基于有限元分析的石墨烯彈性性能和振動特性

唐文來 彭倚天 倪中華

(東南大學(xué)江蘇省微納生物醫(yī)療器械設(shè)計(jì)與制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 211189)

由Novoselov等[1]首先發(fā)現(xiàn)石墨烯(又稱為二維石墨片),而石墨烯是其他石墨材料的基本單元[2]．實(shí)驗(yàn)研究表明，石墨烯的楊氏模量高達(dá)1TPa[3],并且具有極高的振動頻率[4]．優(yōu)異的彈性性能和振動特性,使得石墨烯在納米復(fù)合材料、納米振蕩器、納米傳感器和納米機(jī)電系統(tǒng)中有著廣闊的應(yīng)用前景[5-6]．

目前,對石墨烯彈性性能和振動特性的研究方法主要有實(shí)驗(yàn)測試、原子模擬和連續(xù)介質(zhì)模擬．Lee等[3]利用原子力顯微鏡納米壓痕法研究了石墨烯的力學(xué)性能,得到石墨烯的楊氏模量為(1.0±0.1)TPa,理想強(qiáng)度為(130±10)GPa．Bunch等[4]構(gòu)建了石墨烯機(jī)電諧振器,檢測到諧振器的共振頻率達(dá)到MHz量級．由于在納米尺度下進(jìn)行有效的實(shí)驗(yàn)非常困難,研究者嘗試通過量子力學(xué)和分子動力學(xué)等原子模擬方法研究石墨烯．Liu等[7]采用從頭計(jì)算方法，得到石墨烯的楊氏模量和泊松比分別為1.05TPa和0.186．Gupta等[8]通過分子力學(xué)模擬研究了石墨烯的彈性性能和自由振動頻率,發(fā)現(xiàn)石墨烯的振動頻率在THz量級．這些原子模擬方法能夠得到較準(zhǔn)確的結(jié)果,但由于巨大的計(jì)算量使其應(yīng)用受到限制．連續(xù)介質(zhì)模擬方法具有計(jì)算效率高、理論簡單等特點(diǎn),在石墨烯研究方面得到了廣泛的應(yīng)用．基于Li等[9]提出的分子結(jié)構(gòu)力學(xué)方法,Sakhaee-Pour研究了不同手性石墨烯的彈性性能[10],并分析了手性、尺寸和邊界條件對石墨烯振動特性的影響[11]．Shakouri等[12]提出基于REBO勢的石墨烯連續(xù)介質(zhì)模型,研究了石墨烯的振動和屈曲行為,發(fā)現(xiàn)手性對振動和屈曲行為的影響很小．以上的連續(xù)介質(zhì)方法是通過建立分子力學(xué)局部原子勢和結(jié)構(gòu)力學(xué)單元應(yīng)變能相等價(jià)的關(guān)系,確定代替石墨烯微觀結(jié)構(gòu)的等效單元參數(shù),方法的準(zhǔn)確性很大程度上取決于原子勢函數(shù)的選?。甋hakouri等[12]分別采用AMBER勢和REBO勢研究了石墨烯的振動特性,發(fā)現(xiàn)不同勢函數(shù)得到的結(jié)果并不相同．

本文基于改進(jìn)的分子結(jié)構(gòu)力學(xué)方法[13],采用矩形截面梁單元代替碳-碳共價(jià)鍵,將石墨烯的微觀原子結(jié)構(gòu)等效成空間框架結(jié)構(gòu),建立石墨烯的連續(xù)介質(zhì)模型．通過分析石墨層的典型受載情況確定等效單元參數(shù),避免了原子勢函數(shù)的選取問題．借助有限元軟件,實(shí)現(xiàn)石墨烯的參數(shù)化建模,分別對模型進(jìn)行線性靜力和模態(tài)分析,計(jì)算得到石墨烯的彈性常量、固有頻率和振型,并系統(tǒng)地討論了手性、尺寸和邊界條件對石墨烯的彈性性能和振動特性的影響．

1 理論與建模

在石墨烯的微觀結(jié)構(gòu)中,單層碳原子通過碳-碳鍵相互結(jié)合圍成正六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)[2],如圖1(a)所示．根據(jù)邊緣結(jié)構(gòu)的不同,石墨烯分為扶手椅型和鋸齒型2種．石墨烯的正六邊形單胞如圖1(b)所示,可以看出碳-碳鍵的作用形式有鍵的伸長(Uρ)、面內(nèi)鍵角變化(Uθ)、離面鍵角變化(Uω)和二面角扭轉(zhuǎn)(Uτ)．

圖1 碳-碳鍵到梁單元的等效[13]

