基于一維PCA-EIR技術(shù)的二維SVD-FIR濾波器設(shè)計

王 浩 包永強 奚 吉 趙 力 鄒采榮

(1東南大學(xué)水聲信號處理教育部重點實驗室,南京 210096)

(2南京工程學(xué)院通信工程學(xué)院,南京 210093)

1D和2D數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理領(lǐng)域具有重要且廣泛的應(yīng)用.根據(jù)沖擊響應(yīng)的性質(zhì),1D和2D數(shù)字濾波器可分為1D和2D有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器以及1D和2D無限沖擊響應(yīng)(IIR)濾波器.FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位響應(yīng)以及穩(wěn)定的系統(tǒng)響應(yīng),是數(shù)字濾波器研究及應(yīng)用領(lǐng)域的重要組成部分.然而,在相同的幅度頻率響應(yīng)指標(biāo)前提下,與IIR數(shù)字濾波器相比,FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)較高,故其延時和硬件執(zhí)行復(fù)雜度(用乘法器和加法器個數(shù)來衡量)也較高.當(dāng)數(shù)字濾波器過渡帶較窄時,FIR數(shù)字濾波器硬件執(zhí)行復(fù)雜度高的問題尤其突出.為減少1D FIR數(shù)字濾波器的硬件執(zhí)行復(fù)雜度,Neuvo等[1]提出了一種內(nèi)插有限沖擊響應(yīng)濾波器設(shè)計方法;Lim等提出了1D屏罩法[2]和1D外插法[3-7].其中,1D外插法利用1D低通或高通FIR數(shù)字濾波器系數(shù)的類周期性來降低濾波器的硬件執(zhí)行復(fù)雜度.為了減少2D FIR數(shù)字濾波器[8-9]的硬件執(zhí)行復(fù)雜度,Mersereau等[10]提出了一種基于McClellan變換的2D FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法;Lim等[11]提出了2D屏罩法;Trettel 等[12-15]提出了一種基于奇異值分解(SVD)的2D FIR(2D SVD-FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計方法;Lu等[16]提出了一種基于系數(shù)稀疏的低復(fù)雜度2D FIR濾波器設(shè)計方法.2D SVD-FIR數(shù)字濾波器由若干2D FIR子濾波器并聯(lián)構(gòu)成,每一個2D FIR子濾波器由2個1D FIR子濾波器串聯(lián)構(gòu)成[13].

本文基于1D EIR技術(shù)合成了2D SVD-FIR數(shù)字濾波器的所有1D FIR子濾波器.仿真結(jié)果表明,該方法可以有效降低2D FIR數(shù)字濾波器的硬件執(zhí)行復(fù)雜度.

1 1D EIR濾波器設(shè)計

(1)

由于類周期性,一般能找到3個正整數(shù)M,d,R,使得以下的近似關(guān)系成立:

h1≈α1h0,h2≈α2h0, …,hR≈αRh0

式中,h0為基向量;α1,α2,…,αR為尺度因子,可以通過線性規(guī)劃的方法獲得.上述近似關(guān)系即為原始1D EIR技術(shù)的基本原理.以此為基礎(chǔ),原型1D FIR 數(shù)字濾波器可采用Zhou等[5]提出的1D EIR濾波器結(jié)構(gòu)近似實現(xiàn).為改進(jìn)原始1D EIR技術(shù)的性能,Yu等[4]提出了一種基于半無限規(guī)劃(SIP)的1D EIR(1D SIP-EIR)技術(shù),即采用SIP技術(shù)對原始1D EIR濾波器設(shè)計中的未知參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化.然而,SIP技術(shù)是一種非線性規(guī)劃,其設(shè)計執(zhí)行需要一個較好的迭代初值,該初值一般通過其他1D EIR濾波器設(shè)計技術(shù)獲得.因此,1D SIP-EIR技術(shù)并非一種獨立的1D EIR技術(shù).基于主分量(PCA)分析的1D EIR(1D PCA-EIR)技術(shù)[5-6]是一種獨立且效果較好的1D EIR 技術(shù).該技術(shù)通過選用矩陣HHT的若干最大特征向量,對矩陣H中的每一列向量進(jìn)行線性近似.Wang等[6]提出了一種可以獲得分析解的方法以減弱1D PCA-EIR數(shù)字濾波器的量化效應(yīng).此外,Yu等[7]對如何設(shè)計具有離散系數(shù)的1D EIR濾波器進(jìn)行了研究.本文僅考慮具有連續(xù)系數(shù)的1D EIR濾波器設(shè)計.

