一種基于解析規(guī)劃的多約束再入制導(dǎo)算法*

0 引言

亞軌道飛行器是指從地面發(fā)射，在完成發(fā)射任務(wù)后，重新返回地面的跨大氣層新型高超聲速飛行器。近年來，各國(guó)高超聲速運(yùn)載器的發(fā)展步伐很快。其中，美國(guó)航天運(yùn)輸和X系列試驗(yàn)飛行器的研制[1－2]，俄羅斯可重復(fù)使用助推器研究[3]等都是發(fā)展的焦點(diǎn)。再入制導(dǎo)技術(shù)作為飛行器發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一，其任務(wù)是使飛行器能夠滿足各種過程約束及終端約束。目前，再入制導(dǎo)方法主要分為兩類:第一類是跟蹤預(yù)先設(shè)計(jì)參考剖面的標(biāo)準(zhǔn)軌道制導(dǎo)方法;第二類是利用預(yù)測(cè)能力對(duì)落點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法[4]。

再入制導(dǎo)控制變量通常選擇為攻角和傾側(cè)角，并將攻角設(shè)計(jì)為隨速度變化的函數(shù)，傾側(cè)角作為主要的控制變量調(diào)整飛行軌跡。文獻(xiàn)[5]基于簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型，利用平衡滑翔條件，提出了滿足各種過程約束和終端約束的解析形式傾側(cè)角指令。文獻(xiàn)[6]根據(jù)飛行器當(dāng)前飛行狀態(tài)和終端條件，迭代計(jì)算能夠滿足終端約束的傾側(cè)角指令，并通過過載、熱流等約束對(duì)控制指令進(jìn)行限制修正。文獻(xiàn)[7]采用擬平衡滑翔條件將再入走廊約束轉(zhuǎn)化為控制量約束，將參考軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為單參數(shù)搜索問題，提出基于H-V剖面的軌跡在線生成算法。

文中提出基于H-V剖面的改進(jìn)再入制導(dǎo)方法，縱向和側(cè)向聯(lián)合設(shè)計(jì)，縱向設(shè)計(jì)H-V參考剖面，側(cè)向設(shè)計(jì)航向誤差走廊，采用反饋線性化方法跟蹤H-V剖面確定傾側(cè)角大小，同時(shí)根據(jù)航向誤差走廊確定傾側(cè)角符號(hào)，完成控制變量設(shè)計(jì)。

1 再入軌跡設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

亞軌道飛行器再入過程為無動(dòng)力滑翔，對(duì)于無動(dòng)力再入軌跡設(shè)計(jì)及制導(dǎo)問題的研究，一般采用三自由度再入動(dòng)力學(xué)模型[8]。

1.1 再入動(dòng)力學(xué)方程

其中，動(dòng)力學(xué)模型中有6個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量x=(r，λ，φ，V，θ，ψ)，分別為高度、經(jīng)度、緯度、速度、速度傾角和航向角，速度傾角為速度矢量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角，向上為正，航向角為速度矢量在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)的投影與正北方向的夾角，順時(shí)針方向?yàn)檎?L和D分別為升力和阻力加速度?？刂屏縰=(α，σ)，攻角α為事先設(shè)計(jì)好的攻角－速度函數(shù)，因此傾側(cè)角σ是唯一的控制量。

1.2 再入過程約束和終端約束

再入過程通?？紤]3個(gè)狀態(tài)過程約束和一個(gè)軌跡過程約束，將其描述為再入走廊，狀態(tài)約束包括最大駐點(diǎn)熱流、最大動(dòng)壓和最大過載約束:

同時(shí)考慮到減小亞軌道飛行器再入返回時(shí)高度震蕩，增加平衡滑翔約束[9]:

再入終端約束是指飛行器滿足末端能量管理段(TAEM)的初始條件，能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)著陸，其約束條件為:

其中，rf、Vf、Rf、ψf分別為飛行器再入終端高度、速度、剩余飛行距離和航向角，rTAEM、VTAEM、RTAEM、ψTAEM分別為末端能量管理段初始高度、速度、剩余飛行距離和航向角，Δr、ΔV、ΔR、Δψ 分別為末端能量管理段初始高度、速度、剩余飛行距離和航向角允許的最大誤差。

2 制導(dǎo)方案設(shè)計(jì)

2.1 基于H-V剖面的縱向參考軌跡規(guī)劃

縱向參考剖面設(shè)計(jì)包括初始下降段和過渡段，初始下降段采用常值傾側(cè)角飛行，保證飛行器能夠進(jìn)入再入走廊，并完成平緩過渡;過渡段則根據(jù)過渡點(diǎn)參數(shù)和末端能量管理約束，在再入走廊內(nèi)選擇優(yōu)化的四次多項(xiàng)式，完成參考剖面描述，初始段和過渡段聯(lián)合設(shè)計(jì)，保證滿足終端約束。在再入過程中可以大致認(rèn)為r=r0+H，且=，其中，r0為地球半徑，H為飛行器距地面高度，縱向軌跡設(shè)計(jì)的規(guī)劃流程圖如圖1所示。

