小波分解下的變形預(yù)報(bào)組合模型

王祖順，韓吉德

（青海省第二測(cè)繪院，青海 西寧 810001）

對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)是變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理的重要工作。諸多方法已經(jīng)成功引入該領(lǐng)域［1－4］。線性模型有AR模型、MA模型等，非線性模型有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）等。然而，線性模型往往對(duì)數(shù)據(jù)的整體規(guī)律有較好的描述，而對(duì)短時(shí)和局部的特征不能有效建模。非線性模型則擅長(zhǎng)描述局部和短時(shí)的影響，而對(duì)全局規(guī)律的建模不如線性模型。因此，線性模型與非線性模型的組合是提高模型精度的有效方法［5－8］。然而，這類組合模型形式多樣，適用的數(shù)據(jù)也各不相同。組合模型仍需深入研究。

本文提出的組合模型DC（Dual Combination）先利用小波變換分解數(shù)據(jù)，分別重構(gòu)獲得線性和非線性部分，然后對(duì)分離后的數(shù)據(jù)序列分別用ARMA和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模和預(yù)報(bào)，最后將兩種性質(zhì)的序列進(jìn)行合并，獲得最終的預(yù)報(bào)結(jié)果。本文首先描述了該組合模型的構(gòu)建流程，接著討論了小波分解層數(shù)的判別方法以及ARMA階數(shù)的選擇和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建。最后，對(duì)隔河巖大壩的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)例建模，并著重分析分解層數(shù)對(duì)模型預(yù)報(bào)精度的影響，比較了不同方法之間預(yù)報(bào)效果。

1 組合模型的構(gòu)成

組合模型分為4個(gè)階段：確定小波分解層數(shù)、小波分解、分解序列的建模預(yù)報(bào)、數(shù)據(jù)合成獲得預(yù)報(bào)結(jié)果。小波分解后的序列中第1層小波分解使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，其余序列使用ARMA建模預(yù)報(bào)［9］，如圖1所示。

圖1 DC建模流程

分解過(guò)程中采用db3小波，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用具有較快收斂速度的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其小波函數(shù)為morlet小波。

2 模型構(gòu)建中的問(wèn)題

2.1 小波分解層數(shù)的確定

小波分解的層數(shù)是未知的，然而，分解的層數(shù)決定了分解后線性部分和非線性部分的分離程度，也決定了建模的時(shí)間和效率。如果分解的層數(shù)過(guò)多，會(huì)出現(xiàn)分解后線性程度最高部分偏離實(shí)際數(shù)據(jù)的線性特征較遠(yuǎn)的情況［10］，因此，采用平滑測(cè)度Smooth來(lái)判斷分解層數(shù)。

式中：N表示序列長(zhǎng)度，M表示歷史數(shù)據(jù)的分解層數(shù)，X為原始數(shù)據(jù)序列，aM為第M層分解的低頻部分，n為信號(hào)長(zhǎng)度。設(shè)置閾值T，當(dāng)Smooth（M）≤T時(shí)，確定分解層數(shù)為M。經(jīng)過(guò)多種數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，閾值T一般可取0.005。

2.2 ARMA的構(gòu)建

ARMA模型中的模型階數(shù)p，q使用原數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)ACF（Auto－Correlation Coefficient）和偏自相關(guān)函數(shù)PACF（Partial Auto－Correlation Coefficient）的截尾性和拖尾性來(lái)輔助判斷ARMA模型的階數(shù)。

ARMA階數(shù)越高，系統(tǒng)的未知量越多，其可靠性越低，未知風(fēng)險(xiǎn)和計(jì)算量也隨之增加，因此，往往采用某些準(zhǔn)則來(lái)選取合適的階數(shù)。常用準(zhǔn)則有AIC（An information criterion）準(zhǔn)則。另外，也可以采用BOX建模方法和動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)建模方法［11］（Dynamic Data System，DDS）來(lái)確定ARMA模型階數(shù)。最后，p，q大小可以根據(jù)精度需要做適當(dāng)調(diào)整，以降低系統(tǒng)的復(fù)雜程度和未知風(fēng)險(xiǎn)。

