柱狀胡蘿卜樣品熱風(fēng)微波耦合干燥數(shù)學(xué)模型

孫 帥，崔政偉

（江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院食品加工技術(shù)與裝備研究中心，江蘇無錫214122）

干燥是一個(gè)高能耗的過程，提高干燥過程的能源利用率相當(dāng)重要。食品干燥有多種方法且都有其自身特點(diǎn)，熱風(fēng)干燥以其操作方法簡(jiǎn)單和干燥設(shè)備低廉而應(yīng)用廣泛。然而，熱風(fēng)干燥中熱量以熱傳導(dǎo)的方式由外向內(nèi)進(jìn)行傳遞，傳遞速度慢，干燥耗時(shí)長(zhǎng)。隨著時(shí)代的發(fā)展，微波干燥的應(yīng)用也越來越廣。微波干燥過程中，微波與水分子相互作用并在整個(gè)樣品內(nèi)部產(chǎn)生熱量，大大縮短了干燥時(shí)間，提高了能源利用率。而單純的微波干燥存在加熱不均勻現(xiàn)象，尤其是當(dāng)微波頻率較低時(shí)，不均勻現(xiàn)象越明顯。為了克服熱風(fēng)干燥耗時(shí)長(zhǎng)和微波干燥不均勻的缺點(diǎn)，將熱風(fēng)干燥和微波干燥耦合不失為一種有效的解決方法。對(duì)此新型干燥方法的評(píng)估可以通過建立樣品在此干燥方法下傳熱傳質(zhì)的數(shù)學(xué)模型來實(shí)現(xiàn)。模型中考慮樣品的物理性質(zhì)、電熱性質(zhì)及溫度和含水量變化對(duì)微波能吸收的影響。目前為止，微波加熱方面的研究已較多，如Campanone和Zaritzki[1]，F(xiàn)eng等[2]，Lin等[3]，Roman等[4]，Sanga等[5]，Yang和Gunasekaran[6]的研究成果。上述研究一般利用實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)模擬的方法對(duì)單純微波干燥樣品進(jìn)行研究，并得到樣品內(nèi)部的溫度分布情況。對(duì)熱風(fēng)微波耦合干燥過程中樣品內(nèi)部的傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象進(jìn)行分析的相關(guān)報(bào)道依舊較少。文章研究了熱風(fēng)微波耦合干燥條件下胡蘿卜的干燥特性并建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)測(cè)干燥過程中樣品內(nèi)部的溫度分布和含水量變化。選取長(zhǎng)徑比較大的柱狀胡蘿卜作為實(shí)驗(yàn)樣品，將實(shí)驗(yàn)值和模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行比對(duì)，以此來對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 材料與方法

1.1 材料與設(shè)備

胡蘿卜 購于無錫華潤(rùn)萬家超市，其初始的濕基平均含水量為89%。

熱風(fēng)微波耦合干燥裝置 實(shí)驗(yàn)室自行設(shè)計(jì)制造；XMD-16型熱電偶溫度測(cè)量?jī)x 上海自動(dòng)化儀表六廠；WRNM-104型手持式熱電偶 上海恒陽儀表有限公司；ST-18型手持紅外測(cè)溫儀 美國(guó)雷泰Raytek公司；FA1104型電子天平 上海第二天平廠；DW-40L92型冰箱 青島海爾集團(tuán)公司；螺旋測(cè)微器 巢湖市立誠(chéng)精密量?jī)x有限責(zé)任公司。

1.2 實(shí)驗(yàn)方法

1.2.1 樣品制備 將胡蘿卜洗凈、去皮，用鋼模將胡蘿卜制成兩種柱形尺寸的干燥樣品：12mm×60mm、8mm×45mm（長(zhǎng)徑比大于等于5∶1），用螺旋測(cè)微器對(duì)制備的樣品直徑進(jìn)行測(cè)量，選取誤差在5%以內(nèi)，用電子天平對(duì)樣品進(jìn)行稱重，對(duì)12mm×60mm的樣品質(zhì)量控制在7.5g左右，將樣品放于冰箱內(nèi)冷藏備用，冰箱的冷藏溫度設(shè)置為4℃。