2.1.1 初始下降段軌跡規(guī)劃

初始下降段的設(shè)計(jì)需要重點(diǎn)考慮駐點(diǎn)熱流約束[10]。該段采用常值傾側(cè)角飛行，傾側(cè)角過小可能導(dǎo)致再入軌跡出現(xiàn)跳躍，傾側(cè)角過大則可能超過駐點(diǎn)熱流約束，因此初始段應(yīng)該選擇適當(dāng)?shù)膬A側(cè)角，保證飛行器進(jìn)入再入走廊。判斷初始下降段結(jié)束的條件是H-V剖面內(nèi)軌跡指向TAEM初始點(diǎn)，即:

圖1 參考剖面規(guī)劃流程圖

其中，δ為一小常數(shù)，dH/dV為H-V剖面內(nèi)當(dāng)前時(shí)刻斜率，由式(16)計(jì)算得到:

軌跡滿足上式后則轉(zhuǎn)入過渡段，該點(diǎn)稱為過渡點(diǎn)。

2.1.2 過渡段軌跡規(guī)劃

過渡段剖面采用四次多項(xiàng)式來描述從過渡點(diǎn)到末端能量管理界面的參考軌跡，即:

其中，ki(i=0，1，2，3，4)為多項(xiàng)式系數(shù)。需要5組條件來求解，由于已知過渡點(diǎn)處(VT，HT)、(VT，(dH/dV)T)及 TAEM 界面條件(VTAEM，HTAEM)，因此只需再確定兩組參數(shù)。

考慮多項(xiàng)式在滿足初始及終端約束的同時(shí)，還需對(duì)飛行路徑進(jìn)行約束，可取過渡點(diǎn)與終端點(diǎn)速度中間點(diǎn)M，即:

根據(jù)圖3再入走廊分析可知，隨著速度的降低，速度中點(diǎn)M處的主導(dǎo)約束為動(dòng)壓，HM的選取應(yīng)保證其軌跡在再入走廊內(nèi)[10]，因此選取該點(diǎn)動(dòng)壓滿足式(19)，即:

已知M點(diǎn)的速度及動(dòng)壓，則可得到該點(diǎn)高度HM。

將式(17)在TAEM點(diǎn)處求一階和二階導(dǎo)數(shù)可得:

并將式(18)代入式(17)整理可得:

其中ΔH=HT－HTAEM，ΔV=VT－VTAEM，f'T=(dH/dV)T。

對(duì)式(16)微分可得:

其中，DV= ?D/?V，并且由式= － DVsinθ/hs－ 2D2/V及V·=－D－gsinθ得到，hs為標(biāo)準(zhǔn)大氣高度參數(shù)。

分析可知如果已知TAEM初始點(diǎn)的彈道傾角θTAEM和 σTAEM，即可解得(dH/dV)TAEM和(d2H/dV2)TAEM。并且為了滿足終端約束條件，σTAEM可取零。因此將式(16)和式(23)代入式(22)即可求得θTAEM，從而求得f'TAEM和f″TAEM，并進(jìn)一步確定四次多項(xiàng)式系數(shù)，完成H-V參考剖面規(guī)劃。

定義Rtogo為飛行器到TAEM初始點(diǎn)的航程，并定義當(dāng)前位置和目標(biāo)點(diǎn)視線方向與速度矢量的夾角為Δψ，如圖2所示。

圖2 飛行器與目標(biāo)點(diǎn)相對(duì)關(guān)系

當(dāng)前縱向平面內(nèi)，剩余航程變化率為:

將縱向平面的航程變化率投影到目標(biāo)平面，可得到目標(biāo)平面內(nèi)的剩余航程變化率:

由于在控制橫向航程時(shí)，Δψ一般被限制在小角度范圍內(nèi)，近似cosΔψ =1，則:

如果過渡段參考剖面確定，式(26)右端項(xiàng)均可得到，則沿著參考剖面積分可得到過渡段剩余航程，結(jié)合初始段航程，即可確定在該剖面下到TAEM初始點(diǎn)的總航程，即:

若該航程大于名義航程，則增大初始段的傾側(cè)角指令σ0，使過渡點(diǎn)高度HT下降，從而使整個(gè)參考剖面降低，通過增大阻力減小航程，相反則減小初始段傾側(cè)角指令σ0。通過不斷迭代計(jì)算，最終可得到滿足過程約束及終端高度、速度及航程約束的初始傾側(cè)角σ0和參考高度 －速度剖面。圖3給出了通過上述算法規(guī)劃得到的H-V參考剖面。

