正則Z-算子的Z-譜及其性質(zhì)

秦宣華,楊萬必

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

正則Z-算子的Z-譜及其性質(zhì)

秦宣華,楊萬必*

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

引入了正則Z-算子的Z-譜的概念，探討了正則Z-算子的Z-譜的性質(zhì)，并將泛函分析學(xué)中譜映射定理推廣到Z-空間之中的Z-譜映射定理.

Z-空間；B-Z-空間；正則；Z-算子 ；Z-譜；性質(zhì)；Z-譜映射定理

文獻(xiàn)[1-10]引入了Z-空間(X,+,θ,‖·‖)、B-Z-空間、內(nèi)積Z-空間、內(nèi)積H-Z-空間、共軛Z-空間和共軛Z-算子、內(nèi)積H-Z-空間中的酉Z-算子、正常Z-算子與正則Z-算子等概念；在此基礎(chǔ)上，本文提出了正則Z-算子的Z-譜的概念，探討了Z-算子的Z-譜的性質(zhì)，并將泛函分析學(xué)中譜映射定理推廣到Z-空間之中的Z-譜映射定理.

定義1[2-4]完備的Z-空間稱為BanachZ-空間，簡(jiǎn)稱B-Z-空間.

定義2[10]設(shè)X是B-Z-空間，A是線性Z-算子，A∈R(X)，若A是在上的，A-1存在并且是有界Z-算子，則稱A為正則Z-算子.

命題1[10]設(shè)X是B-Z-空間,A∈R(X),則以下諸條件等價(jià)：

1)A是正則Z-算子；

2)存在B∈R(X)，AB=BA=I，此時(shí)B=A-1；

3)A是到上的并且存在α>0，‖Ax‖≥α‖x‖，(?x∈X).

4)A是到上的1-1的.

命題2[10]設(shè)A、B∈R(X).

1)若A為正則Z-算子，則A-1為正則Z-算子，并且(A-1)-1=A;

2)若A、B為正則Z-算子，則AB為正則Z-算子,并且(AB)-1=B-1A-1;

3)若A為正則Z-算子，則A*為正則Z-算子,并且(A*)-1=(A-1)*.

命題3[10]設(shè)X是B-Z-空間,A∈R(X)，λ∈C(C是復(fù)數(shù)集)，若‖A‖<|λ|,則λI-A為正則Z-算子.

定義3 設(shè)X是復(fù)Z-空間，A:X→X是線性Z-算子，λ∈C.

1)若λI-A為正則Z-算子，稱λ是A的正則點(diǎn)，A的正則Z-點(diǎn)的全體記為ρ(A)，稱ρ(A)為A的正則Z-集.

2)若λI-A不是正則Z-算子，稱λ是A的Z-譜點(diǎn)，A的正則Z-譜點(diǎn)的全體記為σ(A)，稱σ(A)為A的Z-譜集.

3)若λI-A不是可逆的，稱λ為A的特征值，A的特征值的全體記為σp(A).稱σp(A)為A的點(diǎn)Z-譜.

4)若λI-A可逆，但不是到上的，或者λI-A可逆、到上，但(λI-A)-1不是有界的，則稱λ為A的連續(xù)Z-譜，連續(xù)Z-譜的全體記為σc(A)，稱σc(A)是A的連續(xù)Z-譜集.

5) 設(shè)(λI-A)-1存在，稱R(λ,A)=(λI-A)-1是A的予解式.

6)設(shè)λ∈σp(A)，若λ≠0使得(λI-A)x=0，則稱x是A的相應(yīng)于λ的特征向量.稱N(λI-A)是A的相應(yīng)于λ的特征向量Z-空間.

定理1 設(shè)X是B-Z-空間，A∈R(X).

1)λ∈ρ(A)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何a∈X，非齊次方程(λI-A)x=a的解存在、唯一，并且此時(shí)存在常數(shù)c>0使得‖x‖≤c‖a‖，其中x是與a相應(yīng)的解.

2)λ∈σp(A)當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程(λI-A)x=0有非0解.

3)λ∈σc(A)當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程(λI-A)x=0有唯一0解并且要么非齊次方程(λI-A)x=a不是對(duì)于每個(gè)a∈X有解，要么其解關(guān)于a不具有連續(xù)依賴性.

