懸浮流中浮升氣泡運動的數值模擬

彭小奇，陳思超，宋彥坡，劉 濤

(1.中南大學 能源科學與工程學院，長沙 410083；2.湖南第一師范學院 信息科學與工程系，長沙 410205)

泡沫浮選工藝被廣泛應用于選礦生產。在浮選槽中，攪拌裝置對礦漿進行激烈攪拌產生強烈的渦流，渦流的剪切作用使吸入浮選機的空氣被分散成大量尺寸不等的氣泡，這些氣泡的初速度大多在0～0.1 m/s之間[1]。氣泡在礦漿中運動時，礦粒與之碰撞并粘附于氣泡表面，礦化后的氣泡在浮選槽的靜止區(qū)域中上升以減少礦粒的脫附[2]，礦粒隨氣泡上升至礦漿表面后，被收集成為浮選產品。顯然，浮選生產的產量與產品質量與氣泡運動密切相關，研究氣泡在礦漿中的運動規(guī)律對改進生產過程、提高產品產量與質量具有重要意義。

由于氣泡在液體中呈強非線性運動，運動過程中其界面變形較大，情況復雜多樣[3]，難以通過解析方法具體分析其運動變化規(guī)律，故大多采用數值模擬方法進行分析研究。朱仁慶等[4]、武博等[5]和馬斗[6]模擬得出了氣泡在水中上升的運動速度隨時間變化的規(guī)律，與氣泡上升速度計算經驗公式所得結果較吻合；KRISHNA等[7]運用VOF方法模擬了充滿水的二維矩形域內單個氣泡的上升過程，得到的氣泡上升軌跡與實驗觀測結果基本一致；WU等[8]通過實驗觀察和理論分析方法獲得了氣泡的具體形成過程；LI等[9]也涉及了模擬氣泡在非牛頓流體中的運動情況。上述國內外學者進行的大量理論和實驗研究均是針對氣泡在純液體中的運動，對氣泡在礦漿懸浮液中運動的模擬研究較少?LUO等[10-11]先后通過實驗研究了在高壓液固懸浮體中氣泡的生成與運動過程，提出了一種基于球對稱假設的機理模型，對分析氣泡在懸浮液中的受力情況作了一定的貢獻；李彥鵬等[12]模擬了三維的液固懸浮液中氣泡的上升，該研究很好地證明了氣泡的上升會受到顆粒流的影響；李永強等[13]利用影像研究方法記錄了氣泡在旋流分選器中的運動現(xiàn)象，獲得了對氣泡運動規(guī)律的直觀認識。在運用VOF方法方面，XU等[14]和SEONG等[15]證明了VOF方法模擬的結果與實際情況的一致性較好。

上述文獻都使用不同研究方法成功地對氣泡的形狀、大小、軌跡等進行了定性的研究分析，但極少用到具體的數值去表示氣泡變形的程度，研究浮選中氣泡最佳尺寸的相關報道也甚少。由于氣泡大小是浮選的重要表觀特征之一，氣泡過大或過小都直接影響著礦粒的回收率[16]，因此，本文作者在前面文獻工作的基礎及啟發(fā)下，將VOF方法運用到簡化的懸浮液中氣泡運動的模擬上，在不同密度的靜止均勻礦漿中的分離區(qū)，對不同初速度和不同初始直徑下的單個氣泡運動進行模擬，并使用氣泡的具體形變參數對氣泡在運動過程中形狀、大小、軌跡等量的變化進行定量的分析，在不考慮氣泡運載能力下，對浮選最佳升浮氣泡尺寸范圍進行研究，將模擬與研究分析結果與文獻中已有的結果及實際生產情況進行比較。

