具線性耗散摩阻力的圣維南方程組Cauchy問題探討

李文豐，聶大勇

(黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004)

0 引言

天然河流、引水和灌溉渠道、人工運(yùn)河以及許多水工建筑物中的流動(dòng)都屬于明渠流動(dòng)，是自然界和人類現(xiàn)實(shí)生活中最常見的一種流動(dòng)。 由于生產(chǎn)實(shí)踐和人類生活的需要，對(duì)明渠流動(dòng)的研究和認(rèn)識(shí)具有悠久的歷史。 1769 年謝才（A.de Chézy）建立的明渠均勻流公式一直沿用至今。 近年來，科技的進(jìn)步和生產(chǎn)的發(fā)展使人們不僅需要了解明渠流動(dòng)中斷面的平均流速，還需要知道流速及其他有關(guān)物理量在時(shí)間和空間上的分布，從而推進(jìn)了對(duì)明渠紊流的研究。 河道一維非恒定流作為比較常見的明渠紊流，其研究也受到越來越多的關(guān)注。

河道一維非恒定流一般都采用圣維南(Saint-Venant)方程進(jìn)行描述。 圣維南方程在水力學(xué)研究和實(shí)踐中得到證實(shí)和完善，并且已在水利工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用[1]。 眾所周知，圣維南方程組是一個(gè)典型的一階擬線性雙曲型方程組，目前的研究主要局限于方程本身和計(jì)算方法[2～3]，而對(duì)其經(jīng)典解的存在性和非存在性研究比較少[4]。 如李大潛研究了其邊界的精確能控性[5]，劉法貴等研究了具高階耗散的圣維南方程組的Cauchy 問題[6]。

本文探討了具線性耗散摩阻力的圣維南方程組，利用局部解延拓的方法得到了整體經(jīng)典解的存在性，驗(yàn)證了一階擬線性雙曲方程組低階耗散可以保證整體經(jīng)典解的存在性，并給出了解發(fā)生破裂的一個(gè)充分條件。

1 一致先驗(yàn)估計(jì)

1.1 預(yù)備知識(shí)

如下具線性耗散摩阻力的一維圣維南方程組的Cauchy 問題[5]：

式中：A=A(t，x)為時(shí)刻t、位置x 處過水?dāng)嗝婷娣e；v=v(t，x)為通過過水?dāng)嗝娴钠骄魉?；g 為重力加速度；h=h(A)為相應(yīng)斷面面積A 的水深，h=h(A)適當(dāng)光滑，且滿足以下條件：

h'(A)＞0,h"(A)＞0,?A＞0;A0(x),v0(x)∈C1(R)，且其C1模有界。

引進(jìn)Riemann 不變量，

則方程組（1）可化為

對(duì)于式（2），假設(shè)：

1.2 主要定理

定理1：在假設(shè)（H1）、（H2）之下，若ε 充分小，則Cauchy 問題在t≥0 上存在整體經(jīng)典解。

定理2：在假設(shè)（H1）之下，若ε 充分小，且?x∈R,有(w0(x),z0(x))≥-3M 成立，則Cauchy 問題在t≥0 上存在整體經(jīng)典解。 這里f 的定義分別見式（4）、式（5）和式(14)。

2 定理證明

2.1 定理1證明

為了證明定理1，先引入下面的引理。

引理1[7]：考慮如下擬線性雙曲方程組的Cauchy問題。

這里u=(u1，u2，…，un)T是關(guān)于t、x 的未知向量函數(shù)，μj、αij、hj(i，j=1，2，…，n)是其定義域 上的連續(xù)函數(shù)，并且μj關(guān)于t 有界，關(guān)于x，u 是局部Lipschitz 連續(xù)。 若u=u(t，x)是上述Cauchy 問題的一個(gè)C1解，則?(t，x)∈R+×R 有下邊的不等式成立：

