GNSS點(diǎn)位誤差轉(zhuǎn)換方法研究

孫小榮，張書畢，卞和方，劉支亮

(1.宿遷學(xué)院建筑工程系，江蘇宿遷223800;2.中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測(cè)國家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州221116)

一、引 言

在測(cè)量中，空間點(diǎn)的位置常在地心坐標(biāo)系和參心坐標(biāo)系下表示，兩者都有大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系和高斯平面直角坐標(biāo)系3種常用表達(dá)形式［1-3］。GNSS定位模型一般是在空間直角坐標(biāo)系下建立的，以P點(diǎn)為例，解算的定位結(jié)果包括點(diǎn)的坐標(biāo)(X，Y，Z)和方差-協(xié)方差陣DXYZ。DXYZ的形式如下［4-6］

目前最常用的點(diǎn)位誤差度量方法是Helmert表示法，P點(diǎn)的點(diǎn)位誤差可表示為［4-6］

在實(shí)際應(yīng)用中，GNSS定位除進(jìn)行不同表達(dá)形式之間坐標(biāo)值的轉(zhuǎn)換［1-3］，還需進(jìn)行表達(dá)形式之間的誤差轉(zhuǎn)換［3，7-10］。文獻(xiàn)［7—8］給出了空間直角坐標(biāo)(X，Y，Z)與大地坐標(biāo)(B，L，H)之間的全微分及誤差轉(zhuǎn)換公式，式中d B、d L以角度為單位，d H以長(zhǎng)度為單位。以角度量表示的誤差在數(shù)值上非常小，且同一經(jīng)差所相應(yīng)的平行圈弧長(zhǎng)在不同緯度處相差較大，不利于實(shí)際應(yīng)用，且系數(shù)矩陣較為復(fù)雜［9-10］。文獻(xiàn)［9］借助子午圈曲率半徑和平行圈半徑將B、L的角度量誤差轉(zhuǎn)換為以長(zhǎng)度為單位的誤差(等效長(zhǎng)度量誤差)，但文獻(xiàn)［9］的推導(dǎo)過程較復(fù)雜，本文將推導(dǎo)簡(jiǎn)化公式，并從理論證明和算例驗(yàn)證該公式可代替現(xiàn)有的空間直角坐標(biāo)系與高斯平面直角坐標(biāo)系之間復(fù)雜的誤差轉(zhuǎn)換公式。

二、(X，Y，Z)與(B，L，H)誤差轉(zhuǎn)換

1.(B，L，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

(X，Y，Z)與(B，L，H)之間的關(guān)系式為［1-3，8］

式(3)的全微分形式為［3，8，11］

式中，dX、dY、dZ、dH以m為單位;dB、dL以秒為單位;

其中，M為P點(diǎn)法線與橢球面交點(diǎn)的子午圈曲率半徑，M=a(1－e2)/W3;ρ=180/π×3600。

由式(4)，根據(jù)誤差傳播定律，P點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為

P點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系下的DXYZ和點(diǎn)位誤差表示方法見式(1)、式(2)。

2.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L，H)誤差

因 J 是可逆矩陣，由式(4)可得［3，8，11］

式中

由式(6)，根據(jù)誤差傳播定律，P點(diǎn)在大地坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為

三、(x，y)與(B，L)誤差轉(zhuǎn)換

1.(B，L)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差

當(dāng)略去l的4次及以上項(xiàng)，高斯投影坐標(biāo)正算公式為［1-3，8］

式(8)的全微分形式為［8］

式中，d x、d y以 m為單位;d l以秒為單位;A=

其中

由式(9)，根據(jù)誤差傳播定律，P點(diǎn)在高斯平面直角坐標(biāo)系下的方差-協(xié)方差陣為［4-6］

P點(diǎn)在高斯平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)位誤差可表示為［4-6］

2.(x，y)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L)誤差

因A是可逆矩陣，由式(9)可得［8］

式中

由式(12)，根據(jù)誤差傳播定律，P點(diǎn)在大地坐標(biāo)系下的方差-協(xié)方差陣為

四、(X，Y，Z)與(x，y，H)誤差轉(zhuǎn)換

1.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差

轉(zhuǎn)換過程分兩步進(jìn)行：首先將(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L，H)誤差;然后將(B，L)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差。綜合式(6)、式(9)，得

2.(x，y，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

轉(zhuǎn)換過程分兩步進(jìn)行：首先將(x，y)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L)誤差;然后將(B，L，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差。綜合式(4)、式(12)，得

式中，C=JF;F=diag(A－11);DxyH=diag(Dxy)。其中，σH為P點(diǎn)的高程誤差，diag()表示對(duì)角矩陣。

五、(X，Y，Z)與(N1，E，U)誤差轉(zhuǎn)換

1.(N1，E，U)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

因P點(diǎn)的子午圈曲率半徑M'=M+H，所在平行圈半徑r=(N+H)cos B，令dN1=M'd B/ρ、d E=r d L/ρ，則d N1、dE分別表示P點(diǎn)的角度量誤差引起的沿子午圈方向(南北方向)和平行圈方向(東西方向)的長(zhǎng)度量誤差。由于dB很小，在［B，B+d B］區(qū)間內(nèi)完全可視M'不變，這相當(dāng)于以子午圈和平行圈上兩個(gè)微小的曲線長(zhǎng)度來表示P點(diǎn)的南北方向和東西方向誤差。則