1 氣泡模擬的數值理論與方法

1.1 基本假設

本文主要研究氣泡在浮選機分離區(qū)的運動情況。為便于研究，作以下假設：

因浮選槽中分離區(qū)礦漿的紊流程度較小，氣泡進入分離區(qū)之后運動速度以垂直向上方向的速度為主[17]，且單個氣泡在液-固懸浮流中的上升運動與其在高黏度流體中的運動類似，故將液固懸浮流視為靜止的不可壓縮的牛頓型均勻流體[18-19]；氣泡初始形狀為球形。

1.2 VOF方法

VOF方法[20-21]是一種通過追蹤流場網格中流體體積變化來捕捉兩相流運動界面的方法，其計算量小、精度高且容易實現(xiàn)。它定義每個網格中目標流體的體積與網格體積之比為C，即C是一個流體體積函數，由C的大小可知兩相界面所處的位置：

體積函數C滿足如下控制方程：

式中：t為時間變量，s；u為流體運動速度矢量，m/s。

1.3 氣泡運動控制方程

因研究對象是一個等溫系統(tǒng)的多相流系統(tǒng)，且氣液兩相流為不可壓縮的牛頓流體，根據定義的VOF方法，可認為這個有相界面分隔的兩相體系是單相流體系，故控制方程是對不可壓縮流體的質量守恒方程和動量守恒方程[22]。

1) 質量守恒方程

2) 考慮表面張力的動量方程

式中：ρ為流體密度；u為流體的速度矢量；p為壓強；Fs為表面張力源項；μ為動力粘性系數。

1.4 連續(xù)表面張力模型

本文研究氣泡在礦漿中的運動考慮了表面張力的影響，在VOF模型中使用的表面張力，是通過散度原理表示為體積力，并采用了BRACKBILL等[23]提出的連續(xù)表面張力模型(Continuum surface force，CSF)將表面張力添加到動量方程中的源項。

定義αq為第q相體積分數，根據體積分數分布，可得界面法向矢量為

可得表面曲率為

式中：單位法向矢量為

則表面張力表示為

式中：i和j為單元中的i相和j相。若一個單元只有兩相，則

式(8)即簡化為

1.5 氣泡運動過程中的形變參數

為更好的表達和說明氣泡變形的程度，本文定義了以下3種參數，對氣泡的形變從3個角度進行數值上的定量分析，具體表示如圖1所示。

定義1：氣泡晃動角θ，氣泡在運動中變形后，其左右兩頂點的連線與水平線的夾角定義為氣泡晃動角，記為θ?；蝿咏堑拇笮”砻鳉馀菰诖怪狈较蛏系幕蝿映潭?。在氣泡上升過程中，其最大晃動角與最小晃動角代數差的絕對值U越大，則氣泡晃動程度 越大。

定義2：氣泡變形系數W，在運動中變形的氣泡，其長軸與短軸之比定義為氣泡變形系數，記為W。變形系數表明氣泡外形上左右、上下伸縮的形變程度，即扁平程度，在氣泡上升過程中，W越大，其變形程度越大。

定義3：氣泡偏移系數M，變形的氣泡中心與其初始氣泡中心之間的水平方向距離與初始氣泡半徑之比定義為氣泡偏移系數，記為M。偏移系數表明了氣泡在上升過程中水平方向上的擺動幅度。M越大，則表明氣泡上升運動軌跡的左右擺動幅度越大。

圖1 氣泡形變參數定義示意圖Fig.1 Schematic diagrams of bubble deformation parameter definition: (a), (b) U=|θmax-θmin|; (c) W=b/a; (d) M=L/R

2 數值模擬結果與分析

2.1 初始邊界條件和參數

為消除壁面帶來的影響，當氣泡直徑D為7～8 mm時，取計算區(qū)域為0.04 m×0.1 m，其他直徑取0.02 m×0.1 m的計算區(qū)域；采用四邊形網格，網格間距等于2.5×10-4m，時間步長等于1.0×10-4s，頂部邊界條件為壓力出口，其他為無滑移壁面，礦漿處于靜態(tài)，初始條件參數如表1所列。

