數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)初探

【摘 要】數(shù)形結(jié)合，指根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路來解決問題的一種思想和方法。其實(shí)質(zhì)是將抽象的文字語言和符號語言與直觀的圖象（圖形語言）相結(jié)合，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過對圖形的理解和認(rèn)識，建立抽象概念與具體形象的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為對數(shù)學(xué)語言表達(dá)的認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)抽象與直觀的轉(zhuǎn)化。

【關(guān)鍵詞】能力；培養(yǎng)

那么在教學(xué)過程中怎樣培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力呢？

一、用圖形語言幫助學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)

圖形語言雖不能作為論證的依據(jù)，但它提供了一個(gè)思維模式，是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)。教學(xué)中，充分發(fā)揮圖形的直觀特點(diǎn)，使學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上建立概念，有助于學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的基礎(chǔ)。

如在函數(shù)奇偶性的概念教學(xué)中，我先用多媒體將幾個(gè)具體函數(shù)的圖象，如等展示出來，使學(xué)生對奇函數(shù)和偶函數(shù)有一定的感性認(rèn)識，再讓學(xué)生在閱讀概念的基礎(chǔ)上明白奇函數(shù)偶函數(shù)滿足的條件：任?。ê瘮?shù)的定義域），都有（或）（數(shù)）。然后進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生觀察分析其圖象的特點(diǎn)：關(guān)于原點(diǎn)（或軸）對稱（形）。但其實(shí)質(zhì)仍歸結(jié)到定義中的任?。ê瘮?shù)的定義域），都有（或）（數(shù)），并強(qiáng)調(diào)指出奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這一前提條件。通過多媒體用圖形展示知識的形成過程，在數(shù)形結(jié)合、由形思數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的形象思維滲透于邏輯思維之中，邏輯思維更好地展開與深入，大大激發(fā)了學(xué)生的求知欲，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的意識及能力，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力。

二、重視畫圖，加強(qiáng)識圖能力

能夠根據(jù)題意，迅速、準(zhǔn)確地畫出圖形來，數(shù)形結(jié)合才有可能。我是從教學(xué)生畫圖來提高學(xué)生的識圖能力。比如學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生明確畫圖的關(guān)鍵是根據(jù)系數(shù)確定開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)及與軸的交點(diǎn)的情況。通過畫圖，學(xué)生熟悉了二次函數(shù)的系數(shù)與圖象的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)圖像掌握了二次函數(shù)的圖像與二次方程的解間的關(guān)系，二次函數(shù)被其對稱軸分成了兩個(gè)單調(diào)區(qū)間等重要性質(zhì)，學(xué)生的識圖能力有所提高，，才能得心應(yīng)手地利用數(shù)形結(jié)合的方法解一元二次不等式，利用函數(shù)的零點(diǎn)討論一元二次方程的根的分布情況，求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，也為選修內(nèi)容中利用導(dǎo)數(shù)求較為復(fù)雜的函數(shù)在閉區(qū)間上的最值打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1。

學(xué)生拿到題目后首先想到的是用二次方程的跟的判別式和求根公式來求解。我先肯定了學(xué)生的解法，然后又引導(dǎo)學(xué)生從一元二次函數(shù)的圖象與一元二次方程根的關(guān)系再來討論該題解法。學(xué)生能夠立即說出，的圖像是開口向上的拋物線，且知該方程的根即為該二次函數(shù)的零點(diǎn)，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分布在直線的兩側(cè)，畫出草圖可得函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)在軸下方，故 ，即，迅速求出結(jié)果。

由此，在將一元二次函數(shù)的根（數(shù)）轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)（形），又將拋物線上的點(diǎn)（形）的性質(zhì)用一個(gè)不等式（數(shù)）刻畫出來的過程中，在由數(shù)到形，由形到數(shù)，數(shù)與形的相互滲透中，學(xué)生對拋物線的性質(zhì)理解得更豐富、更精確、更深刻，尤其是在將復(fù)雜的無理不等式組轉(zhuǎn)化為簡單明了的一元一次不等式解題的過程中，大大提高了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法優(yōu)勢的體驗(yàn)，激發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感和學(xué)習(xí)興趣，開闊了學(xué)生的解題思路。

三、深刻挖掘概念和運(yùn)算的幾何意義

許多數(shù)量關(guān)系、抽象概念和運(yùn)算，若賦予其幾何意義，往往就會變得非常直觀形象。另外，一些圖形的屬性又可通過數(shù)量關(guān)系的研究使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精確、更深刻。因此只有深刻理解概念的幾何意義，才能將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來。才能做到由數(shù)思形，由形覓數(shù)。如在復(fù)數(shù)的模的教學(xué)中，充分挖掘|z|的幾何意義，即由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間的一一對應(yīng)的關(guān)系，分析得出|z|就是復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。唯有如此，學(xué)生才會在解決已知|z|=3，求的最值時(shí)，稍加分析便知此題實(shí)質(zhì)是已知復(fù)數(shù)對應(yīng)于復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓，求該圓上的點(diǎn)與復(fù)平面上的點(diǎn)的距離的最大值與最小值。有平面幾何知識可知，。至此，用代數(shù)方法解決起來很繁雜的問題，在理解了復(fù)數(shù)模的幾何意義后，在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化中，利用平面幾何知識輕而易舉地解決了，學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力無疑又有所提高。

四、提高數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化能力

由于數(shù)學(xué)語言在發(fā)展數(shù)學(xué)思維方面的重要作用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要想培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，必須重視數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用。重視自然語言數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)語言符號化，符號語言圖示化，在各種數(shù)學(xué)語言的溝通、互譯和整合中，發(fā)展思維能力，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識，提高數(shù)形結(jié)合能力。每學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，我都盡量引導(dǎo)學(xué)生分別用自然語言、符號語言、圖示語言準(zhǔn)確、規(guī)范地?cái)⑹?，一方面有助于概念理解的不斷深化。另一方面各種語言的分離與結(jié)合的過程，就是思維活動(dòng)深入開展的過程，分離越清楚，結(jié)合就越緊密，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識也就愈強(qiáng)烈。如在學(xué)習(xí)異面直線的判定定理時(shí)，我指導(dǎo)學(xué)生先熟悉文字語言的敘述，然后轉(zhuǎn)化為符號語言，再用圖示語言展示，學(xué)生在互相轉(zhuǎn)化的過程中，加深了對定理的理解和掌握，數(shù)形結(jié)合的能力也有了提高。

當(dāng)然，新課標(biāo)教材的編寫在整個(gè)知識體系中也加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，所以數(shù)形結(jié)合思想更加深入地滲透于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，但從高考答卷情況和教學(xué)觀察學(xué)生的掌握還是比較薄弱，所以今后的教學(xué)中我還要繼續(xù)挖掘，反思，不斷引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)形結(jié)合能力的提高，我自己也會與學(xué)生共同探究學(xué)習(xí)，共同提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué)，錢佩玲，章建躍主編。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（必修一，選修2—2）

作者簡介：

姚彥芬，女，1970.10.籍貫：寧夏。1992年7月畢業(yè)于上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，一直擔(dān)任高中數(shù)學(xué)教師?，F(xiàn)就職于銀川高級，擔(dān)任高一兩個(gè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。