小變形情況下,碳-碳鍵4種作用形式對應(yīng)的勢能可用諧和函數(shù)來描述,這與梁單元的變形能具有相同的形式,因此可用梁單元代替碳-碳鍵．采用Li等[13]提出的改進(jìn)分子結(jié)構(gòu)力學(xué),利用圖1(c)所示的矩形截面梁單元等效碳-碳鍵，將無限大的石墨烯看作石墨層.通過分析石墨層的典型受載情況(單軸拉伸和純彎曲)可以得到等效梁單元的參數(shù)為

(1)

式中,L為長度;A為截面面積;Iy和Iz為截面慣性矩;J為截面極慣性矩;E,G分別為彈性模量和切變模量．等效梁的幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)值都是虛擬的,并不是石墨烯自身的參數(shù),但只要這些參數(shù)組合起來滿足式(1),就可以實(shí)現(xiàn)對碳-碳鍵的等效．

研究石墨烯的振動特性,還需要考慮碳原子質(zhì)量的作用．石墨烯結(jié)構(gòu)中,碳原子的質(zhì)量(mc=1.9943×10-23g)主要集中在原子核上,而原子核的直徑非常小(rc=2.7×10-6nm),可以忽略轉(zhuǎn)動慣量的影響,采用集中質(zhì)量單元來代替碳原子．

利用有限元軟件ANSYS的參數(shù)化設(shè)計(jì)語言,在石墨烯結(jié)構(gòu)中碳原子的位置生成節(jié)點(diǎn),在節(jié)點(diǎn)上創(chuàng)建集中質(zhì)量單元(MASS21)代替碳原子,再利用梁單元(BEAM4)連接相鄰節(jié)點(diǎn),即可建立石墨烯的框架結(jié)構(gòu)連續(xù)介質(zhì)模型．對模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)線性靜力和模態(tài)分析,線性靜力分析時定義默認(rèn)的求解選項(xiàng),模態(tài)分析中采用分塊蘭索斯法,定義模態(tài)擴(kuò)展數(shù)為5,其他選項(xiàng)設(shè)置為缺省值．

2 結(jié)果與討論

2.1 石墨烯的彈性性能

楊氏模量、剪切模量等彈性常量是屬于連續(xù)介質(zhì)框架下的力學(xué)概念.石墨烯是由單層碳原子構(gòu)成,因此須假設(shè)其厚度后才能計(jì)算出等效的彈性常量．石墨是由石墨烯層層堆疊而成的[2],因此采用石墨的層間距離(0.34nm)作為石墨烯的厚度．

石墨烯由長度a和寬度b來表征,對石墨烯模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)線性靜力學(xué)分析,單軸拉伸和純剪切力學(xué)分析如圖2所示.根據(jù)載荷與變形量之間的關(guān)系,可得到石墨烯的楊氏模量、泊松比和剪切模量．

圖2 石墨烯的靜力學(xué)分析示意圖

石墨烯的單軸拉伸模擬如圖2(a)所示,將最底層的節(jié)點(diǎn)固定,在最上端的節(jié)點(diǎn)上施加位移Δa．拉伸完成后,計(jì)算所有固定節(jié)點(diǎn)在長度方向上的總反力F,同時得到石墨烯在寬度方向上的變形量Δb,通過下式得到石墨烯的楊氏模量Eg和泊松比μg:

(2)

(3)

式中,σ,ε為拉伸應(yīng)力和應(yīng)變;t為石墨烯厚度．

石墨烯的純剪切模擬如圖2(b)所示,將底層節(jié)點(diǎn)固定,在最上端和左右兩端施加相同的等效切應(yīng)力τ．根據(jù)模型的變形量,通過下式計(jì)算石墨烯的剪切模量Gg:

(4)

2.1.1 石墨烯的楊氏模量和泊松比

在模擬單軸拉伸時,為了減小兩端施加載荷帶來的局部影響,取長度a=4b．對2種手性石墨烯進(jìn)行單軸拉伸模擬,得到楊氏模量和泊松比隨寬度的變化曲線如圖3(a)和(b)所示．圖3(a)中包含將梁單元進(jìn)行10倍細(xì)化網(wǎng)格后得到的結(jié)果,比較發(fā)現(xiàn)不同網(wǎng)格密度的最大誤差在1%左右,因此可以采用單個梁單元來模擬共價(jià)鍵．圖3(a)表明,扶手椅型石墨烯的楊氏模量值大于鋸齒型,說明楊氏模量與手性相關(guān);隨著寬度的增加,扶手椅型石墨烯的楊氏模量急劇減小,而鋸齒型則迅速增大,當(dāng)寬度足夠大時(大于10nm),2種手性石墨烯的楊氏模量逐漸穩(wěn)定,趨于1.03TPa．由圖3(b)可知,扶手椅型石墨烯的泊松比小于鋸齒型,說明泊松比同樣與手性相關(guān);隨著寬度的增加,2種手性石墨烯的泊松比都呈下降趨勢,當(dāng)寬度足夠大時(大于10nm),2種手性石墨烯的泊松比接近0.175．