1.2.2 實(shí)驗(yàn)干燥工藝流程 原料預(yù)處理→熱風(fēng)溫度設(shè)定→熱風(fēng)速度設(shè)定→微波功率設(shè)定→熱風(fēng)微波耦合干燥→成品。

1.2.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及條件 參照過往實(shí)驗(yàn)可知，熱風(fēng)速度對(duì)耦合干燥影響較小，因此本實(shí)驗(yàn)中將熱風(fēng)速度設(shè)定為一常數(shù)，為1.0m/s，熱風(fēng)溫度選取40、50、60℃三種水平，由于微波的實(shí)際輸出功率與說明書標(biāo)定的功率有一定出入，其實(shí)際輸出功率可由Schiffmann[7]提出的方法進(jìn)行測(cè)定，當(dāng)微波100%、75%、35%輸出時(shí)，尺寸為12mm×60mm樣品中的微波功率密度為2.6、2.0、0.9W/cm3。

1.3 指標(biāo)測(cè)定

1.3.1 樣品含水率測(cè)定 原料初始含水率按GB 50093-2010測(cè)定。

1.3.1.1 濕基含水率測(cè)定 濕基含水率w（%）=（樣品重-干品重量）/（樣品重）×100。

1.3.1.2 干基含水率測(cè)定 干基含水率X（%）=w/（100-w）×100。

1.3.2 干燥速率的測(cè)定 干燥過程中，每隔一段時(shí)間Δt，將樣品取出放于電子天平上稱重，為了減小誤差，此過程在10s內(nèi)完成。干燥速率=（Mt－Mt+Δt）/Δt。1.3.3 溫度的測(cè)定

1.3.3.1 中心溫度測(cè)定 干燥過程中，每隔一段時(shí)間，將樣品取出，利用手持式熱電偶對(duì)其中心溫度進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量時(shí)迅速將溫度傳感器插入樣品的中心位置，測(cè)量三次，取平均值。

1.3.3.2 表面溫度測(cè)定 對(duì)于樣品的表面溫度，采用熱電偶溫度測(cè)量?jī)x和手持紅外測(cè)溫儀分別測(cè)量，取兩種測(cè)量結(jié)果的平均值。為了保證測(cè)量精度，溫度的整個(gè)測(cè)量過程不得超過30s。

1.4 數(shù)學(xué)模型

胡蘿卜在熱風(fēng)干燥過程中無明顯的恒速干燥階段，其內(nèi)部水分的擴(kuò)散可以由單相分子擴(kuò)散來表示。為了探究柱狀胡蘿卜樣品在熱風(fēng)微波耦合干燥條件下的干燥性質(zhì)，利用能量和質(zhì)量平衡方程建立其干燥過程的數(shù)學(xué)模型，傳質(zhì)過程包括由內(nèi)到外的水分?jǐn)U散和樣品表面水分的對(duì)流蒸發(fā)。傳熱過程包括微波能的內(nèi)部產(chǎn)熱，熱量在樣品內(nèi)部的傳導(dǎo)及樣品表面水分的對(duì)流換熱及蒸發(fā)熱損失。在熱風(fēng)微波耦合干燥過程中，干燥樣品表面的水分含量與空氣中的含水量可達(dá)到一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡。為了預(yù)測(cè)干燥過程中樣品內(nèi)部溫度和含水量的分布，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，建模之前，需作如下假設(shè)：a.干燥樣品內(nèi)部的初始溫度和初始含水量均勻分布；b.柱狀樣品的長(zhǎng)徑比較大，近似為無限長(zhǎng)圓柱，干燥過程假定為徑向的一維擴(kuò)散；c.傳熱過程僅考慮熱傳導(dǎo)和熱對(duì)流兩種傳熱方式，忽略熱輻射；d.忽略樣品在干燥過程中體積的改變；e.微波入射方向垂直于樣品表面。

