾具系統(tǒng)布局設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則主要依據(jù)對(duì)夾具系統(tǒng)的功能要求．一些學(xué)者將定位精度作為夾具首要的功能要求[1-3]．另外,夾持穩(wěn)定性也是進(jìn)行夾具布局設(shè)計(jì)需要考慮的方面,即確定加持力的大小和夾持位置以使工件在工作載荷下變形最小[4-6]．

然而,上述夾具布局優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則僅局限于單工序,對(duì)多工序而言,由于缺少能夠描述多工序偏差傳遞和累積的數(shù)學(xué)模型,夾具布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題鮮有文獻(xiàn)涉及．Jin等[7]使用狀態(tài)空間方法首次建立了用于描述多工序裝配過程偏差傳遞和累積的狀態(tài)空間模型．由該模型提取出的夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則被Kim等[8-11]用于多工序夾具布局設(shè)計(jì)．

本文將針對(duì)一種共用定位銷的多工序裝配夾具系統(tǒng)的布局問題,改進(jìn)狀態(tài)空間方程,提出新的夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則．使用新準(zhǔn)則進(jìn)行多工序裝配夾具系統(tǒng)布局設(shè)計(jì),結(jié)果表明該準(zhǔn)則與Kim等[8]所提出的傳統(tǒng)準(zhǔn)則相比同樣有效,且設(shè)計(jì)效率更高．

1 共用定位銷的多工序裝配過程表達(dá)

共用定位銷的多工序裝配夾具系統(tǒng)是指在復(fù)雜零件的裝配過程中,不同工序所使用的裝配夾具均共用同一定位銷．如圖1所示,某車輛側(cè)板裝配過程由4個(gè)零件經(jīng)4道工序完成:工序Ⅰ進(jìn)行A柱和B柱的裝配;工序Ⅱ?qū)柱和B柱所組成的裝配部件與頂部側(cè)板裝配;工序Ⅲ將工序Ⅱ完成的裝配部件再與后圍側(cè)板裝配;工序Ⅳ進(jìn)行裝配體上關(guān)鍵產(chǎn)品特征(KPC)M1～M10的檢測(cè)．

圖1 某車輛側(cè)板四工序裝配過程

上述4道工序均使用了一面兩銷定位,若用定位銷(P1,i,k,P2,i,k)(i代表零件,k代表工序)表示不同工序上使用的夾具,上述裝配過程可表示為

[(P1,1,1,P2,1,1),(P1,2,1,P2,2,1)]Ⅰ→
[(P1,1,2,P2,2,2),(P1,3,2,P2,3,2)]Ⅱ→
[(P1,1,3,P2,3,3),(P1,4,3,P2,4,3)]Ⅲ→
[(P1,1,4,P2,4,4)]Ⅳ

式中,P1,i,k指定為圓柱銷,限定2個(gè)自由度;P2,i,k為菱形銷,限定1個(gè)自由度．上述裝配過程均使用了A柱上的P1,1,k(1≤k≤4)作為共用定位銷,因此,本文定義該類夾具系統(tǒng)為共用定位銷的夾具系統(tǒng)．由于該夾具系統(tǒng)使用原有零部件上的銷孔,避免了在裝配體上重新開定位銷孔,簡(jiǎn)化了工藝,所以應(yīng)用廣泛．而如何設(shè)計(jì)此類夾具系統(tǒng)的最佳布局則是個(gè)高維非線性問題,Kim等[8]所提出的傳統(tǒng)準(zhǔn)則需進(jìn)行高維矩陣計(jì)算,運(yùn)算成本巨大,本文提出一種面向此類系統(tǒng)布局設(shè)計(jì)的新設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,為此需首先建立數(shù)學(xué)模型．

2 改進(jìn)的狀態(tài)空間方程

共用定位銷的多工序裝配過程可用Jin等[7]提出的線性狀態(tài)空間模型描述:

xk=Ak-1xk-1+Bkuk+wk

(1)

yk=Ckxk+vk

(2)

式中,Ak,Bk,Ck為與工序k特性相關(guān)的常數(shù)矩陣;xk-1和xk為對(duì)應(yīng)工序的偏差向量;yk為觀測(cè)向量;uk為偏差源;wk和vk為均值是零的系統(tǒng)噪聲．式(1)為尺寸偏差傳遞方程,式(2)為觀測(cè)方程．

