利用周期性計算三維G?del黑洞視界面積和熵的量子修正譜

劉顯明,胡馨勻

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 恩施 445000)

利用周期性計算三維G?del黑洞視界面積和熵的量子修正譜

劉顯明,胡馨勻

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 恩施 445000)

利用一種新的半經(jīng)典的周期性的方法計算了三維G?del黑洞視界面積和熵的量子修正譜. 結(jié)果發(fā)現(xiàn)量子修正后的視界面積譜存在高階的面積倒數(shù)的修正項，然而修正后的熵譜仍然是一個普適的常數(shù)，ΔSBH=2π. 結(jié)論表明熵譜不僅不依賴于黑洞的基本參量，而且不依賴于高階的量子修正，因而在量子引力理論中熵譜比視界面積譜更有意義.

量子修正;黑洞;周期性

本文將進一步利用周期性的方法去研究三維G?del黑洞視界面積和熵的量子修正譜.文獻[10-11]已經(jīng)分別利用擬正則頻率和周期性計算了三維G?del黑洞的視界面積和熵量子化譜. 他們的結(jié)論都表明三維G?del黑洞視界面積和熵譜滿足貝肯斯坦的最初假設(shè).本文將利用出射波的周期性去計算在考慮量子修正后三維G?del黑洞的視界面積和熵的量子譜，進一步探討黑洞的量子化特征.

1 三維G?del黑洞

式中G3是三維引力的引力常數(shù)，α是耦合常數(shù).三維G?del黑洞線元和規(guī)范勢分別為：

(1)

和

度規(guī)函數(shù)：

積分常數(shù)υ,J,Q分別與三維G?del黑洞的質(zhì)量、角動量和電荷相關(guān).由于存在非平凡的規(guī)范場，因此三維G?del黑洞時空漸近的幾何不僅不是AdS/dS時空，也不是卷曲的AdS時空.

其解為：

三維G?del黑洞的事件視界的面積，霍金溫度，角速度分別為：

(2)

對應(yīng)的貝肯斯坦霍金熵為：

可以驗證在此黑洞的事件視界上滿足如下力學(xué)定律：

(3)

顯然，定義υ,J分別為此黑洞的質(zhì)量和角動量，方程(3)可以視為三維G?del黑洞的熱力學(xué)第一定律.

為了避免拖曳效應(yīng)，可以引入所謂的“拖曳”坐標變換：dφ=dt/2αr

于是度規(guī)線元(1)將簡化為2維的形式：

(4)

2 量子修正的事件視界面積譜和熵譜

本節(jié)將在考慮量子修正的前提下，利用出射波函數(shù)的周期計算三維G?del黑洞的事件視界的面積譜和熵譜.

2.1 出射波函數(shù)和周期

為了得到黑洞振蕩的周期，首先來計算在三維G?del黑洞中出射粒子的波函數(shù).為了簡化起見，下面僅考慮無質(zhì)量的標量場的例子.在彎曲時空之中，無質(zhì)量標量場滿足如下的克萊因-高登方程：

(5)

在方程(4)所描述的2維時空中，波函數(shù)Φ通常可用作用量S表示為：

(6)

于是把式(6)和式(4)帶入式(3)，可以得到出射粒子的波函數(shù)方程為：

(7)

為了精確的求解方程(7)，可以把S(r,t)作如下展開：

(8)

其中i=1,2,3…，S0(r,t)是經(jīng)典的作用量.

把式(8)式帶入式(7)，并且按照?的各級進行展開，并整理后可得各級作用量Si(r,t)滿足下面同一形式的微分方程:

(9)

根據(jù)在拖曳坐標系中的對稱性，經(jīng)典的作用量可以寫為:

S0(r,t)=-(E-mΩ+)t+W(r)

(10)

其中，E是粒子的能量，m是粒子的角動量.

(11)

從式(11)可見出射波是周期函數(shù)，具有周期:

(12)

2.2 視界面積和熵的面積譜

正如文獻[8-9,11]所指出，一個粒子的周期正是周期引力系統(tǒng)的周期，并且可以與系統(tǒng)的霍金溫度建立起如下聯(lián)系：

T=?/TBH

(13)

進一步利用關(guān)系E=?ω，周期(12)可以簡化為:

(14)

另一方面利用式(2)可以得到輻射一個粒子帶來的三維G?del黑洞的視界面積的變化量為:

(15)

聯(lián)立方程(13)，(14)和式(15)可得視界面積變化量為:

(16)

式(16)含了高階修正的因子，利用式(7)可以進一步展開為:

顯然可見，在量子修正的情況下，視界面積譜不是普適的常量，還有面積倒數(shù)的高階修正項.