1.4.1 傳熱模型 熱風(fēng)微波耦合干燥過程中，樣品內(nèi)部某處的溫度變化與此處微波能轉(zhuǎn)化為熱能的多少，熱擴(kuò)散和水分的蒸發(fā)有密切關(guān)系，其能量平衡方程可表示為：

1.4.2 傳質(zhì)模型 方程如下式所示：

1.4.3 初始和邊界條件

1.4.3.1 初始條件 樣品的初始含水量和初始溫度均勻分布，則：當(dāng)t=0時(shí)，有：T=T0，X=X0式（3）。

1.4.3.2 邊界條件 樣品表面的熱輻射忽略不計(jì)，因此表面的熱損失包括對(duì)流換熱和蒸發(fā)熱損失，表面水分的損失為其質(zhì)量損失，則：在r=0處，由于對(duì)稱，有：式（4）。在r=R處，有：式（5），式（6）。公式（5）中ye為樣品表面的氣相平衡含濕量，可由樣品表面的絕對(duì)濕度進(jìn)行估算：ye=Ye/（0.622+Ye）式（7），Ye=M水a(chǎn)w（X，T）Psat（T）/M空氣（P-aw（X，T）Ptsat（T））式（8）。aw為水分活度，為樣品中濕分的蒸汽壓與自由濕分的飽和蒸汽壓之比，在平衡狀態(tài)下與空氣的相對(duì)濕度相等。

1.4.5 模型的求解 由于柱狀樣品的長(zhǎng)徑比較大，可近似為無限長(zhǎng)圓柱，求解過程當(dāng)作徑向的一維問題。用Crank-Nicolson有限差分法對(duì)所建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散，得到一個(gè)三對(duì)角矩陣，對(duì)此三對(duì)角矩陣應(yīng)用隱式差分法，得到的特征方程用Matlab編寫的程序進(jìn)行求解，求解過程中將初始條件和邊界條件及上述的相關(guān)參數(shù)考慮在內(nèi)，設(shè)定與實(shí)驗(yàn)過程中相同的干燥條件，可得樣品中沿徑向的溫度及含水量的分布及變化情況。對(duì)模型進(jìn)行離散時(shí)用到的方程可表示為：

式中，i表示離散節(jié)點(diǎn)的位置；n表示時(shí)間間隔；Δr表示沿著樣品徑向的位置步長(zhǎng)；Δt表示時(shí)間步長(zhǎng)，求解過程中步長(zhǎng)需滿足的條件：Δr≥10，Δt≥1000。

2 結(jié)果與討論

2.1 樣品中由模型預(yù)測(cè)的溫度分布及含水量的變化

圖1和圖2為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在單熱風(fēng)干燥條件下（熱風(fēng)溫度：50℃、風(fēng)速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質(zhì)量：7.5g）的干基含水量和溫度隨干燥時(shí)間的變化圖。由圖1和圖2可知，樣品中心的含水率高，表層含水率低，與此相反，樣品的表層溫度高于中心溫度。因此，單熱風(fēng)干燥過程中，胡蘿卜樣品中熱量的傳遞方向?yàn)橛赏庀騼?nèi)，而水分的傳遞由內(nèi)向外。由圖還可得到，樣品表層溫度的最大值為熱風(fēng)溫度，表層含水量在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到其最終值，與干燥空氣中的含水量達(dá)到平衡，此點(diǎn)表明樣品內(nèi)部的傳質(zhì)阻力決定著樣品的干燥速率。

圖1 單熱風(fēng)干燥條件下樣品內(nèi)含水量分布Fig.1 Moisture distribution in sample without microwave energy

圖2 單熱風(fēng)干燥條件下樣品內(nèi)溫度分布Fig.2 Temperature distribution in sample without microwave energy