圖2 工序k上零件i的偏差組成

圖2中的過程可用公式表達(dá)為

Δxi,k=xi,k-xi,k-1=dr,i,k+df,i,k

(3)

式中,Δxi,k為零件i在工序k上增加的尺寸偏差量．如果記零件i進(jìn)入裝配線的初始工序?yàn)閗i,那么,從零件i進(jìn)入裝配開始至工序k,其上所增加的偏差之和可表示為

xi,k=xi,0+Δxi,ki+Δxi,ki+1+…+Δxi,k

(4)

將式(3)代入式(4),可得

xi,k=xi,0+dr,i,ki+df,i,ki+dr,i,ki+1+

df,i,ki+1+…+dr,i,k+df,i,k

(5)

式中,xi,0為零件i進(jìn)入裝配前的原始尺寸偏差,不失一般性,記xi,0=0．式(5)可簡(jiǎn)化為

(6)

測(cè)量方程為

yi,k=Ci,kxi,k+vk

(7)

式(6)、(7)即為改進(jìn)后的狀態(tài)空間方程通式,對(duì)比式(1)、(2),其區(qū)別在于給出了單一零件偏差狀態(tài)的構(gòu)成及計(jì)算方法．由于裝配體是由若干零件裝配而成,若能計(jì)算出裝配體上某一零件的偏差狀態(tài),則可由動(dòng)力學(xué)分析得到裝配體上所有零件和KPC的偏差狀態(tài)．一般地,常用六維向量xi,k={δxi,k，δyi,k，δzi,k，δαi,k，δβi,k，δφi,k}T表示工序k上零件i的實(shí)際位置與理想位置的偏差．其中,δxi,k,δyi,k和δzi,k為零件i沿x,y,z坐標(biāo)軸的移動(dòng)偏差量;δαi,k,δβi,k和δφi,k為旋轉(zhuǎn)角位移偏差量．若建立模型(1),隨著工序增多,裝配的零件也愈多．設(shè)需要裝配的零件總數(shù)為n,則在最終工序N上得到的xN的維數(shù)為6n,即使考慮平面裝配問題,xN的維數(shù)也有3n．以圖1的一面兩銷為例,x4為12維．而建立模型(6)只需考慮單一零件的尺寸偏差傳遞和累積,其維數(shù)始終保持不變,這為后續(xù)問題的分析降低了難度．本文將運(yùn)用式(6)、(7),對(duì)共用定位銷的多工序裝配過程進(jìn)行分析,推導(dǎo)出新的夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則．

3 夾具布局優(yōu)化新準(zhǔn)則

3.1 引理[7]

本文關(guān)注的是多工序夾具系統(tǒng)布局中的平面優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,即一面兩銷中定位銷的布局,故零件i的偏差狀態(tài)可用3維向量表示,xi,k={δxi,k，δzi,k，δβi,k}T．根據(jù)文獻(xiàn)[7],若零件為剛體,則有如下3個(gè)引理．

引理1當(dāng)一個(gè)剛體零件與其理想位置有平移和旋轉(zhuǎn)時(shí),如果旋轉(zhuǎn)角度δβ很小,那么在該零件上任取的2點(diǎn)的偏差{δxa,δza}T和{δxb,δzb}T有下列關(guān)系成立:

(8)

式中,偏差系數(shù)矩陣

(9)

其中，(xa,za),(xb,zb)為兩點(diǎn)的理想坐標(biāo)．

引理2零件偏差狀態(tài)df,i,k與其上夾具定位銷的隨機(jī)偏差存在近似線性關(guān)系,假設(shè)定位銷隨機(jī)偏差與定位銷之距相比很小,則有

(10)

式中,偏差系數(shù)矩陣

(11)

其中，Li,k為P1,i,k和P2,i,k兩點(diǎn)間的歐幾里得距離．

引理1表明了零件上任意2點(diǎn)間的尺寸偏差關(guān)系;引理2和引理3表明由夾具定位銷隨機(jī)誤差造成的尺寸偏差df,i,k和重新定位帶來的尺寸偏差dr,i,k均與定位銷的隨機(jī)誤差存在近似線性關(guān)系．上述引理不僅在單一零件上適用,在裝配體上也同樣適用．