由引理1，可得出如下推論。

推論1：在假設(shè)（H1）下，若ε 充分小，則在Cauchy 問題的經(jīng)典解存在區(qū)域上有｜v(t，x)｜≤C1ε，0＜A*－C2ε≤A(t，x)≤A*＋C2ε。 對(duì)方程組（2）兩端關(guān)于x求偏導(dǎo)得

經(jīng)詳細(xì)計(jì)算有

其中，

假設(shè)方程組（2）的第i 特征線為

則由假設(shè)（H2）得：

由推論1 和引進(jìn)的Riemann 不變量可知，存在正常數(shù)M1，M2，使得：

沿著第1 特征線積，并由式（5）～式（7）以及假設(shè)（H1）、（H2）易證

這里M3、M4是不依賴于ε 的正常數(shù)。

由推論1 知，存在充分小的ε0＞0，使得當(dāng)?ε∈(0,ε0]，先驗(yàn)假設(shè)式（7）是合理的。 由式（8）即得對(duì)?ε∈(0,ε0]，有

其中，M5(＞0)，M0是常數(shù)。

同理可證

即有

則由局部解存在性定理[8]，定理1 得證。

如果

2.2 定理2 證明

令

則式（2）可以改寫為

其中

記

由P 及Pi(i=1，2，3，4)的定義和推論1 知，存在充分小的ε0＞0，?ε∈(0，ε0]有

再令

則式(10)可以改寫為

在Cauchy 問題的經(jīng)典解存在區(qū)域上，定義

引理2[9]：考慮如下的初值問題

這里k（t）、y1（t）、y2（t）∈C0，（C0模有界），并且

那么對(duì)初值問題式（12），在其C0解的存在區(qū)域上有

那么初值問題式(12)的C0解y（t）必在有限時(shí)間內(nèi)破裂，也就是存在一有限的T＞0，使得

由引理2 可得引理3：考慮方程組(11)具有如下始值的Cauchy 問題

假設(shè)在Cauchy 問題的經(jīng)典解存在區(qū)域上,｜｜v（t，x）｜｜和｜｜A（t，x）｜｜C0是有界的，且?（t，x）∈R+×R，有σ1＞0，σ2＞0。 如果

則在經(jīng)典解存在區(qū)域上，有下式成立：

其中

當(dāng)ε→0+時(shí)，易知下式成立：

其中，

于是，存在充分小的ε＞0，對(duì)?ε∈(0，ε0]，由式（9）、式（10）知：

則由引理3 知，在式（10）光滑解的存在區(qū)域上有

式中：C1,C2是不依賴于ε 的常數(shù)。 因此，當(dāng)ε 充分小時(shí)，存在常數(shù)C，使得

由局部解存在性定理[8]，定理2 得證。

2.3 定理3證明

由定理2 的證明知，當(dāng)ε0充分小時(shí)，W0=W（β1，或成立。 則由引理2 可知定理3 成立。

3 結(jié)語

由圣維南方程組的推導(dǎo)過程可以知道，摩阻力是由河槽底部及兩側(cè)的剪切力所造成的，可用明渠阻力經(jīng)驗(yàn)公式（曼寧公式或謝才公式）來表示。 本文的結(jié)果表明，低階耗散可以保證整體經(jīng)典解的存在性，但耗散項(xiàng)對(duì)整體的影響比較小，而高階耗散則不然。 本論文中解的破裂結(jié)果表明，具線性耗散摩阻力的流體，若初速度和對(duì)流加速度（v(x)v'(x))很小，而且過水?dāng)嗝姹３只静蛔?，則水流會(huì)按照初始狀態(tài)一直保持不變。 如果在某點(diǎn)過水?dāng)嗝嫱蝗话l(fā)生改變，則流速也會(huì)隨之改變，水流就會(huì)產(chǎn)生水躍（解發(fā)生破裂）。 由于耗散形式的摩阻力在實(shí)際河槽中表現(xiàn)為河底凹凸不平，河道兩側(cè)形狀不規(guī)則，因此，在改造天然河流以及人工修建河道及其他水利工程時(shí)，河道的形狀一定要盡量規(guī)則，底部應(yīng)盡量平整。

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