垂直方向(法線方向)誤差用d U表示，則

將式(16)～式(18)代入式(4)，得

式中

由式(19)，根據(jù)誤差傳播定律，P點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系下的方差-協(xié)方差陣為

2.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(N1，E，U)誤差

因T為正交矩陣［9］，其逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣。由式(19)可得

式中

由式(21)，根據(jù)誤差傳播定律，P點(diǎn)在大地坐標(biāo)系下的方差-協(xié)方差陣為［4-6］

P點(diǎn)在大地坐標(biāo)系下的點(diǎn)位誤差可表示為［4-6］

由于P點(diǎn)所在的子午圈、平行圈和法線方向相互垂直，則N1、E、U方向相互垂直。由于Helmert點(diǎn)位誤差度量在二維和三維情形下具有旋轉(zhuǎn)不變性，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即二維和三維點(diǎn)位方差等于任意2個(gè)和3個(gè)垂直方向的方差之和［5-6］，即理論上σN1EU=σXYZ，但各方向的方差不等。

因N1、E方向分別和x、y方向相同，若忽略P點(diǎn)高斯投影長(zhǎng)度變形和大地高H(因H最大也不會(huì)超過9 km，與地球曲率半徑相比為微小值)的影響，得

六、計(jì)算與分析

截取中國礦業(yè)大學(xué)CORS站點(diǎn)(KDJZ)的1.5 h的GNSS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用精密單點(diǎn)定位模型進(jìn)行解算，得到該點(diǎn)在WGS-84坐標(biāo)系中的概略B=34°，

取最不利的情況，l=3°，H=10 000 m。

1.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差

由式(14)可得

2.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(N1，E，U)誤差

由式(22)可得

根據(jù)DXYZ、Dxy和DN1EU分別計(jì)算該點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系、高斯平面直角坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系下各方向誤差和點(diǎn)位誤差，結(jié)果見表1。

表1 3種坐標(biāo)系下的誤差 m

由表1可知，點(diǎn)位誤差在空間直角坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系下其數(shù)值是相等的，但各方向的誤差不相等。N1、E方向誤差分別與x、y方向誤差幾乎相等，其微小差異是由P點(diǎn)高斯投影長(zhǎng)度變形和大地高H引起的。N1、E、U方向誤差更能直觀地反映點(diǎn)位誤差在3個(gè)重要方向上的大小。

3.(x，y，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

取前面計(jì)算得到的Dxy和σ2H，組成DxyH為

由式(15)可得

4.(N1，E，U)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

因 N1、E、U方向誤差分別與 x、y、H方向誤差相等，取

由式(20)可得

根據(jù)DxyH、DN1EU和DXYZ分別計(jì)算該點(diǎn)在高斯平面直角坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下各方向誤差和點(diǎn)位誤差，結(jié)果見表2。

表2 3種坐標(biāo)系下的誤差 m

由表2可知，兩種方法得到該點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)位誤差和各方向誤差都是相等的。與表1中的結(jié)果比較可知，該點(diǎn)在兩表中的空間直角坐標(biāo)系下各方向誤差不相等，這是因?yàn)楹雎粤薲 x、d y和d H，以及d N1、d E和d U的相關(guān)性，因?yàn)橐獫M足旋轉(zhuǎn)不變性，其點(diǎn)位誤差是相等的。

七、結(jié)束語

本文從大地坐標(biāo)系到空間直角坐標(biāo)系的全微分公式入手，推導(dǎo)了點(diǎn)位誤差在兩坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換公式。結(jié)果表明，直接根據(jù)誤差轉(zhuǎn)換公式計(jì)算點(diǎn)位誤差時(shí)，其轉(zhuǎn)換矩陣復(fù)雜，且誤差的單位不統(tǒng)一，不利于實(shí)際應(yīng)用。而本文提出將誤差單位統(tǒng)一用長(zhǎng)度表示，推導(dǎo)的誤差轉(zhuǎn)換矩陣不僅形式簡(jiǎn)單，且為正交矩陣。此時(shí)，大地坐標(biāo)系下3個(gè)參數(shù)的誤差能直接反映平面和高程上的測(cè)量精度。

本文也從理論和算例證明，推導(dǎo)的大地坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系之間的誤差轉(zhuǎn)換公式，可代替現(xiàn)有的空間直角坐標(biāo)系與高斯平面直角坐標(biāo)系之間復(fù)雜的誤差轉(zhuǎn)換公式，其形式簡(jiǎn)單，且能滿足轉(zhuǎn)換精度要求。

本文的式(12)、式(13)也分別表示空間直角坐標(biāo)系與文獻(xiàn)［10］新型大地坐標(biāo)系之間的全微分和誤差轉(zhuǎn)換公式。

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