3.2 夾具布局優(yōu)化新準(zhǔn)則

對(duì)于共用定位銷的多工序裝配夾具布局,共用的定位銷所在零件的偏差狀態(tài)十分重要．若共用定位銷點(diǎn)的零件尺寸偏差狀態(tài)已知,則由引理1,其上所有KPC的偏差狀態(tài)和與之剛性聯(lián)接的裝配體上的所有KPC的偏差狀態(tài)均可知．

現(xiàn)假設(shè)共用的定位銷在工序1的零件1上,為P1,1,1,工序N為測(cè)量工序,其上所有KPC的最終偏差狀態(tài)由引理1和式(6)、(7)可得

x1,N=df,1,1+dr,1,2+df,1,2+…+dr,1,N+wN

(12)

(13)

式中,Kij為零件i上的第j個(gè)尺寸特征．再由引理1,與零件1剛性連接的任意零件的偏差狀態(tài)和其上KPC的偏差狀態(tài)可表示為

(14)

(15)

圖3 零件i上的尺寸特征Kij

(16)

式(16)的證明如下:由引理2知

同理可得

(17)

對(duì)于x1,N,有

則

(18)

式(17)加式(18),得式(16),證畢．

由式(16)可知,tr(var(yi,N))是yi,N所有項(xiàng)方差的和,故可用其表示Kij的偏差水平．一般地,對(duì)于單一KPC,可取下式作為確定夾具布局的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則:

(19)

設(shè)裝配過程有n個(gè)裝配零件,每個(gè)零件上有ni個(gè)KPC,若使裝配完成后裝配體上所有KPC的偏差之和最小,也就是使下式取得最小值:

(20)

式(20)即為多工序夾具布局的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則．由于式(19)中(4N-2)σ2是個(gè)固定值,故被略去．Γ表示的是裝配體上所有KPC對(duì)不同夾具布局的敏感程度．與Kim等[8]所提出的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則Smax需進(jìn)行高維矩陣運(yùn)算相比,Γ僅需進(jìn)行平面定位點(diǎn)間的歐式距離計(jì)算,其計(jì)算效率必然得到提升．下面通過實(shí)例來驗(yàn)證將Γ用于夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的有效性和計(jì)算效率．

4 實(shí)例驗(yàn)證與比較

以圖1為算例,取定位銷直徑為10mm,采用交換算法[12]在Matlab7.0 中進(jìn)行驗(yàn)證．電腦主頻1.66GHz,雙核處理器IntelT5500．分別采用Γ和Smax作為夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,采用交換算法計(jì)算最優(yōu)解,將所得最優(yōu)解分別轉(zhuǎn)化成Smax和Γ的當(dāng)量值．所得結(jié)果如表1所示．

表1 Γ和Smax的比較 %

表1表明,采用Γ作為夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則能夠得到與采用Smax作為夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則相近的結(jié)果,但計(jì)算所花費(fèi)的時(shí)間卻節(jié)約了14%．這說明,所提出的新準(zhǔn)則能夠保證解的有效性,同時(shí)計(jì)算效率更高．圖4為采用Γ作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則得到的夾具最優(yōu)布局.

圖4 Γ作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則用交換算法得到的夾具布局

5 結(jié)語

在將夾具定位銷的隨機(jī)偏差作為影響裝配體KPC的主要誤差源時(shí),使用傳統(tǒng)多工序設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)夾具布局進(jìn)行設(shè)計(jì),需要計(jì)算復(fù)雜的高維矩陣,影響了計(jì)算效率．本文則通過建立單個(gè)零件偏差傳遞和累積的多工序狀態(tài)空間模型,推導(dǎo)出了一種新的適用于共用定位銷夾具方案的夾具布局設(shè)計(jì)準(zhǔn)則．相較傳統(tǒng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,該準(zhǔn)則僅需計(jì)算定位銷點(diǎn)的平面歐式距離．實(shí)例證明,使用該準(zhǔn)則進(jìn)行夾具布局設(shè)計(jì)不僅有效,而且能夠節(jié)約計(jì)算成本,計(jì)算效率更高．

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