某些對(duì)稱群關(guān)于元素階的和的刻畫

吳 超，劉 靜，沈如林

(湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施 445000)

某些對(duì)稱群關(guān)于元素階的和的刻畫

吳 超，劉 靜，沈如林

(湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施 445000)

設(shè)G是有限群，記ψ(G)為群G所有元素階的和.證明了如果G的階等于對(duì)稱群Sn的階，則有ψ(Sn)≤ψ(G),等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?Sn,這里n=1,2,3,4,5,6.

有限群；元素階；對(duì)稱群；Sylow子群

1 引言與引理

定理1 設(shè)G是120階非對(duì)稱有限群，那么ψ(S5)<ψ(G)，這里S5為5次對(duì)稱群.

定理2 設(shè)G是720階非對(duì)稱有限群，那么ψ(S6)<ψ(G)，這里S6為6次對(duì)稱群.

首先給出一些引理.

引理1 設(shè)M有限群G的正規(guī)Hall子群.設(shè)x∈G且o(x)=pα(p是素?cái)?shù)),那么:

引理2 設(shè)G是120階有限群.如果G含有15階元，那么ψ(G)>471.

證明首先，假設(shè)G中至少含有3個(gè)15階循環(huán)子群，那么G中至少含有3φ(15)=24個(gè)15階元，從而G中至多含有95個(gè)非15階元.因此ψ(G)≥24(15)+95(2)+1=551>471.

ψ(CG(P3))=ψ(CG(P3)/P3)ψ(P3)≥ψ(5×|4)ψ(P3)>471.

引理3 設(shè)G是36階群，那么ψ(G)≥111.

證明因?yàn)閨G|=36，所以n3(G)=1或4.

引理4 設(shè)G是720階群.若n5(G)=1或16，那么ψ(G)>3271.

若n5=16，那么|NG(P5)|=45，這里P5∈Syl5(G).因?yàn)?5階群是交換群，所以NG(P5)=CG(P5).于是G有正規(guī)5-補(bǔ)M且|M|=24·32.由引理1:

這里1≠x∈P5.

2 定理1的證明

不難計(jì)算ψ(S5)=471.首先假設(shè)G可解.那么G必含有15階子群，從而G含有15階元.由引理D，ψ(G)>471，即ψ(G)>ψ(S5).

3 定理2的證明

不難計(jì)算ψ(S6)=3271.首先假設(shè)G可解.從而由文獻(xiàn)[4] ，n5(G)=1或16.因此由引理4，ψ(G)>3271，即ψ(G)>ψ(S6).

ψ(G)≥6ψ(P5×R)-5ψ(R)=(6ψ(P5)-5)ψ(R)≥(6ψ(P5)-5)ψ(A4)>3271，即ψ(G)>ψ(S6).

4 結(jié)語(yǔ)

注意，當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由文獻(xiàn)[7]直接計(jì)算知結(jié)論成立.上面考慮的群都是很特殊的對(duì)稱群，如果考慮一般的對(duì)稱群，問是否還有類似于上面的結(jié)果，即有如下猜想：

猜想： 設(shè)G是n!階非對(duì)稱有限群，那么ψ(Sn)<ψ(G)，這里Sn為n次對(duì)稱群.

[1] Amir I,Jafarian Amiri S M,Isaacs I M.Sums of element orders in finite groups[J].Commun Algebra,2009,37(9):2978-2980.

[2] Amiri H,Jafarian Amiri S M.Sum of element orders on finite groups of the same order[J].J Algebra Appl,2011,10(2):187-190.

[3] Jafarian Amiri S M.Characterzation ofA5andPSL(2,7) by sum of element orders[J]. International Journal of Group theory,2013,2(2):35-39.

[4] Hall P.A note on soluble groups[J].J London Math Soc,1928,3(2):98-105.

[5] Hall M. On the number of Sylow subgroups of a finite group[J].J Algebra,1967，7:363-371.

[6] Song-liang Chen.36階群的完全分類[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2002,18(4):241-246.

[7] Thomas A D,Wood G V.Group tables[M].United Kingdom:Shiva Publishing Limited,1980.

ACharacterizationofSomeSymmetricGroupsbytheSumofElementOrders

WU Chao,LIU Jing,SHEN Ru-lin

(Department of Mathematics, Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

LetGbe a finite group. Writeψ(G) to denote the sum of orders of the elements of G.In this paper, we prove that if the order ofGis equal to the order ofSn, thenψ(Sn)≤ψ(G) andψ(G)=ψ(Sn) if and only ifG?Sn,wheren=1,2,3,4,5,6.

finite group；order of elements；symmetric group；Sylow subgroup

2013-06-13.

國(guó)家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(11201133).

吳超(1988- )，男(土家族)，碩士生，主要從事有限群的研究.

152.1

A

1008-8423(2013)03-0257-03