圖3 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)含水量分布總視圖Fig.3 Overall overviews of the moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖3和圖4為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在熱風(fēng)微波耦合干燥條件下（微波功率密度：0.9W/cm3熱風(fēng)溫度：40℃、風(fēng)速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質(zhì)量：7.5g）樣品中干基含水量和溫度關(guān)于半徑和干燥時(shí)間的三維分布圖。圖5和圖6為其二維圖。由圖5可知，樣品中水分的減少主要發(fā)生在樣品的表面，越靠近樣品中心，水分的減少速率逐漸減慢。由溫度分布圖6可知，樣品中心位置的溫度最高，而樣品表面的溫度最低。因此，樣品中傳熱和傳質(zhì)的方向都是由內(nèi)向外。在干燥的開始階段，溫度上升速率較快，這是因?yàn)楫?dāng)樣品中含水量較高時(shí)，對(duì)微波能的吸收能力較強(qiáng)。相對(duì)于熱風(fēng)干燥，熱風(fēng)微波耦合干燥時(shí)樣品中溫度上升的速率明顯加快。在此干燥階段，樣品中吸收的微波能和由微波能轉(zhuǎn)化成的熱能明顯高于由樣品表面水分蒸發(fā)而損失的能量。

圖4 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)溫度分布總視圖Fig.4 Overall overviews of the temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖5 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)含水量分布Fig.5 The moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖6 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)溫度變化分布Fig.6 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖7和圖8為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在熱風(fēng)微波耦合干燥條件下（微波功率密度：0.9W/cm3，熱風(fēng)溫度：60℃、風(fēng)速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質(zhì)量：7.5g）樣品中干基含水率和溫度關(guān)于干燥時(shí)間的分布圖，圖9為圖8前400s的放大圖。由圖9可知，在干燥初期，樣品表面溫度上升速率大于中心溫度上升速率，微波和熱風(fēng)分別從內(nèi)外對(duì)樣品進(jìn)行加熱，樣品溫度上升速率快，當(dāng)樣品表面溫度達(dá)到并超過熱風(fēng)溫度時(shí)，熱風(fēng)對(duì)樣品的表面起冷卻作用。同時(shí)，隨著樣品含水量的減少，微波能轉(zhuǎn)化為熱能的量減少，在干燥的最后階段，當(dāng)樣品中表面與空氣中的含水量達(dá)到平衡時(shí)，樣品中的溫度保持在一個(gè)相對(duì)恒定的值，這種現(xiàn)象表明，在此干燥階段，樣品中由微波能轉(zhuǎn)化成的熱能與表面由于熱風(fēng)冷卻而損失的能量達(dá)到平衡。在樣品干燥的最后階段，雖然樣品中含水量已比較低，但是微波能依舊可以與其相互作用產(chǎn)生熱能。

圖7 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)含水量分布Fig.7 The moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖8 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)溫度分布Fig.8 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖9 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)溫度分布Fig.9 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖10和圖11為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在熱風(fēng)微波耦合干燥條件下（微波功率密度：2.6W/cm3熱風(fēng)溫度：40℃、風(fēng)速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質(zhì)量：7.5g）樣品中干基含水率和溫度關(guān)于干燥時(shí)間的分布圖。由圖5～圖11可知，隨著樣品含水量的減少，微波能的作用減小很大。實(shí)際上，在高含水量樣品熱風(fēng)微波耦合的干燥過程中，微波能更適合用于其初始干燥階段。還可以得到，樣品在熱風(fēng)微波耦合干燥的最后，其表面的溫度一般會(huì)高于熱風(fēng)的溫度。

圖10 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)含水量分布Fig.10 The moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖11 熱風(fēng)微波耦合干燥樣品內(nèi)溫度分布Fig.11 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

2.2 模型的驗(yàn)證

圖12 不同微波功率密度下樣品平均干基含水量預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.12 Comparison between experimental and predicted average moisture contents of samples at different microwave power densities