圖3 彈性常量隨尺寸的變化曲線

2.1.2 石墨烯的剪切模量

取a=b,對2種手性石墨烯進(jìn)行純剪切模擬,圖3(c)給出了剪切模量隨邊長的變化曲線．從圖中可以看出,扶手椅型石墨烯的剪切模量略高于鋸齒型,表明手性對剪切模量的影響較小;剪切模量隨著邊長的增加而逐漸變大,邊長較小時上升較快,當(dāng)邊長足夠大時(大于10nm)剪切模量趨于440GPa．

由以上分析發(fā)現(xiàn),石墨烯的彈性性能與手性和尺寸都相關(guān)．扶手椅型石墨烯具有較大的楊氏模量、剪切模量和較小的泊松比,說明扶手椅型石墨烯的彈性性能優(yōu)于鋸齒型．彈性常量隨尺寸有著不同的變化規(guī)律,當(dāng)尺寸足夠大(大于10nm)時,石墨烯表現(xiàn)出各向同性,其楊氏模量、剪切模量和泊松比的值分別趨于1.03TPa,440GPa和0.175,這與其他研究者得到的結(jié)論一致[3,7,14]．

2.2 石墨烯的振動特性

通過對模型的模態(tài)分析,能夠得到石墨烯的固有頻率和對應(yīng)振型．石墨烯框架結(jié)構(gòu)模型的無阻尼自由振動方程為

Mü+Ku=0

(5)

取a=b,考慮圖4的3種邊界條件,研究石墨烯的振動特性．分析邊長為10nm的正方形石墨烯,得到振動基頻如表1所示.表中包含了采用文獻(xiàn)[11-12]方法所得到的振動基頻．可以看出,本文的結(jié)果與Shakouri等[12]得到的結(jié)果基本一致,而文獻(xiàn)[12]是通過采用密度泛函方法證明其結(jié)果的準(zhǔn)確性．

圖4 石墨烯的邊界條件示意圖

表1 不同方法得到的振動基頻 GHz

分析邊長為20nm的2種手性石墨烯在2端固定時的振動,得到前5階固有頻率如圖5(a)所示．圖中可以看出,2種手性石墨烯的固有頻率基本一致,表明手性對固有頻率的影響很小．

圖5(b)描述了在2端固定情況下,不同邊長扶手椅型石墨烯的前5階固有頻率．由圖可知,邊長為5nm的石墨烯具有的固有頻率遠(yuǎn)大于其他石墨烯,固有頻率隨著邊長的增大而減小,且當(dāng)邊長較大時,固有頻率逐漸穩(wěn)定,說明尺寸對固有頻率的影響很大．

邊長為20nm的扶手椅型石墨烯在3種不同邊界條件下的固有頻率如圖5(c)所示．圖中可以看出,1端固定、2端固定和4端固定條件下的固有頻率依次增加,表明對石墨烯的邊界約束越多，得到的固有頻率就越大．

圖5 不同條件下的固有頻率

通過模態(tài)擴(kuò)展可以得到石墨烯固有頻率對應(yīng)的振型,圖6(a)比較了邊長為20nm的扶手椅型石墨烯,在3種邊界條件下的前3階振型．可見,不同邊界條件下的振型是完全不同的,對于1端固定和2端固定的石墨烯而言,最大的振幅發(fā)生在自由邊界處,而4端固定石墨烯的最大振幅則發(fā)生在石墨烯內(nèi)部,這些現(xiàn)象與已有的研究吻合[12,15]．邊長為20nm的2種手性石墨烯在2端固定時的振型如圖6(b)所示.圖6(c)展示了邊長分別為20,30nm的扶手椅型石墨烯在2端固定時的振型．圖6(b)和(c)表明,不同手性和不同尺寸下的石墨烯具有的振型相似,表明手性和尺寸對石墨烯振型的影響并不顯著．

圖6 不同條件下的振型

3 結(jié)論

1) 石墨烯的彈性性能與手性和尺寸都相關(guān)．扶手椅型石墨烯的彈性性能優(yōu)于鋸齒型,具有較大的楊氏模量、剪切模量和較小的泊松比．石墨烯的彈性常量隨尺寸的變化規(guī)律不同,但當(dāng)尺寸足夠大時(大于10nm),其楊氏模量、剪切模量和泊松比的值分別趨于1.03TPa,440GPa和0.175,表現(xiàn)出各向同性．

2) 手性對石墨烯振動的固有頻率和振型影響很小;石墨烯的固有頻率與尺寸和邊界條件相關(guān),尺寸越小、邊界的約束越多得到的固有頻率就越大;尺寸對石墨烯振型的影響不顯著,而在不同邊界條件下的振型則完全不同．

3) 由于納米尺度的實(shí)驗(yàn)非常復(fù)雜,沒有對模擬結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,而是通過和已有的研究進(jìn)行比較來說明結(jié)果的正確性．

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