數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)初探

【摘 要】數(shù)形結(jié)合，指根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路來(lái)解決問(wèn)題的一種思想和方法。其實(shí)質(zhì)是將抽象的文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言與直觀的圖象（圖形語(yǔ)言）相結(jié)合，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過(guò)對(duì)圖形的理解和認(rèn)識(shí)，建立抽象概念與具體形象的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)抽象與直觀的轉(zhuǎn)化。

【關(guān)鍵詞】能力；培養(yǎng)

那么在教學(xué)過(guò)程中怎樣培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力呢？

一、用圖形語(yǔ)言幫助學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)

圖形語(yǔ)言雖不能作為論證的依據(jù)，但它提供了一個(gè)思維模式，是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)。教學(xué)中，充分發(fā)揮圖形的直觀特點(diǎn)，使學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立概念，有助于學(xué)生理解概念的實(shí)質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的基礎(chǔ)。

如在函數(shù)奇偶性的概念教學(xué)中，我先用多媒體將幾個(gè)具體函數(shù)的圖象，如等展示出來(lái)，使學(xué)生對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)有一定的感性認(rèn)識(shí)，再讓學(xué)生在閱讀概念的基礎(chǔ)上明白奇函數(shù)偶函數(shù)滿足的條件：任?。ê瘮?shù)的定義域），都有（或）（數(shù)）。然后進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生觀察分析其圖象的特點(diǎn)：關(guān)于原點(diǎn)（或軸）對(duì)稱（形）。但其實(shí)質(zhì)仍歸結(jié)到定義中的任?。ê瘮?shù)的定義域），都有（或）（數(shù)），并強(qiáng)調(diào)指出奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一前提條件。通過(guò)多媒體用圖形展示知識(shí)的形成過(guò)程，在數(shù)形結(jié)合、由形思數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的形象思維滲透于邏輯思維之中，邏輯思維更好地展開(kāi)與深入，大大激發(fā)了學(xué)生的求知欲，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的意識(shí)及能力，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力。

二、重視畫(huà)圖，加強(qiáng)識(shí)圖能力

能夠根據(jù)題意，迅速、準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形來(lái)，數(shù)形結(jié)合才有可能。我是從教學(xué)生畫(huà)圖來(lái)提高學(xué)生的識(shí)圖能力。比如學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生明確畫(huà)圖的關(guān)鍵是根據(jù)系數(shù)確定開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)及與軸的交點(diǎn)的情況。通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生熟悉了二次函數(shù)的系數(shù)與圖象的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)圖像掌握了二次函數(shù)的圖像與二次方程的解間的關(guān)系，二次函數(shù)被其對(duì)稱軸分成了兩個(gè)單調(diào)區(qū)間等重要性質(zhì)，學(xué)生的識(shí)圖能力有所提高，，才能得心應(yīng)手地利用數(shù)形結(jié)合的方法解一元二次不等式，利用函數(shù)的零點(diǎn)討論一元二次方程的根的分布情況，求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，也為選修內(nèi)容中利用導(dǎo)數(shù)求較為復(fù)雜的函數(shù)在閉區(qū)間上的最值打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1。

學(xué)生拿到題目后首先想到的是用二次方程的跟的判別式和求根公式來(lái)求解。我先肯定了學(xué)生的解法，然后又引導(dǎo)學(xué)生從一元二次函數(shù)的圖象與一元二次方程根的關(guān)系再來(lái)討論該題解法。學(xué)生能夠立即說(shuō)出，的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，且知該方程的根即為該二次函數(shù)的零點(diǎn)，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分布在直線的兩側(cè)，畫(huà)出草圖可得函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)在軸下方，故 ，即，迅速求出結(jié)果。

由此，在將一元二次函數(shù)的根（數(shù)）轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)（形），又將拋物線上的點(diǎn)（形）的性質(zhì)用一個(gè)不等式（數(shù)）刻畫(huà)出來(lái)的過(guò)程中，在由數(shù)到形，由形到數(shù)，數(shù)與形的相互滲透中，學(xué)生對(duì)拋物線的性質(zhì)理解得更豐富、更精確、更深刻，尤其是在將復(fù)雜的無(wú)理不等式組轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單明了的一元一次不等式解題的過(guò)程中，大大提高了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法優(yōu)勢(shì)的體驗(yàn)，激發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感和學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)闊了學(xué)生的解題思路。

三、深刻挖掘概念和運(yùn)算的幾何意義

許多數(shù)量關(guān)系、抽象概念和運(yùn)算，若賦予其幾何意義，往往就會(huì)變得非常直觀形象。另外，一些圖形的屬性又可通過(guò)數(shù)量關(guān)系的研究使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精確、更深刻。因此只有深刻理解概念的幾何意義，才能將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。才能做到由數(shù)思形，由形覓數(shù)。如在復(fù)數(shù)的模的教學(xué)中，充分挖掘|z|的幾何意義，即由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，分析得出|z|就是復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。唯有如此，學(xué)生才會(huì)在解決已知|z|=3，求的最值時(shí)，稍加分析便知此題實(shí)質(zhì)是已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓，求該圓上的點(diǎn)與復(fù)平面上的點(diǎn)的距離的最大值與最小值。有平面幾何知識(shí)可知，。至此，用代數(shù)方法解決起來(lái)很繁雜的問(wèn)題，在理解了復(fù)數(shù)模的幾何意義后，在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化中，利用平面幾何知識(shí)輕而易舉地解決了，學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力無(wú)疑又有所提高。

四、提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化能力

由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言在發(fā)展數(shù)學(xué)思維方面的重要作用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要想培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，必須重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用。重視自然語(yǔ)言數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)化，符號(hào)語(yǔ)言圖示化，在各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的溝通、互譯和整合中，發(fā)展思維能力，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，提高數(shù)形結(jié)合能力。每學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，我都盡量引導(dǎo)學(xué)生分別用自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖示語(yǔ)言準(zhǔn)確、規(guī)范地?cái)⑹?，一方面有助于概念理解的不斷深化。另一方面各種語(yǔ)言的分離與結(jié)合的過(guò)程，就是思維活動(dòng)深入開(kāi)展的過(guò)程，分離越清楚，結(jié)合就越緊密，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)也就愈強(qiáng)烈。如在學(xué)習(xí)異面直線的判定定理時(shí)，我指導(dǎo)學(xué)生先熟悉文字語(yǔ)言的敘述，然后轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，再用圖示語(yǔ)言展示，學(xué)生在互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，加深了對(duì)定理的理解和掌握，數(shù)形結(jié)合的能力也有了提高。

當(dāng)然，新課標(biāo)教材的編寫(xiě)在整個(gè)知識(shí)體系中也加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，所以數(shù)形結(jié)合思想更加深入地滲透于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，但從高考答卷情況和教學(xué)觀察學(xué)生的掌握還是比較薄弱，所以今后的教學(xué)中我還要繼續(xù)挖掘，反思，不斷引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)形結(jié)合能力的提高，我自己也會(huì)與學(xué)生共同探究學(xué)習(xí)，共同提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué)，錢佩玲，章建躍主編。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（必修一，選修2—2）

作者簡(jiǎn)介：

姚彥芬，女，1970.10.籍貫：寧夏。1992年7月畢業(yè)于上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，一直擔(dān)任高中數(shù)學(xué)教師。現(xiàn)就職于銀川高級(jí)，擔(dān)任高一兩個(gè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。