基于不等式約束的顧及長(zhǎng)度變形的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換方法

陶葉青，楊 娟

(宿州學(xué)院地球科學(xué)與工程學(xué)院，安徽宿州234000)

一、引 言

GPS的定位成果是基于WGS-84參考框架的，因此利用GPS技術(shù)建立或改善國(guó)家和地方坐標(biāo)系的控制網(wǎng)需要將其定位成果轉(zhuǎn)換至國(guó)家或地方坐標(biāo)系中。我國(guó)現(xiàn)行的參心坐標(biāo)系統(tǒng)的點(diǎn)坐標(biāo)是用二維或平面坐標(biāo)與高程分開(kāi)表示的，因而無(wú)法精確地用空間三維直角坐標(biāo)表示出其點(diǎn)位坐標(biāo)。因此，為實(shí)現(xiàn)GPS控制測(cè)量成果的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，需將GPS定位成果的控制點(diǎn)間的空間三維坐標(biāo)差(基線向量)表示為二維或平面坐標(biāo)，這不可避免地會(huì)引起一定的長(zhǎng)度變形，而相關(guān)的測(cè)量規(guī)范規(guī)定其變形值不應(yīng)大于1/40 000［1］。為了減小由控制點(diǎn)間的空間距離轉(zhuǎn)換為平面距離過(guò)程中引起的長(zhǎng)度變形，人們提出更改中央子午線或建立區(qū)域性橢球的方法［2-4］。應(yīng)用這樣的方法所建立的坐標(biāo)系更改了原有國(guó)家坐標(biāo)系的基本投影與參考橢球的屬性，雖然減小了長(zhǎng)度變形，但在GPS坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換過(guò)程中，其最終轉(zhuǎn)換成果已不是國(guó)家或地方坐標(biāo)系，且區(qū)域性橢球的算法不易于實(shí)現(xiàn)。此外，傳統(tǒng)的由數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的方法并沒(méi)有顧及長(zhǎng)度變形這一因素。

為將GPS控制測(cè)量的成果轉(zhuǎn)換至國(guó)家或地方坐標(biāo)系中并顧及長(zhǎng)度變形因素，擬將不等式約束應(yīng)用至坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中。不等式約束問(wèn)題的研究可追溯至40多年前，文獻(xiàn)［5］首先研究不等式約束的回歸分析;文獻(xiàn)［6-8］將不等式約束引入大地測(cè)量領(lǐng)域，并在變形檢驗(yàn)、GPS數(shù)據(jù)處理、大地控制網(wǎng)的優(yōu)化等方向取得了一定的應(yīng)用成果;文獻(xiàn)［9-10］對(duì)不等約束的具體解法進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)［11］提出應(yīng)用最優(yōu)化計(jì)算理論中的罰函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)不等式約束的平差算法。針對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換過(guò)程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)度變形的問(wèn)題，應(yīng)用不等式約束將長(zhǎng)度變形量納入坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型，進(jìn)行平差處理。根據(jù)文獻(xiàn)［11］提出的不等式約束的平差算法，實(shí)現(xiàn)了能夠顧及長(zhǎng)度變形的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換。

二、轉(zhuǎn)換方法與模型

坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換常用的有七參數(shù)與四參數(shù)模型，以平面坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為例，通常采用的轉(zhuǎn)換模型為［12］

式中，a、b為兩個(gè)平移參數(shù);α為旋轉(zhuǎn)參數(shù);λ為尺度比參數(shù);(x0，y0)、(x，y)為控制點(diǎn)在原坐標(biāo)系(WGS-84坐標(biāo)系)與目標(biāo)坐標(biāo)系中(國(guó)家坐標(biāo)系)的平面坐標(biāo)。應(yīng)用GPS建立控制網(wǎng)進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換時(shí)，若要獲得式(1)中控制點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)，就需要將GPS的空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成大地坐標(biāo)，并將大地坐標(biāo)按高斯-克呂格投影至平面坐標(biāo)。這一過(guò)程有兩個(gè)長(zhǎng)度變形：①將空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成大地坐標(biāo)，相應(yīng)的空間距離轉(zhuǎn)換成橢球面大地線距離的長(zhǎng)度變形;②將大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成平面坐標(biāo)，相應(yīng)的橢球面大地線距離轉(zhuǎn)換成平面距離的長(zhǎng)度變形。長(zhǎng)度變形對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換有顯著的影響，但式(1)并不能夠顧及這方面的影響。