表1 浮升氣泡運動數值模擬的初始條件參數Table1 Initial condition parameters for numerical simulation of flotation bubble motion

2.2 不同氣泡直徑對氣泡上升的影響

同一初速度、不同初始直徑的氣泡運動軌跡、形變、上升速率等均不同。4種不同初始尺寸氣泡在不同初速度時的運動軌跡如圖2所示。由圖2可見，氣泡上升過程中該在形變和擺動，且變形和擺動的幅度隨著初速度及初始直徑的不同而各不相同。氣泡在礦漿上升運動過程中因所受壓力、浮力、阻力等的不均衡而該在變形、晃動等。

計算氣泡初始直徑為2和4 mm的晃動角θ均在0.5°以下，可忽略。其他形變參數值如表2所列。由此可知，氣泡初始直徑越大，其最大變形系數越大，最大偏移系數越小，即氣泡的變形程度隨其初始直徑的增加而增大，其擺動幅度隨氣泡初始直徑的增加而減少；同一尺寸的氣泡初速度越大，其最大變形系數和最大偏移系數也越大，即氣泡變形程度和擺動幅度隨初速度的增加而增大；氣泡晃動角隨著氣泡直徑和初速度的增加而增大，即氣泡初始直徑和初速度越大，其在垂直方向上的晃動程度越大。

圖2 不同尺寸氣泡在不同初速度時的運動軌跡圖Fig.2 Trajectory diagram of different size bubble in different initial velocities: (a) v0=0.02 m/s; (b) v0=0.04 m/s; v0=0.06 m/s;v0=0.08 m/s (From left to right, the bubble diameter is 2, 4, 6 and 8 mm, respectively.)

表2 不同初速度下不同初始直徑氣泡運動中的形變參數最大值Table2 Maximum bubble deformation parameter value with different bubble initial diameter under different initial velocity during bubble motion

由表2中數據可看出，直徑為2 mm的氣泡變形程度最小，但水平方向上的偏移幅度最大；直徑為6和8 mm的氣泡形變程度大，垂直方向晃動程度大。直徑為4 mm的氣泡形變過程較為平緩，與直徑為2 mm的氣泡相比，其水平方向上偏移幅度大幅度減小；由此可見，直徑為4 mm的氣泡形變情況最為理想。

2.3 不同初速度對氣泡上升速度的影響

2.3.1 氣泡運動初始階段和穩(wěn)定階段的速度分布

不同直徑的氣泡在上升初始階段和上升穩(wěn)定后的速度矢量圖總體上類似，由圖3(a)可見，氣泡在上升初始階段，靜止的礦漿受到的擾動使得氣泡周圍(液相)的速度場在左右兩側該在多個對稱的渦結構，這些渦結構增加了氣泡上浮的阻力和形變程度。由圖3(b)可見，隨著氣泡的上升，液流速度場趨于穩(wěn)定，氣泡兩側形成了兩個對稱的渦結構，此時浮升力與液體壓力及其他阻力基本達到平衡狀態(tài)，氣泡在此時形變較為平緩，上升速度平穩(wěn)。

2.3.2 氣泡運動速率變化規(guī)律

在不同初速度下，氣泡在初始上升階段整體上是加速運動的，但受不同直徑氣泡和不同初速度的影響，其加速階段的具體加速過程有所不同，并呈現(xiàn)一定的規(guī)律，具體如圖4(a)～(d)所示。

圖4(a)所示為初速度為0.02 m/s時，4種直徑的氣泡上升初始階段的速度—時間關系圖。由圖4(a)可以看出，4種直徑氣泡均是一開始上升便做加速運動，且直徑為4 mm的氣泡運動速度一直居首，這表明當初速度為0.02 m/s時，對液流的初始擾動較小，氣泡所受浮升力均大于其所受的阻力，且直徑為4 mm的氣泡加速得最快。