圖13 不同微波功率密度下樣品中心溫度預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.13 Comparison between experimental and predicted central temperatures of samples at different microwave power densities

圖14 樣品表面溫度預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.14 Comparison between experimental and predicted surface temperatures of samples at different microwave power densities

圖12列出了在四種不同微波功率密度下，尺寸為12mm×60mm的胡蘿卜樣品中，平均干基含水量的預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)值的比較。圖13和圖14為樣品中心溫度和表面溫度預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的比對(duì)。由此可知，樣品中含水量的變化呈現(xiàn)指數(shù)衰減的趨勢(shì)。由模型預(yù)測(cè)的含水量的值與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的值吻合程度較高，但在熱風(fēng)微波耦合干燥后期，預(yù)測(cè)值比實(shí)驗(yàn)值偏低。而對(duì)于樣品表面和中心的溫度，預(yù)測(cè)值比實(shí)驗(yàn)值偏高。造成預(yù)測(cè)溫度值相對(duì)偏高的原因可能有以下幾點(diǎn)：a.忽略了微波在樣品中的衰減作用；b.初始微波功率密度的測(cè)算不準(zhǔn)；c.溫度值測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的誤差。需要注意的是，干燥過程的傳熱傳質(zhì)并不是相互獨(dú)立的，由公式可知，傳質(zhì)模型中的有效擴(kuò)散系數(shù)是溫度的函數(shù)。因此，在模型的求解過程中，在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)計(jì)算的溫度值會(huì)用于下一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)對(duì)傳質(zhì)模型的求解。這樣，在干燥過程的最后階段，對(duì)溫度值變化的過高預(yù)測(cè)導(dǎo)致了對(duì)含水量的過低預(yù)測(cè)。當(dāng)微波功率密度為0，即單熱風(fēng)干燥時(shí)，含水量的估算值相對(duì)偏高，這一點(diǎn)可能是由于樣品的萎縮造成，而在模型中忽略了樣品體積的改變。在熱風(fēng)微波耦合干燥過程中，由于對(duì)溫度的過高預(yù)測(cè)而導(dǎo)致的對(duì)含水量的過低預(yù)測(cè)與由于樣品的萎縮而對(duì)含水量的過高預(yù)測(cè)在某種程度上可以大體相抵。當(dāng)然，模型的預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)值的總體趨勢(shì)還是趨于一致的。

圖15為兩種尺寸不同的樣品在相同干燥條件（微波功率設(shè)定為75%輸出，熱風(fēng)溫度40℃）下干基含水率的比對(duì)，由圖15可知，尺寸小的樣品的干燥速率較快。這是因?yàn)楫?dāng)樣品尺寸較小時(shí)，傳質(zhì)阻力相對(duì)較小，內(nèi)部的傳質(zhì)阻力決定了干燥的速率。

圖15 不同尺寸樣品在同一干燥條件下干燥曲線的對(duì)比Fig.15 Comparison between drying curve of different size samples to the same drying conditions

3 結(jié)論

以柱狀胡蘿卜樣品為例，建立其熱風(fēng)微波耦合干燥條件下傳熱傳質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)值與模型預(yù)測(cè)值的比對(duì)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，得出此模型能夠較好的預(yù)測(cè)干燥過程中樣品內(nèi)部溫度的分布及含水量的變化。由多種實(shí)驗(yàn)情況可知，熱風(fēng)微波耦合干燥過程中，樣品表面的最終溫度一般高于熱風(fēng)溫度。相對(duì)于傳統(tǒng)的單熱風(fēng)干燥而言，熱風(fēng)微波耦合干燥的干燥速率明顯加快。熱風(fēng)微波耦合干燥過程中，樣品表面的含水量在較短時(shí)間內(nèi)就可達(dá)到最終值，即與干燥空氣中的含水量平衡，干燥速率由樣品內(nèi)部的傳質(zhì)速率來控制。

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