式(1)可表示成以(x，y)目標(biāo)坐標(biāo)為變量的函數(shù)模型

不等式約束的模型可表示為

式中，x表示目標(biāo)坐標(biāo)(x，y);B為轉(zhuǎn)換模型參數(shù);l為原坐標(biāo)(x0，y0)。

不等式約束的主要對(duì)象是控制點(diǎn)在實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換后，對(duì)用平面坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度變形量進(jìn)行約束。相關(guān)規(guī)范一般要求根據(jù)控制點(diǎn)平面坐標(biāo)反算距離與測(cè)距儀復(fù)測(cè)距離相對(duì)變形值小于1/40 000［1］。據(jù)此，約束不等式具體的形式為

式中，D為測(cè)距儀實(shí)測(cè)精度;(x1，y1)、(x2，y2)為目標(biāo)坐標(biāo)系中控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)。假設(shè)

式中，(x0，y0)為控制點(diǎn)在目標(biāo)坐標(biāo)系中的初始轉(zhuǎn)換值;(Δx，Δy)為其改正值;D0為根據(jù)初始值反算的初始距離。將控制點(diǎn)平面坐標(biāo)表示的反算距離線性化為

因此，式(4)可表示為

式(8)為式(3)中二式的具體形式。不等式約束模型(式(3))可通過(guò)優(yōu)化計(jì)算中的罰函數(shù)方法轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題［11］

式中，VTPV=(Bx－l)TP(Bx－l)=min;P(x)為罰函數(shù)，它要求當(dāng)參數(shù)x滿足式(3)中二式時(shí)，P(x)值取為零，不等式約束轉(zhuǎn)化為普通的最小二乘平差。當(dāng)參數(shù)x不滿足式(3)中二式時(shí)，不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)

式中，k值根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取一正整數(shù)值。應(yīng)用不等式對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中引起的長(zhǎng)度變形進(jìn)行約束的基本方法為：

1)首先應(yīng)用一定的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型(式(1))進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換。

2)按國(guó)家相關(guān)測(cè)量規(guī)范的要求對(duì)控制點(diǎn)間的距離實(shí)測(cè)。

3)將控制點(diǎn)坐標(biāo)與實(shí)測(cè)距離代入式(4)，如果滿足條件，則應(yīng)用其控制成果。

4)如果不滿足條件，則使用式(9)重新進(jìn)行平差計(jì)算。其中，罰函數(shù)的形式可通過(guò)式(10)確定，權(quán)值P'則根據(jù)控制點(diǎn)間的距離確定，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到都滿足式(4)為止。

三、算例分析

結(jié)合應(yīng)用式(1)實(shí)現(xiàn)GPS控制測(cè)量成果坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的某線路工程控制點(diǎn)平面坐標(biāo)，應(yīng)用測(cè)距精度為±(2 mm+2×10－6×D)的TOPCON330全站儀對(duì)控制點(diǎn)間的距離進(jìn)行實(shí)測(cè)，控制測(cè)量結(jié)果與實(shí)測(cè)距離、反算距離列于表1(部分?jǐn)?shù)據(jù)選自文獻(xiàn)［13］)，長(zhǎng)度變形值 λ1列于表2。其中，λ1表明測(cè)距邊2—3、3—4、4—5的長(zhǎng)度變形值超出測(cè)量規(guī)范的要求，值大于1/40 000。因?yàn)?—2的長(zhǎng)度變形值小于1/40 000，因此應(yīng)用不等式對(duì)長(zhǎng)度變形進(jìn)行約束平差，結(jié)合式(9)與不等式約束實(shí)現(xiàn)的方法，只對(duì)控制點(diǎn)3、4、5坐標(biāo)進(jìn)行重新平差(1、2點(diǎn)坐標(biāo)保持不變)，并進(jìn)行迭代計(jì)算，控制點(diǎn)坐標(biāo)與長(zhǎng)度變形值λ2列于表2。λ2表明經(jīng)不等式約束平差，測(cè)距邊2—3、3—4、4—5的長(zhǎng)度變形值符合測(cè)量規(guī)范的要求，值小于1/40 000。

四、結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)不等式約束的基本思想，給出能夠顧及長(zhǎng)度變形的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型與轉(zhuǎn)換方法，給出對(duì)長(zhǎng)度變形量約束的不等式具體形式，并對(duì)具體的轉(zhuǎn)換步驟進(jìn)行探討。結(jié)合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明這一方法能夠在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換過(guò)程中減小長(zhǎng)度變形，使測(cè)量成果符合國(guó)家測(cè)量規(guī)范的要求。

表1 控制點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)間距離 m

表2 不等式約束平差結(jié)果

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