基于截面優(yōu)化的張弦桁架形狀參數(shù)分析

劉樹堂，侯貫澤

（1.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.廣東博意建筑設(shè)計院有限公司，廣東 佛山 528312）

0 引 言

張弦桁架的形狀參數(shù)有跨度、矢跨比、垂跨比、撐桿數(shù)等；對于上部拱形桁架為倒三角形的張弦桁架結(jié)構(gòu)，上弦拱梁的橫向間距和縱向間距也是重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。對于這些形狀參數(shù)，一般來說跨度是確定的，而其他參數(shù)發(fā)生改變。文獻［1］～［4］中已經(jīng)研究分析了矢跨比、垂跨比、撐桿數(shù)等形狀參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)應(yīng)力與變形的影響，得出了一些結(jié)論。但是由于應(yīng)力、變形等與構(gòu)件截面尺寸大小及結(jié)構(gòu)上的荷載有關(guān)，對這些參數(shù)的研究缺乏普遍意義，也就是說，只對某個特定張弦桁架結(jié)構(gòu)進行形狀參數(shù)分析，缺乏統(tǒng)一的衡量標準。另外，已有文獻對于這些形狀參數(shù)的分析并沒有在優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上進行，因此若把形狀參數(shù)分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)合起來，則對指導(dǎo)實際工程更有意義。

本文中筆者所進行的張弦桁架形狀參數(shù)分析是以離散變量截面優(yōu)化為基礎(chǔ)，以最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為統(tǒng)一衡量標準，探討了不同跨度下矢高、垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的相互關(guān)系，從而根據(jù)給定的跨度來選取最優(yōu)的矢高、垂度，所得結(jié)論有利于減小工程造價，對工程設(shè)計有較大的參考價值。

1 Fibonacci搜索法

文獻［5］中詳細分析了采用Fibonacci法搜索張弦桁架最優(yōu)矢高、垂度的可行性?，F(xiàn)采用Fibonacci搜索法，以跨度L為100m、垂度為2.8m的上弦為倒三角形桁架的張弦桁架結(jié)構(gòu)為例，其中，恒荷載取1.38kPa?；詈奢d取0.3kPa，風荷載取0.7kPa，溫度荷載取40℃。Fibonacci法搜索最優(yōu)矢高的具體計算步驟［6－7］為：

（1）參數(shù)初始化。文獻［8］～［12］中的計算分析結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)的矢跨比最好大于0.12，這時結(jié)構(gòu)的受力和位移都在比較合理的范圍內(nèi)，并且矢跨比對縱向位移和支座反力的影響不明顯。據(jù)此確定出矢高的初始搜索區(qū)間為［0.10L，0.17L］，因此本算例中矢高的初始搜索區(qū)間左端點a＝10m，搜索區(qū)間右端點b＝17m。初定矢高允許誤差ε為0.01 m，計算目標函數(shù)值的次數(shù)n，則函數(shù)值Fn＋1＞（ba）／ε＝700，從Fibonacci數(shù)列可知，F(xiàn)15＝987，F(xiàn)14＝610，故取n＝14。

（2）初始2個搜索點，第1次搜索區(qū)間左、右端點函數(shù)值fa（1），fb（1）分別為

調(diào)入張弦桁架離散變量截面優(yōu)化程序，經(jīng)過計算得到第1次搜索區(qū)間左、右端點矢高所對應(yīng)的最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量分別為 wtmina（1）＝88.51t，wtminb（1）＝86.255t。

（3）保留區(qū)間和保留點的選擇。由于最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量wtmina（1）＞wtminb（1），因此保留區(qū)間為［12.68，17］，保留點為xr＝fb（1）＝14.33。取

再比較wtmina（2）與wtminb（2），決定第2次保留區(qū)間和保留點。為了簡化計算，本文中略去后面步驟說明，根據(jù)計算結(jié)果得到的矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系見圖1。

圖1 矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系Fig.1 Relation Between Rise and Minimum Structure Weight

從圖1可以看出，矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線大致呈拋物線形狀。在結(jié)構(gòu)其他參數(shù)不變，滿足相同荷載和拓撲形式的情況下，在矢高較小時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量較大。這是因為起拱較小時，豎向剛度較小，為了達到結(jié)構(gòu)的位移要求，必須加大桿件截面來提高結(jié)構(gòu)整體剛度。隨著矢高的增大，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐漸減小，當矢高為14.87m時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量處于拋物線最低點，結(jié)構(gòu)的用鋼量達到最小。隨著矢高的繼續(xù)增大，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量又有所增大，這是因為起拱大，拱長增加，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。顯然，本特定算例中，最優(yōu)矢高為14.87m，對應(yīng)的最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量為85.401t，最優(yōu)矢跨比為0.148 7。