2 基于SVD的2D FIR濾波器設(shè)計

線性相位2D FIR濾波器可由其沖擊響應(yīng)矩陣或者頻率響應(yīng)矩陣來表示.本文僅考慮沖擊響應(yīng)為實數(shù)的2D FIR數(shù)字濾波器,而且在無額外說明的情況下均假定2D FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位.設(shè)Φ為一個L1×W1的矩陣,表示任一實系數(shù)2D FIR 數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng);Ω為一個L2×W2的矩陣,表示任一實系數(shù)2D FIR數(shù)字濾波器的理想零相位頻率響應(yīng).分別對矩陣Φ和Ω進(jìn)行奇異值分解可得

式中,U1,V1,U2,V2均為正交矩陣;S1和S2為對角矩陣.這些矩陣均無明確的物理含義,都是由濾波器系數(shù)矩陣Φ和頻率響應(yīng)矩陣Ω推導(dǎo)得到.

式中,u1k,v1k,u2k,v2k分別為矩陣U1,V1,U2,V2的第k個列向量.設(shè)矩陣Φ,Ω的秩分別為r1和r2,則K1≤r1,K2≤r2.u1k,v1k(k=1,2,…,r1)分別為同時鏡像對稱或反對稱;u2k,v2k(k=1,2,…,r2)亦分別為同時鏡像對稱或反對稱.如果K1=r1(或者K2=r2),那么Φ(或者Ω)可以被這些1D列向量零誤差表示.對2D FIR數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng)矩陣Φ進(jìn)行SVD操作時,可令u1k和v1k(k=1,2,…,K1)為1D FIR濾波器的沖擊響應(yīng)序列.對2D FIR 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)矩陣Ω進(jìn)行SVD操作時,可令u2k和v2k(k=1,2,…,K2) 為1D FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)序列.利用SVD技術(shù),由矩陣Φ(或者Ω)表示的2D FIR 濾波器可以通過K1(或者K2)個2D FIR子濾波器并聯(lián)在一起取和實現(xiàn)或者近似實現(xiàn),其中每一個2D FIR子濾波器由2個1D FIR子濾波器串聯(lián)構(gòu)成.

3 1D FIR子濾波器合成

設(shè)ρ(n)為2D SVD-FIR數(shù)字濾波器中的某一個1D FIR子濾波器的系數(shù)，2l+1為子濾波器的階數(shù)或長度.利用1D PCA-EIR 技術(shù)合成這類1D FIR子濾波器的步驟如下：

① 選取參數(shù)M，d，R，將濾波器系數(shù)ρ(n)(M+1≤n≤1)組成矩陣,即

② 采用1D PCA-EIR技術(shù)合成由ρ(n)表示的1D FIR子濾波器,即選取矩陣ρρT的p個最大特征向量,對矩陣ρ中的每一個列向量進(jìn)行線性近似.

③ 計算合成后的1D FIR子濾波器的頻率響應(yīng),并與原型1D FIR子濾波器的頻率響應(yīng)進(jìn)行比較.二者的差值為頻率范圍內(nèi)的最大絕對誤差.若二者的差值在一個很小范圍內(nèi),且1D EIR子濾波器的執(zhí)行復(fù)雜度小于原型1D FIR子濾波器,則1D EIR子濾波器可替代原型1D FIR子濾波器.否則,原型1D FIR子濾波器保持不變.參數(shù)ε表示原型子濾波器與合成子濾波器的頻率域差值,該參數(shù)直接影響合成的2D SVD-FIR濾波器的通帶波紋和阻帶衰減.

在實際濾波器設(shè)計中,參數(shù)ε一般通過嘗試獲取,即先設(shè)定ε為某一值,然后計算所合成的2D SVD-FIR濾波器的通帶波紋和阻帶衰減參數(shù).若合成濾波器的通帶波紋參數(shù)和阻帶衰減參數(shù)滿足濾波器的設(shè)計要求,則設(shè)計結(jié)束;否則,減小ε的取值(ε越小,說明原型1D子濾波器與合成的1D EIR子濾波器越接近),直到濾波器的通帶波紋和阻帶衰減滿足設(shè)計要求.在給定參數(shù)M,d,R的情況下,參數(shù)p可通過完整搜索來獲得最優(yōu)取值.該最優(yōu)值既可滿足通帶波紋和阻帶衰減參數(shù)的指標(biāo)要求,又能使所設(shè)計濾波器的復(fù)雜度最小.本文基于1D PCA-EIR技術(shù)合成了2D SVD-FIR濾波器中的1D FIR子濾波器,其基本原理是利用PCA技術(shù)對子濾波器系數(shù)矩陣ρ進(jìn)行降維.需要指出的是,在以往文獻(xiàn)中,1D EIR技術(shù)主要用于設(shè)計低通或高通FIR數(shù)字濾波器,而本文中需要合成的FIR子濾波器是任意的FIR濾波器.