圖4(b)所示為初速度0.04 m/s時，4種直徑的氣泡開始上升到趨于穩(wěn)定階段的速度—時間關系圖。由圖4(b)可以看出，直徑為4 mm的氣泡運動規(guī)律是氣泡一直做加速運動直至速度趨于穩(wěn)定，且直徑為4 mm的氣泡運動速度大于其他直徑氣泡的運動速度；直徑為2、6和8 mm的氣泡運動規(guī)律是先減速，然后加速直至速度趨于平穩(wěn)。

圖4(c)和(d)所示的氣泡運動規(guī)律與圖4(b)的相同，這表明當該在由初速度為0.04、0.06和0.08 m/s引起的上浮阻力的情況下，直徑為4 mm的氣泡均能夠克服擾動及其他阻力先進行加速運動；而直徑為2、6和8 mm的氣泡在較大初速度作用下，其浮升能力小于上浮阻力而首先作減速運動，之后隨著上升運動阻力和液體壓力的降低，運動速度逐漸增大直至穩(wěn)定。

綜合4種初速度下的氣泡運動規(guī)律圖可見，初始直徑為4 mm的氣泡抗液流擾動能力及初始階段上浮速度較其他直徑氣泡的要大。

2.3.3 氣泡該程運動時間

不同初速度情況下不同初始尺寸氣泡該程運動的時間各不相同。由圖5可見，同一初始直徑氣泡到達液面的時間總體上隨著初速度的增加而縮短，4種氣泡到達液面的先后順序按直徑排列為4、6、8和2 mm；直徑為6 mm的氣泡的平均速度略大于直徑為8 mm的氣泡的平均速度。v0= 0.02 m/s時，初始直徑為6和8 mm的氣泡由于在起始運動狀態(tài)下阻力較小，初始階段沒有減速過程，該程運動時間長于其他初速度條件下的該程運動時間；v0= 0.04 m/s時，初始上升階段的阻力較v0=0.02 m/s時的阻力大，初始直徑為6和8 mm的氣泡先減速了一段時間，因此，在該計算區(qū)域內，其上升時間長于初速度為0.02 m/s時的上升時間；v0為0.06和0.08 m/s時，雖然其上升初始階段也該在較大阻力和一段時間的減速運動，但其減速完成并開始加速時的速度及其減速過程運動的路程較初速度為0.04 m/s時的大，因此，其運動時間較初速度為0.04 m/s時的要短。直徑為2 mm的氣泡由于浮升力最小，其平均上升速度最慢而最后到達液面。直徑為4 mm的氣泡在所有初速度情況下的該程運動時間最短，且隨著初速度的增大，其上升至液面時間縮短，說明直徑為4 mm的氣泡上升平均速度最大，其上浮動力與上浮阻力之比大于其他直徑氣泡的上浮動力與上浮阻力之比，浮升能力最強。

圖3 氣泡上升速度矢量圖Fig.3 Vector diagram of bubble rise velocity: (a) Initial stage; (b) Stabilization stage

圖4 不同直徑氣泡在不同初速度下0～0.04 s運動時間段的變化規(guī)律Fig.4 Change rule of different diameter bubble motions during 0-0.04 s at different initial velocities: (a) v0=0.02 m/s;(b) v0=0.04 m/s; (c) v0=0.06 m/s; (d) v0=0.08 m/s

圖5 不同初速度下不同直徑氣泡到達液面的時間Fig.5 Time of different diameter bubble reaching to liquid level at different initial velocities

氣泡形變和擴張程度及擺動幅度越大，其表面粘附的礦粒越易脫落，氣泡越易破滅；氣泡初始直徑過小，則其表面能粘附的礦粒尺寸及數量過小，氣泡對礦粒的攜載和輸運能力隨之變弱，兩者均會導致浮選生產率降低，礦物回收率減少。綜合 2.2～2.3節(jié)模擬結果及分析所述可知，初始直徑為4 mm的氣泡形變過程較為平緩，水平方向上偏移幅度較小，其浮升力與上升阻力之比較其他初始直徑氣泡的要大；在所有初速度情況下，其運動時間最短，即其上升平均速度最大，浮升能力最強，對礦粒的承載能力最強。因此，浮升氣泡的尺寸以中等大小(直徑為4 mm)為最佳。

