最大樹法在登陸地域選擇中的應用

宋劍 劉永輝

(海軍陸戰(zhàn)學院，廣東 廣州510430)

1 引言

登陸作戰(zhàn)是一種自海上發(fā)起的對敵岸實施登陸的進攻行動，登陸地域是兩棲作戰(zhàn)部隊從海上向岸上發(fā)起進攻的作戰(zhàn)區(qū)域，包括海上(含水下)、陸上和空中三部分區(qū)域［1］。選擇登陸地域時，要求充分考慮登陸部隊和海、空軍部隊的聯(lián)合作戰(zhàn)要求。未來立體登陸作戰(zhàn)，由于氣墊艇、直升機等先進登陸裝備大量運用，將對登陸地域的選擇產(chǎn)生直接影響，除應考慮到敵情、地情等因素外，還要著眼于登陸裝備的發(fā)展，選擇有利于發(fā)揮現(xiàn)代登陸裝備能力的登陸地域。

信息化作戰(zhàn)條件下影響登陸地域選擇的因素眾多，指揮員單憑經(jīng)驗的決策方法已經(jīng)不能滿足實戰(zhàn)的需要，而應在定性分析的基礎上引入定量評估的方法。本文首先分析了影響登陸地域選擇的主要因素，給出建模方法，建立了登陸地域分類的模型，在此基礎上以第二次世界大戰(zhàn)中著名的登陸戰(zhàn)例——諾曼底登陸中登陸地域分類為例，進行了驗證。

2 最大樹法理論基礎

最大樹法是模糊聚類分析的一種解算方法。聚類分析的基本思想是根據(jù)對象間的相關程度進行類別的聚合，并以此來實現(xiàn)分類，使同一類中的個體有較大的相似性，不同類中的個體差異盡可能得大。實質(zhì)就是根據(jù)研究對象本身的屬性來構造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的聚類水平來確定其分類關系［2］。

2.1 建立原始數(shù)據(jù)矩陣

設論域U={x1，x2，…，xn}為n個待分類的登陸地域，每個登陸地域對象xi采用4個指標進行描述［3］，即xi={xi1，xi2，xi3，xi4}={隱蔽性，機動性，易生存性，易配置性}，i=1，2，…，n。

由此可以得到對各登陸地域對象進行描述的原始數(shù)據(jù)矩陣:

2.2 構造模糊相似矩陣

通過計算分類對象間的相似程度rij，可建立模糊相似矩陣R。建立模糊相似關系的方法很多，主要有數(shù)量積法、相關系數(shù)法、最大最小法、算術平均最小法、幾何平均最小法、絕對值指數(shù)法、絕對值減數(shù)法、海明距離法、歐式距離法、絕對值倒數(shù)法、專家打分平均法等［4］。以上列出的11種建立模糊相似關系的方法究竟選用哪種，不能一概而論，視問題的實際情況而定，具體原則可參考相關文獻。在本文的應用示例中，選用了絕對值減數(shù)法，其數(shù)學模型為:

式(2)中，c為可選擇的常量值。

2.3 構造最大樹并分類

在模糊相似矩陣R中，按rij的大小順序依次用直線將元素連接起來，并標上權重。若某一步出現(xiàn)回路，便不畫這一步，直到所有元素連通為止。這樣，就得到一棵所謂的最大樹(可以不唯一)［6］。然后取定λ∈［0，1］(聚類水平)，砍斷權重低于λ的枝，互相連通的元素歸為一類。

2.4 分類的模糊檢驗

確定最佳閥值λ有兩種方法［7］:一種是根據(jù)專家的經(jīng)驗;另一種是用F統(tǒng)計量確定λ。本文選用了后者來確定最佳閥值，可以避免閥值選擇的主觀性。

式(3)中，xˉ為總體樣品的中心向量，r為對應λ值的分類數(shù)，第j類的樣品數(shù)為nj，第j類的樣品記為，第j類的聚類中心向量=(為第k個特征的平均值，F(xiàn)值最大時所對應的λ即為最佳閥值。

F統(tǒng)計量服從自由度為(r-1，n-r)的F分布，式(3)中的分子表征類與類之間的距離，分母表征類內(nèi)樣本間的距離。F值越大，說明類與類之間的距離越大，表示類與類之間的差異越大，分類也就越明顯。

在一定的顯著性水平下，如果F＞Fα(r-1，n-r)，則根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計方差分析原理，可以認定類與類之間的差異顯著，說明在這樣的顯著性水平下分類是合理的。如果滿足F＞Fα(r-1，n-r)的分類數(shù)仍然太多，那么可以進一步減小顯著性水平α，從而可以減少分類數(shù)目。

