哈密頓體系下正交各向異性板彎曲的求解

王麗麗

(溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州325035)

哈密頓體系下正交各向異性板彎曲的求解

王麗麗

(溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州325035)

運(yùn)用哈密頓求解體系來(lái)求解正交各向異性板的彎曲問(wèn)題，由板的撓度基本方程出發(fā)求得本征值，并根據(jù)本征值本身特點(diǎn)得到本征向量，進(jìn)而求得問(wèn)題的解，并討論了該方法的特點(diǎn)。

哈密頓體系；正交各向異性；板彎曲

0 引言

目前很多文獻(xiàn)討論各向異性板的彎曲問(wèn)題的方法。如張福范[1]用三角級(jí)數(shù)解正交各向異性板彎曲問(wèn)題，馮立華[2]用利茲法求解正交各向異性矩形板的彎曲，王克林[3]用級(jí)數(shù)和疊加解得到正交各向異性板彎曲問(wèn)題的解，張承宗[4]用復(fù)級(jí)數(shù)展開法求解了各向異性板的橫向彎曲問(wèn)題，王 震[5]用傅立葉級(jí)數(shù)法求解了各種邊界條件下的正交各向異性板彎曲問(wèn)題。上述一些方法中在求解不同矩形板的問(wèn)題時(shí)不夠系統(tǒng)而且要硬性事先選取彎曲撓度。本文將基于哈密頓體系來(lái)對(duì)正交各向異性板的彎曲問(wèn)題進(jìn)行推理直接可以獲得彎曲解的表達(dá)方式進(jìn)而獲取一種較普遍適用的解法。

本文首先由板彎曲方程導(dǎo)入哈密頓體系，將問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)入求解推導(dǎo)出的哈密頓對(duì)偶方程，將問(wèn)題的解通過(guò)本征值和本征函數(shù)來(lái)表示，在求解本征向量時(shí)會(huì)依據(jù)本征值特點(diǎn)選取簡(jiǎn)潔的本征向量，并能夠有規(guī)律并簡(jiǎn)潔的表述問(wèn)題的解。

1 哈密頓體系的導(dǎo)入

本文在彈性力學(xué)基本方程的基礎(chǔ)上來(lái)進(jìn)行導(dǎo)入哈密頓體系。

1.1 板彎曲的撓度函數(shù)方程為：

其中，w表示板的撓度，q為橫向外載荷，D11，D22，D12，D66為板的彎曲剛度。板內(nèi)彎矩扭矩、剪力以及等效剪力分別表示

1.2 以[w，φx，T，Mx]T為對(duì)偶變量的方程

設(shè)v=[w，φx，T，Mx]T，對(duì)x求偏導(dǎo)，并結(jié)合(1.2)我們得到：

其中，

v=[w，φx，T，Mx]T為板的狀態(tài)向量,f=[0 0 q 0]T為外力向量.“·”表示對(duì)x求偏導(dǎo)。矩陣H滿足HT=JHJ，H是一個(gè)哈密頓算子矩陣,問(wèn)題已經(jīng)導(dǎo)入哈密頓體系。式子(2.3)是求解薄板的哈密頓對(duì)偶方程。

2 求解薄板的哈密頓對(duì)偶方程

2.1 求解式子(2.3)的齊次方程為

其中，Y(y)=[w(y)，φx(y)，T(y)，Mx(y)]T.ξ與Y(y)為需求非零本征值與本征向量。令ξ=0，解出Y(y)=0.對(duì)于問(wèn)題求解無(wú)意義故不需要考慮ξ=0的情況。本征解轉(zhuǎn)化為求解如下的特征方程：

可得到方程(2.5)根：λ1，2=±iβ1ξ，λ3，4=±iβ2ξ，(β1＜β2)，相應(yīng)的通解形式：

其中，M11=cos(β1ξy)，M12=sin(β1ξy)，M21=cos(β2ξy)，M22=sin(β2ξy)

而由式(2.4)得到：

Ai，Bi，Ci，Di(i=1-4)為常數(shù)但之間有關(guān)聯(lián)，可由式(2.4)來(lái)確定它們之間數(shù)量關(guān)系。