證明①實(shí)際上若λ∈ρ(A)，則(λI-A)-1∈R(X)，并且,故x=(λI-A)-1(λI-A)x=(λI-A)-1a，‖x‖=‖(λI-A)-1a‖≤‖(λI-A)-1‖·‖a‖.由于當(dāng)a=0時(shí)x=0，故解是唯一的.

反之，若所說的條件成立，當(dāng)a=0時(shí)，x=0，即方程(λI-A)x=a有唯一的0解或N(λI-A)x={0}.λI-A是一一映射，(λI-A)-1存在，(λI-A)x=a對(duì)于每個(gè)a有解，故λI-A是到上的，由命題1(4)知λI-A是正則Z-算子，即λ∈ρ(A).

②若λ∈σp(A)，則λI-A不可逆(不是1-1的)，于是存在x1,x2∈∈X，x1≠x2，(λI-A)x1=(λI-A)x2，從而(λI-A)(x1-x2)=0，x1-x2≠0.反之若x∈X，x≠0，(λI-A)x=0，但顯然(λI-A)0=0，故λI-A不是1-1的,λ∈σp(A).

③齊次方程只有0解對(duì)應(yīng)于Z-算子λI-A是1-1的，不是對(duì)于每個(gè)a∈X有解對(duì)應(yīng)于λI-A不是到上的.不具有連續(xù)依賴性對(duì)應(yīng)于(λI-A)-1無界，故結(jié)論(3)成立.

定理2 設(shè)X是B-Z-空間，A∈R(X).則:

1)ρ(A)為開集.

2)σ(A)是緊集.

(1)

現(xiàn)在 ‖(λI-A)B-(λI-A)Bn‖≤‖λI-A‖·‖Bn-B‖→0(n→)，故:

②由命題3，當(dāng)‖A‖<|λ|時(shí)，λI-A為正則Z-算子，故σ(A)是平面C中的有界集，又σ(A)=Cρ(A)是閉集，σ(A)為C中的緊集.

定理3 設(shè)X是非零B-Z-空間，A∈R(X)，則σ(A)≠φ.

證明對(duì)于任意的λ∈ρ(A)，f∈R(X)*，F(xiàn)(λ)=f((λI-A)-1)為復(fù)值函數(shù).由定理2以及f的連續(xù)性，

(2)

(3)

F(λ)在C上有界，根據(jù)Liouville定理(復(fù)變函數(shù))，F(xiàn)(λ)只能是常數(shù).由式(3)必有F(λ)=0(?λ∈C)，特別地F(0)=0.因此對(duì)于任何f∈R(X)*成立.

X是非0Z-空間，R(X)為非0B-Z-空間，從σ(A)=φ得知0∈ρ(A)，從而A-1∈R(X)*.于是存在f∈R(X)*，f(A-1)=‖A-1‖≠0.若F是與f相應(yīng)的.將λ=0代入F(λ)在0點(diǎn)的展開式，得到F(0)=-f(A-1)≠0，與F(λ)=0(?λ∈C)矛盾.故σ(A)不會(huì)是空集.

a.

‖An‖=‖Akn0+s‖≤‖AN‖=‖Akn0‖·‖As‖≤‖AN‖=‖An0‖k·‖A‖s.

(4)

用與定理2類似的方法不難驗(yàn)證，(λI-A)B=B(λI-A)=I，從而B=(λI-A)-1，λ∈ρ(A).這說明:

(5)

③由式(5)，當(dāng)|λ|>a并且f∈R(X)*時(shí)，

(6)

于是f((λI-A)-1)在區(qū)域{λ:|λ|>a}中解析.但由②，{λ:|λ|>a}?{λ:|λ|>r(A)}.?ρ(A)，根據(jù)Laurent展開式(復(fù)變函數(shù))的唯一性，式(6)即f((λI-A)-1)在{λ:|λ|>r(A)}上的Laurent展開式(復(fù)變函數(shù))，由Laurent級(jí)數(shù)(復(fù)變函數(shù))的性質(zhì)，?ε>0，

(7)

定理5 設(shè)X是復(fù)B-Z-空間，A∈R(X)，λ,μ∈ρ(A)，則:

1)R(λ,A)-R(μ,A)=(μ-λ)R(λ,A)R(μ,A).

2)若B∈R(X)，AB=BA,則BR(λ,A)=R(λ,A)B.

3)R(λ,A)R(μ,A)=R(μ,A)R(λ,A).