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建基礎(chǔ)是確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層數(shù)和隱藏層數(shù)。輸入層數(shù)的確定可依據(jù)頻譜分析出的周期來(lái)確定，隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)目可依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式

式中：m為隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)，n為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，l表示輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)，a為1～10之間的常數(shù)，依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，另外“試錯(cuò)法”（Trial and Error）［12］也可輔助判斷。

3 實(shí)測(cè)算例

為了驗(yàn)證該組合模型建模方法的有效性，本文選取隔河巖大壩GPS變形監(jiān)測(cè)網(wǎng)的其中一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)連續(xù)8個(gè)月的E方向形變數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

建模前，先對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行粗差剔除、插值等處理，形成一組連續(xù)干凈的數(shù)據(jù)，如圖2所示。本文使用原始數(shù)據(jù)前906個(gè)歷元的方向位移進(jìn)行模型估計(jì)，對(duì)907～1006歷元的方向位移進(jìn)行預(yù)報(bào)。

圖2 E方向位移量

3.1 確定分解層數(shù)

依據(jù)本文2.1中提到的方法，先對(duì)歷史序列進(jìn)行分解，按照式（1）計(jì)算每次尺度分解部分的平滑度。表1列出了1～8層小波分解的Smooth值。

表1 7層尺度分解的Smooth值

依據(jù)上述方法，小波分解層數(shù)可選為5。歷史數(shù)據(jù)的分解如圖3所示。圖中a5表示第5層低頻部分，d1，d2，d3，d4，d5分別表示1～5層的小波分解。

圖3 E方向時(shí)間序列小波分解圖

3.2 確定模型參數(shù)

首先對(duì)尺度分解a5和小波分解d2，d3，d4，d5用ARMA進(jìn)行建模。ARMA模型的參數(shù)的確定可先做自相關(guān)和偏自相關(guān)分析。然后用AIC函數(shù)進(jìn)行輔助判斷，若階數(shù)過(guò)大，還可采用DDS的方法進(jìn)行進(jìn)一步的確定。本文以a5序列為例進(jìn)行分析。

由于a5的偏相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)截尾階數(shù)和拖尾階數(shù)過(guò)高，故針對(duì)a5使用AIC函數(shù)判別方法，如圖4所示。

圖4 AIC函數(shù)曲線

根據(jù)AIC準(zhǔn)則，a5的階數(shù)在4～5階。本文選取了p＝4，q＝1。d2，d3，d4，d5的具體階數(shù)見(jiàn)表2。

表2 ARMA模型p，q定階

確定小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)目可根據(jù)數(shù)據(jù)的采樣率選取，本數(shù)據(jù)的采樣率是每天6個(gè)歷元的數(shù)據(jù)，故輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)可設(shè)為6。隱藏節(jié)點(diǎn)數(shù)可根據(jù)式（2）來(lái)確定，本文選隱藏節(jié)點(diǎn)數(shù)目為8。由于本文做的是一步預(yù)測(cè)，故輸出層數(shù)為1。

3.3 預(yù)報(bào)及殘差計(jì)算

根據(jù)3.2建立的模型，對(duì)907～1006歷元的方向位移進(jìn)行預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 E方向預(yù)報(bào)與實(shí)際測(cè)量比較

以上100個(gè)歷元的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值差值的均方根誤差為0.6mm，誤差最大處為1.8mm，90%的預(yù)測(cè)值的誤差均在±1mm以內(nèi)，97%的殘差在1.5mm以內(nèi)。其預(yù)報(bào)殘差如圖6所示。

圖6 預(yù)報(bào)殘差

4 比較分析

4.1 不同分解層數(shù)對(duì)建模預(yù)報(bào)的影響

本文在3.1中已經(jīng)提到了小波分解層次對(duì)建模的重要性，其分解層數(shù)可使用Smooth值進(jìn)行判斷。現(xiàn)在對(duì)不同的分解層數(shù)下模型預(yù)報(bào)的精度進(jìn)行比較分析。