2.2 以對(duì)邊簡(jiǎn)支作為求解示例

對(duì)于對(duì)邊簡(jiǎn)支板，y方向的簡(jiǎn)支邊界條件為：

將式(2.6)代入條件(2.11)得關(guān)于A1，B1，C1，D1的齊次線性方程組

其中，m11=cos(β1ξb/2)，m12=sin(β1ξb/2)，m21=cos(β2ξb/2)，m22=sin(β2ξb/2)

因?yàn)锳1，B1，C1，D1不可全部為零而需要取得非平凡解，故(2.12)系數(shù)行列式為零。得到關(guān)于ξ的超越方程。不考慮ξ=0.得到：

sin(β1ξb)sin(β2ξb)=0.解得非零本征值：

將求得的根ξn代入方程(2.12)可以得到系數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)而得出

A1，B1，C1，D1簡(jiǎn)潔的非平凡解。具體方法如下：

（1）特征值ξn

取A1=1，B1=0，C1=0，D1=0，再由(2.10)求得Ai，Bi，Ci，Di(i=2-4)

取A1=0，B1=1，C1=0，D1=0，再由(2.10)求得Ai，Bi，Ci，Di(i=2-4)

（2）特征值ξn=-ξn

n=1，3，5…取A1=-1，B1=0，C1=0，D1=0

n=2，4，6…取A1=0，B1=1，C1=0，D1=0(此處取B1=1是根據(jù)后面本征向量來(lái)取得)

（3）特征值ξn*

注：這里的是Ai，Bi，Ci，Di(i=1-4)簡(jiǎn)單符號(hào)表達(dá)具體問(wèn)題中與本征值和n有關(guān)。它們的選取完全依據(jù)本征值做了全面的選取，而不是隨便解得。故對(duì)后面的求解更全面。

由(2.4)得

3 算例

以四邊簡(jiǎn)支的正交各向異性的邊長(zhǎng)為1的方板為例。

D22=3.9D11，D66=0.85D11，D12=v2D11，v2=0.3。代入式子(2.5)，(2.13)解得非零本征值。取滿足非齊次方程(2.3)的特解

x方向的邊界條件為：

［1］張福范.彈性薄板[M].北京：科學(xué)出版社，1984.

［2］馮立華，楊加明，戴良忠，王旭.利茲法求解正交各向異性矩形板的彎曲[J].失效分析與預(yù)防，2012，7(4)：207-212.

［3］王克林，劉俊卿，趙東.平板的彎曲振動(dòng)和屈曲[M].北京：冶金工業(yè)出版社，2006.

［4］張承宗，楊光松.各向異性板結(jié)構(gòu)橫向彎曲一般解析解[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，1996，28 (4)：47-48.

［5］王震，張為民，劉新東.傅立葉級(jí)數(shù)法求解正交各向異性板彎曲問(wèn)題[J].山西建筑，2008，34(29)：12-13.

［6］姚偉岸，鐘萬(wàn)勰.辛彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

［7］鐘萬(wàn)勰，彈性力學(xué)求解新體系[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，1995.

［8］徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

［9］蘇濱.哈密頓體系在各向異性板彎曲問(wèn)題中的應(yīng)用[D].大連理工大學(xué)，2000.

［10］鐘陽(yáng)，周純秀，劉 偉.求解彈性矩形薄板問(wèn)題的辛幾何法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(4)：505-507.

［11］李銳.矩形板問(wèn)題的Hamilton求解方法[D].大連理工大學(xué)，2012.

Orthotropic Anisotropic Plate Bending Under Hamiltonian System

WANG Li-li
(College of mathematics and information science,Wenzhou University,Wenzhou Zhejiang 325035,China)

The Hamiltonian solution system to the bending problem of orthotropic plates,the basic equations of deflection plates to obtain eigenvalues and Intrinsic value itself,according to the characteristics of the eigenvector,and then get the solution of the problem,and discusses the characteristics of the method.

Hamiltonian system；Orthotropic anisotropic；Plate bending

湯靜］