接下來，假定考慮量子修正的情況下，依然存在如下有效的熱力學(xué)第一定律:

(17)

式中Teff是修正后有效溫度:

(18)

于是利用方程(14),(17)和(18)，可以得到熵的量子化譜:ΔSbh=2π

由此可見即使在量子修正情況下，三維G?del黑洞的熵譜依然為一普適的常量.修正后的結(jié)果與前面文獻[12]中沒有修正的結(jié)果是一樣的.這說明熵譜不僅不依賴于黑洞基本參量，而且也不依賴于高階的量子修正. 這說明在量子引力理論中熵譜比視界面積譜更為重要.

3 結(jié)論

本文利用周期性計算了在量子修正情況下的三維G?del黑洞的視界面積譜和熵譜.結(jié)論表明視界面積譜存在高階修正項，而熵譜始終保持為一普適常數(shù).本文的結(jié)論進一步證實了貝肯斯坦的原始結(jié)論，同時得出了量子引力理論中黑洞的熵譜是比視界面積譜更有意義的論斷. 這一結(jié)論期待著在后面的工作中得到更深入的理解.

[1] Hawking S W.Black hole explosions [J].Nature,1974,248:30-31.

[2] Hawking S W.Particle creation by black hole [J]. Comm Math Phys,1975,43(3):199-220.

[3] Bekenstein J D. The quantum mass spectrum of the Kerr black hole[J]. Lett Nuovo Cimento,1974,11:467-470.

[4] Hod S. Bohr's Correspondence Principle and The Area Spectrum of Quantum Black Holes[J]. Phys Rev Lett,1998,81:4293-4296.

[5] Maggiore M. Physical Interpretation of the Spectrum of Black Hole Quasinormal Modes[J]. Phys Rev Lett, 2008,100:141301.

[6] Vagenas E C. Area spectrum of rotating black holes via the new interpretation of quasinormal modes[J].JHEP,2008,0801:073.

[7] Medved A J M. On the Kerr quantum area spectrum [J]. Class Quant Grav, 2008, 25(20):205014.

[8] Zeng Xiao-Xiong, Liu Xian-Ming, Liu Wen-Biao. Periodicity and area spectrum of black holes[J].Eur Phys J C, 2012,72:1967.

[9] Liu Xian-Ming,Zeng Xiao-Xiong, Zhou Shi-Wei.Area spectra of BTZ black holes via periodicity[J].Science China Physics,Mechanics and Astronomy,2013,56(9):1627-1631.

[10] Li Ran. Quasinormal modes and entropy spectrum of three dimensional Godel black hole[J].Int J Mod Phys D, 2012, 21: 1250014.

[11] Li Hui-Ling.Area spectrum of the three-dimensional G?del black hole[J].Chin Phys B,2012,21(12):120401.

[12] Banados M.Three-dimensional origin of G?del spacetimes and black holes[J].Phys Rev D,2006,73:044006.

QuantumCorrectionstoAreaEntropySpectrumofThreeDimensionalG?delBlackHoleViaPeriodicity

LIU Xian-ming,HU Xin-yun

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

Quantum corrections to the area spectrum an the entropy spectrum of three dimensional G?del black hole are calculated by a new simple semi-classical scheme via periodicity. In the presence of higher-order quantum corrections, the area spectrum is found to be corrected by inverse area terms while the entropy spectrum is found to have a universal form, ΔSBH=2π. The results show that the entropy spectrum is independent of not only the G?del black hole parameters but also the higher-order quantum corrections, which implies that the entropy spectrum is more natural than the area spectrum in quantum gravity theory.

quantum corrections;black hole;periodicity

2013-08-22.

國家自然科學(xué)基金項目(11365008);湖北省教育廳項目(Q20131901).

劉顯明(1980- )，男(侗族)，博士，講師，主要從事理論物理的研究.

P145.8

A

1008-8423(2013)03-0241-04