圖3 名義參考剖面

2.2 側(cè)向制導(dǎo)設(shè)計(jì)

通過縱向制導(dǎo)可以確定傾側(cè)角的大小，側(cè)向制導(dǎo)則采用航向誤差走廊確定傾側(cè)角的符號(hào)。定義航向角誤差Δψ為當(dāng)前速度矢量與飛行器到目標(biāo)點(diǎn)視線方向的夾角，即Δψ =ψ －ψLOS，其中:

則確定傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯為:

其中，ψthreshold為航向誤差門限值，通常設(shè)計(jì)為速度的分段線性函數(shù)，其選取原則為既要使再入軌跡滿足終端橫向位置和角度約束，又要保證滾轉(zhuǎn)反向不要過于頻繁，易于工程實(shí)現(xiàn)。

3 基于反饋線性化的參考軌跡跟蹤算法

飛行器再入動(dòng)力學(xué)為非線性模型，其狀態(tài)量實(shí)時(shí)變化，對(duì)其參考軌跡跟蹤是一個(gè)非線性跟蹤控制問題。文中采用反饋線性化技術(shù)獲得自適應(yīng)非線性跟蹤控制算法，完成參考剖面跟蹤，與傳統(tǒng)的非線性控制方法相比，該方法不再依賴系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的求解或穩(wěn)定性分析，而只需確定系統(tǒng)的反饋形式，使得非線性系統(tǒng)的控制問題變得相對(duì)簡(jiǎn)單。

根據(jù)再入動(dòng)力學(xué)方程并忽略地球旋轉(zhuǎn)項(xiàng)影響，同時(shí)考慮縱向H-V剖面特性，選取控制輸入為u=cosσ，輸出為y=H，得到動(dòng)力學(xué)模型為:

定義跟蹤誤差為當(dāng)前飛行高度與參考飛行高度之差，即ΔH=H－Hr。并且為了使控制系統(tǒng)具備良好的性能指標(biāo)，所期望跟蹤誤差是一個(gè)二階震蕩系統(tǒng)，即:

其中:ξ一般取為0.7，ω根據(jù)飛行器實(shí)際飛行能力確定。

對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行二次微分并結(jié)合式(31)可得:

根據(jù)式(30)和式(32)得到模型控制輸入為:

可以看出，控制輸入u是包含H、V、θ三個(gè)狀態(tài)變量的非線性輸入，通過反饋線性化處理將此非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成為二次積分環(huán)節(jié)。因此得到了基于反饋線性化方法的制導(dǎo)原理框圖，如圖4所示。

圖4 制導(dǎo)系統(tǒng)框圖

4 仿真分析

參考航天飛機(jī)的攻角方案特點(diǎn)，選擇初始攻角為38°;隨著速度降低，攻角切換為15°，對(duì)應(yīng)飛行器的最大升阻比條件;末端為了滿足TAEM初始點(diǎn)要求，攻角比15°略小，則確定再入飛

行器的名義攻角方案如圖5所示。

選取飛行器名義再入初始條件為(H0，λ0，φ0，V0，θ0，ψ0)=(95km，0，0，2300m/s，0，0)， 終 端 條 件(HTAEM，VTAEM)=(30km，950m/s)，過程約束(Q·s，max，qmax，ny，max)=(250kW/m2，20kPa，4g)。并針對(duì)初始條件偏差和環(huán)境不確定性，考慮再入過程存在初始高度、初始速度以及大氣密度偏差影響，在名義條件上附加偏差狀態(tài)，進(jìn)行多種偏差狀態(tài)的仿真驗(yàn)證，確定多種狀態(tài)仿真條件如表1所示，并給出了偏差條件下的仿真結(jié)果。

圖5 名義攻角曲線

表1 仿真偏差參數(shù)表

圖6 高度－速度剖面

圖7 傾側(cè)角變化曲線

圖8 動(dòng)壓變化曲線

圖9 過載變化曲線

從圖6～圖9可以看出，文中提出的再入制導(dǎo)算法在存在初始條件偏差和環(huán)境不確定性條件下能夠滿足終端條件和過程約束，高精度的完成再入段飛行，具備較強(qiáng)魯棒性。

5 結(jié)論

文中提出了基于解析規(guī)劃的多約束再入制導(dǎo)算法，通過縱、側(cè)向的聯(lián)合設(shè)計(jì)，生成滿足熱流、動(dòng)壓、過載等過程約束和終端高度、速度、航程、航向等終端約束的參考剖面，并利用反饋線性化完成軌跡跟蹤。仿真結(jié)果表明，該方法能夠適應(yīng)大范圍飛行空域和速度的變化，具備一定工程應(yīng)用價(jià)值。

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