2.3.4 氣泡上升速度模擬計算與理論公式計算比較

對于單個氣泡上升速度公式的推導有很多著名的公式，Stokes及Mendelson公式是其中之一，如式(12)所示，表示的是氣泡上升平穩(wěn)速度(u)與氣泡直徑的關系。

式中：ρf為流體密度，kg/m3；ρg為氣體密度，kg/m3；CD為阻力系數；db為氣泡的當量直徑，m；g為重力加速度，m/s2。

氣泡的上升過程可分為層流區(qū)、過渡區(qū)和紊流區(qū)3種情況。

1) 在層流區(qū)(Re＜1)時，則氣泡上升速度公式為

式中：σ為表面張力系數，N/m。

2) 在過渡區(qū)(1＜Re＜300)時，氣泡上升速度公式為

3) 在紊流區(qū)(300＜Re＜4 000)時，則氣泡上升速度公式為

由式(13)、(14)和(15)可看出，當氣泡上升處于層流區(qū)和過渡區(qū)時，氣泡上升平穩(wěn)速度與氣泡直徑大小成正比；當氣泡處于紊流區(qū)時，氣泡上浮平穩(wěn)速度與氣泡直徑成反比。由于氣泡在上浮過程中多處于過渡區(qū)和紊流區(qū)，因此，氣泡在流體中的上升速度并不單純地隨著氣泡直徑的增大而增加。氣泡的上升速度在運動了0.04～0.05 s之后就會達到一個平穩(wěn)值，如圖5所示，直徑為4 mm的氣泡上升平均速度最大，表明其上升平穩(wěn)后的速度亦最大，與理論推導公式分析結果一致。在實際的氣泡上升過程中，氣泡很難達到力的平衡，且隨著氣泡的上升，其體積逐漸變大，造成阻力和浮升力出現(xiàn)非線性變化，此時氣泡受力關系變得極其復雜。

3 不同礦漿密度對氣泡運動的影響

3.1 不同密度礦漿中氣泡的形變程度

本研究模擬3種不同礦漿密度下氣泡上升的運動情況，其他條件不變。作為對比，增加了3種直徑氣泡的模擬實驗，具體初始模擬參數如表3所列，模擬及計算結果如圖6和表4所示。由圖6可見，不同礦漿密度中，氣泡上升過程中的形變情況及上升軌跡有所不同；由表4可知，氣泡變形系數與礦漿密度成正比，氣泡偏移系數與礦漿密度成反比，即氣泡變形程度隨礦漿密度的減少而減少，氣泡上升軌跡水平方向上擺動幅度隨礦漿密度的減少而增大；大氣泡的偏角隨礦漿密度的增大而減少，即礦漿密度越大,氣泡在垂直方向上的擺動越小。

3.2 不同密度礦漿中氣泡運動平均速度規(guī)律

不同初始直徑氣泡在不同密度礦漿中到達液面的時間各不相同，如圖7所示。為比較新增初始直徑氣泡與原尺寸氣泡的模擬結果，計算礦漿密度為1 175 kg/m3、氣泡初始直徑為4、5、6、7 mm的各種形變參數及礦漿密度為1 600 kg/m3、氣泡初始直徑為3、4、5、6 mm的各種形變參數，計算結果如表5和6所列。