證明①λ,μ正則Z-點(diǎn)，則:R(λ,A)-R(μ,A)=(λI-A)-1-(μI-A)-1=(λI-A)-1(μI-A)(μI-A)-1-(λI-A)-1(λI-A)(μI-A)-1=(λI-A)-1((μI-A)-(λI-A))(μI-A)-1=(μ-λ))R(λ,A)R(μ,A).

②BR(λ,A)=(λI-A)-1(λI-A)B(λI-A)-1=(λI-A)-1B(λI-A)(λI-A)-1=R(λ,A)B.

③由(λI-A)R(λ,A)=R(λ,A)(λI-A)知道AR(λ,A)=R(λ,A)A，將②中的B當(dāng)作R(λ,A)即得出所要的結(jié)論.

定理6(Z-譜映射定理) 設(shè)X是復(fù)B-Z-空間，A∈R(X).若p(λ)是復(fù)變量λ的n次多項(xiàng)式，則:

σ(p(A))=p(σ(A))，

(8)

其中p(A)是將λ換為A時(shí)相應(yīng)的Z-算子多項(xiàng)式，而p(σ(A))={p(λ):λ∈σ(A)}.

證明若λ∈σ(A)，不妨記p(λ)=anλn+…+a1λ+a0,(an≠0)，則有:p(λ)I-p(A)=(λI-A)Q(λ,A)，其中Q(λ,A)是A的多項(xiàng)式，從而是一個(gè)有界線性Z-算子.假若p(λ)I-p(A)是正則Z-算子，則(λI-A)Q(λ,A)(p(λ)I-p(A))-1=I，(p(λ)I-p(A))-1(λI-A)Q(λ,A)=I.容易知道(λI-A)與Q(λ,A)以及Q(λ,A)與(p(λ)I-p(A))-1都可交換，所以由上式也可得出(λI-A)[Q(λ,A)(p(λ)I-p(A))-1]=[Q(λ,A)(p(λ)I-p(A))-1](λI-A)=I.亦即λ是A的正則Z-點(diǎn)，矛盾.于是p(λ)∈σ(p(A))或p(σ(A))?σ(p(A)).

反之，若μ?p(σ(A))，則μ-p(λ)=an(μ1-λ)…(μn-λ)≠0,?λ∈σ(A).從而λ≠μi(i=1,2，…,n).即每個(gè)μi(i=1,2，…,n)都是A的正則Z-點(diǎn).此時(shí)μI-p(A)=an(μ1I-A)…(μnI-A)≠0.必是正則Z-算子.于是μ?p(σ(A))，σ(p(A))?p(σ(A)).總之式(8)成立.

[1] 王國俊，白永成.平移空間的線性結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48(1)：1-10.

[2] 楊萬必，秦宣華.Z-空間上的線性算子的性質(zhì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006，25(1)：97-99.

[3] 楊萬必，李永亮，秦宣華，等.關(guān)于Z-空間的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2005，23(4)：330-331.

[4] 楊萬必.共軛Z-空間與共軛Z-算子的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008，26(1)：12-14，60.

[5] 楊萬必.內(nèi)積Z-空間及其性質(zhì) [J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008，26(3)：330-331.

[6] 楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008，26(2)：187-189.

[7] 秦宣華.楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的投影算子及其性質(zhì)[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009，30(5)：21-25.

[8] 秦宣華,楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的共軛Z-算子及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010，28(4):420-421.

[9] 秦宣華,楊萬必.內(nèi)積H-Z-空間中的酉Z-算子與正常Z-算子及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012，30(1):30-31.

[10] 秦宣華,楊萬必.正則Z-算子及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012,30(3):266-267.

[11] 劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001:69-76，151-160，194-205.

Z-spectrumofRegularZ-operatorandItsNature

QIN Xuan-hua，YANG Wan-bi

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

This paper introduces the concept ofZ-spectrum of regularZ-operator，discusses its nature and extends the spectral mapping theorem of the functional analysis toZ-spectral mapping theorem inZ-space.

Z-spaces；B-Z-spaces；regular；Z-operator；Z-spectrum；nature；Z-spectral mapping theorem

2013-03-18.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10471156).

秦宣華(1963- )，男, 高級(jí)教師，主要從事函數(shù)論研究;*

：楊萬必(1963- )，男，碩士，副教授，主要從事函數(shù)論研究.

Q177

A

1008-8423(2013)02-0171-04