3 最大樹法應用舉例

回顧登陸作戰(zhàn)的歷史，因為正確選擇了登陸地域而獲得登陸作戰(zhàn)勝利的例子不勝枚舉，而在錯誤的地點進行登陸，給登陸方帶來巨大損失，甚至一敗涂地的例子也屢見不鮮。本文以第二次世界大戰(zhàn)中著名的登陸戰(zhàn)例——諾曼底登陸中登陸地域分類的問題為例進行研究。

盟軍一共選擇了5個登陸地點(朱諾海灘、猶他海灘、奧馬哈海灘、斯沃德海灘、哥爾德海灘)。針對這5個海灘如何選擇，當年組織諾曼底登陸作戰(zhàn)的最高計劃小組內(nèi)部曾有過較長時間激烈的爭論，但也只能憑作戰(zhàn)經(jīng)驗爭論優(yōu)劣。

3.1 聚類計算過程

首先參照式(1)建立原始數(shù)據(jù)矩陣，記U={朱諾海灘，猶他海灘，奧馬哈海灘，斯沃德海灘，哥爾德海灘}={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}。各登陸地域的優(yōu)劣用等級{5，4，3，2，1}來對應描述{很好，好，一般，差，很差}，通過相關外軍資料，專家評估5個灘頭的等級數(shù)據(jù)為:Ⅰ=(5，5，3，2)，Ⅱ=(2，3，4，5)，Ⅲ=(5，5，2，3)，Ⅳ=(1，5，3，1)，Ⅴ=(2，4，5，1)。

根據(jù)這五組數(shù)據(jù)，可以得到一個4×5的矩陣，其中行代表樣本記錄xi(i=1，2，3，4，5)，列代表樣本特征{xi1，xi2，xi3，xi4}。

采用絕對值減數(shù)法建立模糊相似矩陣，取c=0.1以保證rij∈［0，1］，計算得模糊相似矩陣為:

取不同的λ∈［0，1］，可以得到不同的分類如下:

0≤λ≤0.4時，U分為一類:U={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ};

0.4＜λ≤0.5時，U分為二類:U={Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，{Ⅱ};

0.5＜λ≤0.6時，U分為三類:U={Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅳ，Ⅴ}，{Ⅱ};

0.6＜λ≤0.8時，U分為四類:U={Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ}，{Ⅴ};

0.8＜λ≤1時，U分為五類:U={Ⅰ}，{Ⅱ}，{Ⅲ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。

經(jīng)過F檢驗的臨界參數(shù)確定，U分為三類，U={Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ，Ⅴ}為“效果特別顯著”。

從諾曼底登陸的實際情況來看，將5個登陸地點劃分為三類是最佳分類，恰好反映了各個海灘登陸兵力傷亡的輕重。第一類(傷亡程度重):朱諾海灘(傷亡1500人)，奧馬哈海灘(傷亡2500人);第二類(傷亡程度中等):斯沃德海灘(傷亡630人)，哥爾德海灘(傷亡400人)，第三類(傷亡程度輕):猶他海灘(傷亡197人)。

3.2 聚類結果分析

制定兩棲作戰(zhàn)計劃時，一般要求從目標地域內(nèi)初步選擇數(shù)個可能的登陸地域作為備選方案。可運用上文建立的聚類分析模型計算所有備選登陸地點情況，判定各地點歸為哪一類，即可判定各地點的傷亡輕重程度，從而確定選擇哪個登陸點為優(yōu)。參照分類結果擬定作戰(zhàn)計劃，在達到登陸勝利目的的同時，減少部隊傷亡。

4 結論

本文嘗試運用20世紀80年代才獨立形成的模糊數(shù)學的一個點理論——聚類分析中的最大樹法，對第二次世界大戰(zhàn)中經(jīng)典登陸戰(zhàn)例——諾曼底登陸戰(zhàn)中登陸地域分類問題，進行了回顧性的數(shù)學分析。現(xiàn)代數(shù)學計算結果與歷史實際作戰(zhàn)情況較好地相互吻合。事實上，最大樹法不僅可以分析歷史作戰(zhàn)問題，也可在未來登陸作戰(zhàn)中，為指揮員選擇登陸地域提供參考。

1 海軍兵種指揮學院.外國(地區(qū))海軍陸戰(zhàn)隊與兩棲知識匯編［R］.廣州:海軍兵種指揮學院，2011.

2 楊綸標，高英儀.模糊數(shù)學原理及應用［M］.廣州:華南理工大學出版社，2005.

3 伊恩，克里斯托弗.搶灘［M］.張國良，谷素，譯.北京:軍事誼文出版社，2005.

4 李鴻吉.模糊數(shù)學基礎及實用算法［M］.北京:科學出版社，2005.

5 李鴻吉.Visaul Basic 6.0數(shù)理統(tǒng)計實用算法［M］.北京:科學出版社，2003.

6 梁保松，曹殿立.模糊數(shù)學及其應用［M］.北京:科學出版社，2007.

7 楊大偉.模糊聚類分析系統(tǒng)及其應用［J］.天中學刊，2005，20(2):28-29.