由圖7可見，礦漿密度越大，氣泡到達液面所需時間越長，表明氣泡隨著礦漿密度的增大受到的黏滯阻力越大，氣泡上升的平均速度越小。由表5可知，在礦漿密度為1 175 kg/m3時，直徑為5 mm的氣泡的偏移系數最大值(0.122)小于直徑為4 mm的氣泡的偏移系數最大值(0.251)。同時，由圖7可見，直徑為5 mm的氣泡到達液面所需的時間比直徑為4 mm的氣泡所需的時間要少，即其上升的平均速度更大，所以在礦漿密度為1 175 kg/m3時，最佳浮升氣泡尺寸在5 mm左右。由表6可見，在礦漿密度為1 600 kg/m3時，直徑為3 mm的氣泡的變形系數最大值(1.475)小于直徑為4、5 mm的氣泡的變形系數最大值，且直徑為3 mm的氣泡的晃動角(0.18)比直徑為4 mm的氣泡的晃動角(0.52)小，上升的平均速度略小于直徑為4 mm的氣泡的平均速度。綜合各方面情況可見，在礦漿密度為1 600 kg/m3時，最佳浮升氣泡趨于初始直徑為3 mm左右的氣泡。

表3 在不同密度礦漿中模擬的初始條件參數Table3 Initial condition parameters of simulation in different ore pulp densities

圖6 不同礦漿密度中氣泡的運動規(guī)律Fig.6 Bubble motion law in different ore pulp density: (a) 1 175 kg/m3; (b) 1 400 kg/m3; (c) 1 600 kg/m3; (d) From left to right:D=3 mm, ρ=1 600 kg/m3; D=5 mm, ρ=1175 kg/m3; D=5 mm, ρ=1 600 kg/m3; D=7 mm, ρ=1175 kg/m3

表4 不同密度下不同初始直徑氣泡運動中的形變參數最大值Table4 Maximum bubble deformation parameter value with different bubble initial diameters in different densities during bubble motion

圖7 不同礦漿密度下不同初始直徑氣泡到達液面的時間Fig.7 Time of different diameter bubble reaching to liquid level under different pulp densities

綜上模擬結果及分析可知：礦漿密度為1 175 kg/m3時，最佳浮升氣泡尺寸在5 mm左右；礦漿密度為1 400 kg/m3時，最佳浮升氣泡尺寸在4 mm左右；礦漿密度為1 600 kg/m3時，最佳浮升氣泡尺寸在3 mm左右。因此，在不同密度的礦漿中，最佳浮升氣泡初始尺寸各不相同。

表5 礦漿密度1 175 kg/m3下氣泡形變最大參數值Table5 Maximum bubble deformation parameter values in density of 1 175 kg/m3

表6 礦漿密度1 600 kg/m3下氣泡形變參數值Table6 Maximum bubble deformation parameter values in density of 1 600 kg/m3

在實際生產中，礦漿含量在25%～50%之間，對應的礦漿密度為1 175～1 400 kg/m3，因此，通常情況下，中等尺寸(直徑為3～4 mm)的浮升氣泡可獲得較好的浮選生產效果。

4 結論

1) 運用VOF方法對不同初始直徑、不同初速度條件下的氣泡在3種不同密度的礦漿中的運動情況進行了模擬實驗，得到了氣泡的運動軌跡和速度分布圖，并計算了氣泡形變最大參數值。

2) 在礦漿密度為1 400 kg/m3時，直徑為4 mm的氣泡相比其他氣泡形變平緩，上升速度最大，浮升能力最強，最有利于礦粒的回收；礦漿密度有所偏大或偏小時，浮升氣泡的最佳尺寸仍為3～5 mm。這證明了氣泡尺寸過大或過小時，其運動形變情況均不利于礦粒的回收，該模擬結果與實際生產情況高度吻合。

3) 對模擬結果的分析表明：當氣泡初速度v0=0.02 m/s時，氣泡在上升初始階段受到液流的擾動影響不大；當氣泡初速度v0＞0.02 m/s時，氣泡受到的初始上浮阻力較大。

4) 實驗結果證明，與實際生產中的礦漿濃度對應的最佳浮升氣泡尺寸為3～4 mm。

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