2 張弦桁架矢高優(yōu)化分析

2.1 各垂度的張弦桁架矢高優(yōu)化

上述研究只探討了跨度為100m、垂度為2.8 m的張弦桁架矢高優(yōu)化，而相同跨度情況下，不同垂度的張弦桁架最優(yōu)矢跨比是否相同，這是值得研究的問題。采用筆者編寫的形狀參數(shù)優(yōu)化程序?qū)Σ煌苟鹊膹埾诣旒苓M行矢高優(yōu)化分析，以80，100m的張弦桁架為例，荷載與其他參數(shù)設(shè)置與第1節(jié)中的算例相同，探討相同跨度下最優(yōu)矢跨比隨垂度變化的規(guī)律。

圖2中給出了跨度分別為80，100m的張弦桁架在不同垂度下，矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線。

從圖2可以看出：相同跨度情況下，垂度較小時，最優(yōu)矢高相對較小，但結(jié)構(gòu)的用鋼量較大。這主要是因為起拱較小時，索與撐桿夾角較小，施加了預(yù)應(yīng)力的索給撐桿提供的豎向力較小，導(dǎo)致?lián)螚U無法提供給拱很大的豎向力，起不到增加豎向剛度的作用，為了滿足結(jié)構(gòu)的位移要求，必須加大索截面面積以提供索拉力，從而為撐桿提供更大的豎向力，這樣就導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。而垂度較大時，索弧長和撐桿長度有所增加，同時為了滿足壓桿穩(wěn)定，撐桿截面面積需要增加，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。隨著垂度的增加，所對應(yīng)的最優(yōu)矢高逐漸增加，而結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減小，當垂跨比在0.07左右時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量達到最小，即結(jié)構(gòu)用鋼量最??；隨著垂度的繼續(xù)增加，所對應(yīng)的最優(yōu)矢高反而變小，結(jié)構(gòu)用鋼量又有所增大。由此可知，當垂跨比在0.07左右時，才會得到最優(yōu)矢高與結(jié)構(gòu)用鋼量最小。

2.2 各跨度的張弦桁架矢高優(yōu)化

不同跨度的張弦桁架最優(yōu)矢跨比是否相同，這是值得研究的問題。根據(jù)研究結(jié)果，垂跨比在0.07左右時才會得到最優(yōu)矢高與結(jié)構(gòu)用鋼量最小?；谠摻Y(jié)論，擬定了60，80，100，125，150m 五種常用跨度的張弦桁架計算模型參數(shù)，如表1所示，荷載與其他參數(shù)設(shè)置與第1節(jié)中的算例相同，分別對其進行矢高優(yōu)化分析。

圖2 不同垂度下矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.2 Relation Curves Between Rise and Minimum Structure Weight Under Different Sags

表1 各跨度張弦桁架結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)Tab.1 Model Parameters of Different Spans for Truss String Structure m

圖3為5種常用跨度的張弦桁架矢高優(yōu)化結(jié)果。其中，圖3（a）為5種跨度的矢高優(yōu)化曲線匯總，圖3（b）～（f）分別為5種跨度的矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量關(guān)系曲線。從圖3可以看出：

圖3 不同跨度下矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.3 Relation Curves Between Rise and Minimum Structure Weight Under Different Spans

（1）隨著跨度的增加，張弦桁架最優(yōu)矢高逐漸增大［圖3（a）］。這主要是因為隨著跨度的增加，為了滿足結(jié)構(gòu)位移條件等要求，起拱必須有所增加，即矢高必須相應(yīng)增加，這必然會導(dǎo)致最優(yōu)矢高隨著跨度的增大而增加。

（2）各跨度的矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線大致呈拋物線形狀［圖3（b）～（f）］。各跨度在矢高很小時，結(jié)構(gòu)的用鋼量都較大；隨著矢高增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減??；隨著矢高繼續(xù)增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量又有所增加。

把張弦桁架各跨度對應(yīng)的最優(yōu)矢高繪制成圖4。從圖4可以看出，最優(yōu)矢高隨著跨度增大而幾乎呈線性增加。表2中給出了各跨度所對應(yīng)的最優(yōu)矢高與矢跨比。從表2可以看出：當垂跨比為0.07時，各跨度的最優(yōu)矢跨比出現(xiàn)在0.132～0.159之間；跨度越大時，最優(yōu)矢跨比稍微偏大，如當跨度為150m時，最優(yōu)矢跨比為0.154。而最優(yōu)矢跨比與垂跨比之和為0.22時，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。

圖4 最優(yōu)矢高與跨度的關(guān)系曲線Fig.4 Relation Curve Between Optimum Rise and Span

表2 各跨度對應(yīng)的最優(yōu)矢高與矢跨比Tab.2 Optimum Rises and Rise－span Ratios of Different Spans