4 仿真

下面通過2個設(shè)計實例來驗證所提方法的有效性.

設(shè)計實例1假定需要設(shè)計的2D FIR橢圓低通濾波器的理想頻率響應(yīng)為

(2)

式中,ap，bp分別表示濾波器頻域水平和垂直方向上的通帶截止角頻率；as，bs分別表示濾波器頻域水平方向和垂直方向上的阻帶截止角頻率；ω1，ω2分別表示濾波器頻域水平方向和垂直方向上的角頻率.此處，ap=0.31π;bp=0.56π;as=0.51π;bs=0.76π.所期望的通帶和阻帶最大波紋均為-30 dB.

設(shè)計實例2假定需要設(shè)計的2D FIR橢圓帶通濾波器的理想頻率響應(yīng)為

(3)

式中,ap1，ap2表示帶通濾波器頻域水平方向上的通帶截止角頻率；bp1，bp2表示帶通濾波器頻域垂直方向上的通帶截止角頻率；as1，as1表示帶通濾波器頻域水平方向上的阻帶截止角頻率；bs1，bs2表示帶通濾波器頻域垂直方向上的阻帶截止角頻率.此處，ap1=0.31π;bp1=0.56π;ap2=0.51π;bp2=0.76π;as1=0.11π;bs1=0.36π;as2=0.71π;bs2=0.96π.所期望的通帶和阻帶最大波紋均為-20 dB.

下面分別采用窗函數(shù)法、沖擊響應(yīng)矩陣SVD法、頻率響應(yīng)矩陣SVD法來設(shè)計滿足以上指標(biāo)要求的2D FIR數(shù)字濾波器,并采用1D PCA-EIR技術(shù)合成2D SVD-FIR 數(shù)字濾波器中的所有1D FIR子濾波器.

針對設(shè)計實例1和2,采用上述5種方法設(shè)計的2D FIR數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)分別見表1和表2.從表1中可以看出,對于設(shè)計實例1,5種方法所設(shè)計的濾波器通帶波紋和阻帶衰減均達(dá)到-30 dB.方法4較之方法2能節(jié)約13.16%(25個)的乘法器和17.58%(64個)的加法器;方法5較之方法3能節(jié)約7.37%(14個)的乘法器和13.19%(48個)的加法器.從表2中可以看出,對于設(shè)計實例2,5種方法所設(shè)計的濾波器通帶波紋和阻帶衰減均達(dá)到-20 dB.方法4較之方法2可節(jié)約8.85%(17個)的乘法器和13.15%(48個)的加法器;方法5較之方法3可節(jié)約8.13%(13個)的乘法器和14.47%(44個)的加法器.此外,在設(shè)計實例1中,方法2設(shè)計的2D SVD-FIR數(shù)字濾波器具有5個并行結(jié)構(gòu)(對于2D SVD-FIR數(shù)字濾波器而言,每個并行結(jié)構(gòu)由2個1D FIR子濾波器級聯(lián),故此處共10個1D FIR子濾波器).采用方法3對設(shè)計實例1中的10個子濾波器進(jìn)行外插時,參數(shù)M,p,d,R的取值情況見表3.針對設(shè)計實例1,采用方法4設(shè)計的2D FIR數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)見圖1(a);針對設(shè)計實例2,采用方法5設(shè)計的2D FIR數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)見圖1(b).

表1 橢圓低通濾波器的性能指標(biāo)

表2 橢圓帶通濾波器的性能指標(biāo)

表3 基于方法3設(shè)計的2D SVD-FIR濾波器參數(shù)

圖1 2D SVD-FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)

5 結(jié)語

本文基于1D PCA-EIR技術(shù)設(shè)計合成了2D SVD-FIR 數(shù)字濾波器中的1D FIR 子濾波器.仿真結(jié)果表明,在2D SVD-FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)性能未受影響的前提下,采用1D PCA-EIR 技術(shù)設(shè)計2D SVD-FIR 數(shù)字濾波器中的1D FIR子濾波器,較之傳統(tǒng)的2D SVD-FIR數(shù)字濾波器設(shè)計,可以減少硬件執(zhí)行所需的乘法器數(shù)目和加法器數(shù)目,從而驗證了本文方法的有效性.由此可知,1D EIR技術(shù)可用于合成任意1D FIR數(shù)字濾波器.

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