3 張弦桁架垂度優(yōu)化分析

3.1 各矢高的張弦桁架垂度優(yōu)化

實際工程中，相同跨度、垂度的張弦桁架也有多種矢高可以選取。在相同跨度情況下，最優(yōu)垂跨比隨著矢高的不同將有著怎樣的變化規(guī)律，這是值得研究的問題。以跨度80，100m的張弦桁架為例，對不同矢高的張弦桁架進行垂度形狀參數(shù)優(yōu)化分析，探討在相同跨度情況下，最優(yōu)垂跨比隨著矢高變化的規(guī)律。

圖5中給出了跨度分別為80，100m的張弦桁架在不同矢高下，垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線。

圖5 不同矢高下垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.5 Relation Curves Between Sag and Minimum Structure Weight Under Different Rises

從圖5可以看出，相同跨度情況下，矢高較小時，最優(yōu)垂度相對較大，而且最小結(jié)構(gòu)用鋼量也較大。這主要是因為矢高較小時，起拱較小，豎向剛度較小，為了達到結(jié)構(gòu)的位移要求，必須加大桿件截面來提高結(jié)構(gòu)整體剛度。而當矢高較大時，起拱較大，拱長增加，這又導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。隨著矢高的增加，所對應(yīng)的最優(yōu)垂度逐漸減小，而且結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減小，當矢跨比在0.14左右時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量達到最小，即結(jié)構(gòu)的用鋼量最?。浑S著矢高的繼續(xù)增加，所對應(yīng)的最優(yōu)矢高反而變大，結(jié)構(gòu)的用鋼量又有所增大。由此可知，當矢跨比在0.14左右時，才會得到最優(yōu)垂度與結(jié)構(gòu)的用鋼量最小。

3.2 各跨度的張弦桁架垂度優(yōu)化

張弦桁架的最優(yōu)垂度隨跨度變化的規(guī)律如何，而且不同跨度的張弦桁架最優(yōu)垂跨比是否相同，這是值得進一步研究的問題。根據(jù)研究結(jié)果，矢跨比在0.14左右時才會得到最優(yōu)垂度與最小結(jié)構(gòu)用鋼量?；谠摻Y(jié)論，筆者擬定了60，80，100，125，150 m五種常用跨度的張弦桁架計算模型參數(shù)（表1），并分別對其進行垂度形狀優(yōu)化分析。

圖6為5種常用跨度的張弦桁架垂度優(yōu)化結(jié)果。其中，圖6（a）為5種跨度的垂度優(yōu)化曲線匯總，圖6（b）～（f）分別為5種跨度的垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量關(guān)系曲線。

圖6 不同跨度下垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.6 Relation Curves Between Sag and Minimum Structure Weight Under Different Spans

從圖6可以看出：

（1）隨著跨度的增加，最優(yōu)垂度逐漸增大。這主要是因為隨著跨度的增加，為了滿足結(jié)構(gòu)位移約束條件，起拱必須有所增加，這樣才能使施加了預(yù)應(yīng)力的索給撐桿提供足夠大的豎向力，即垂度必須相應(yīng)增加，這必然會導(dǎo)致最優(yōu)垂度也將隨著跨度的增大而增加［圖6（a）］。

（2）各跨度的垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線大致呈拋物線形狀［圖6（b）～（f）］。各跨度在垂度較小時，結(jié)構(gòu)的用鋼量都較大；隨著垂度增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減小；隨著垂度繼續(xù)增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量又有所增加。

把張弦桁架各跨度對應(yīng)的最優(yōu)垂度繪制成圖7。從圖7可以看出，最優(yōu)垂度隨著跨度增大而幾乎呈線性增加。表3中給出了各跨度對應(yīng)的最優(yōu)垂度與垂跨比。從表3可知：當矢跨比在0.14左右時，各跨度的最優(yōu)垂跨比出現(xiàn)在0.07左右；最優(yōu)的垂跨比與矢跨比之和為0.22，此時結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。

4 結(jié)語

（1）對張弦桁架的矢高、垂度進行了優(yōu)化分析。優(yōu)化分析結(jié)果表明，當垂跨比在0.07左右時，才會得到最優(yōu)矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量，各跨度的最優(yōu)矢跨比出現(xiàn)在0.132～0.159之間，跨度越大，最優(yōu)矢跨比稍有增加。最優(yōu)的矢跨比與垂跨比之和為0.22，此時結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。

圖7 最優(yōu)垂度與跨度的關(guān)系曲線Fig.7 Relation Curve Between Optimum Sag and Span

表3 各跨度對應(yīng)的最優(yōu)垂度與垂跨比Tab.3 Optimum Sags and Sag－span Ratios of Different Spans

（2）當矢跨比在0.14左右時，才會得到最優(yōu)垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量。隨著跨度的增加，最優(yōu)垂度隨著跨度增大而幾乎呈線性增加；各跨度在垂度很小時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量都較大，隨著垂度增加，結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐漸減小，隨著垂度繼續(xù)增加，結(jié)構(gòu)質(zhì)量又有所增加；當矢跨比在0.14左右時，各跨度的最優(yōu)垂跨比出現(xiàn)在0.07左右。

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