對(duì)歷史數(shù)據(jù)分別進(jìn)行4層、6層和7層的小波分解，然后建模預(yù)報(bào)，其殘差如圖7所示。

從圖7可以看出，4層分解的殘差序列有一個(gè)較為明顯的趨勢(shì)項(xiàng)，可以歸因于小波分解層數(shù)的偏少，線性和非線性粗分離效果不好。6層分解和7層分解與圖6中的殘差序列形態(tài)上較為接近。

圖7 4、6、7層分解預(yù)報(bào)殘差圖

引入殘差平方根MSE和最大誤差mEr作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其二者的評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表3。另外，對(duì)其殘差大小的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，見(jiàn)表4。

表3 不同分解層數(shù)預(yù)報(bào)的殘差分析 mm

表4 不同分解層數(shù)預(yù)報(bào)的殘差分布

表3表明分解層數(shù)在4、5、6、7的情況下殘差平均平方根均在1mm以內(nèi)，分解層數(shù)在5和6層的時(shí)候，殘差平方根最小，為0.6mm，4層分解的精度最差，為0.9mm。4種分解層數(shù)的殘差最大值則相差較大。4層分解的時(shí)候殘差最大值為2.6mm，5層、6層和7層分解的殘差最大值相差無(wú)幾。

表4反映了殘差的集中程度，也可以看作是預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性。百分比越高，預(yù)報(bào)穩(wěn)定性越強(qiáng)?？梢?jiàn)4層分解的穩(wěn)定性是最差的。穩(wěn)定性最好的是5層分解，6層分解次之。7層分解的穩(wěn)定程度有所下降，可歸因于分解層數(shù)增加后，高頻部分需要建模的子序列數(shù)目增加，從而高頻部分建模預(yù)報(bào)的誤差累加后增大。

從以上分析可以看出，分解層數(shù)對(duì)該模型預(yù)報(bào)精度的影響較大。將歷時(shí)序列分解5層是較為合理的，與前述平滑測(cè)度確定的層數(shù)一致。隨著分解層數(shù)的進(jìn)一步增加，預(yù)報(bào)精度沒(méi)有提高，且小波高頻部分建模的誤差會(huì)累積，造成預(yù)報(bào)結(jié)果不穩(wěn)定。由于分解層數(shù)受閾值的影響較大，故針對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)，閾值的選取須慎重。

4.2 DC模型與單一模型的比較

DC模型通過(guò)小波綜合了ARMA和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。下面直接通過(guò)ARMA和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行單獨(dú)建模預(yù)報(bào)來(lái)觀察組合的作用。其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍選用與DC模型一致的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。ARMA模型單獨(dú)預(yù)報(bào)的殘差、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)單獨(dú)建模預(yù)報(bào)的殘差和DC模型預(yù)報(bào)的殘差比較如圖8所示。

圖8 3種方法殘差統(tǒng)計(jì)分布圖

圖中可以發(fā)現(xiàn)單獨(dú)使用ARMA和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)報(bào)殘差分布不集中，在±3mm之外仍有殘差分布，而DC模型預(yù)報(bào)的殘差分布最為集中，且全部在±2mm區(qū)間內(nèi)?？梢园l(fā)現(xiàn)，這兩種方法單獨(dú)建模的精度都不高。3種方法的具體精度比較見(jiàn)表5。

表5 ARMA和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差分析 mm

本文DC模型方法精度明顯優(yōu)于兩個(gè)單一模型的預(yù)報(bào)精度，平均各改善76%和77%。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于小波分解的線性非線性組合建模的預(yù)報(bào)方法DC模型。該模型利用小波的多分辨率特性將隱含在數(shù)據(jù)中的線性特征和非線性特征進(jìn)行分離，然后分別建模預(yù)報(bào)，最后通過(guò)數(shù)據(jù)合成獲得預(yù)報(bào)結(jié)果。實(shí)例表明DC模型的預(yù)報(bào)精度較高，RMS為0.6mm。

分析了小波分解層數(shù)對(duì)模型的影響，針對(duì)小波分解層數(shù)的不確定性和小波分解層數(shù)對(duì)模型建模的重要性，提出使用平滑系數(shù)作為小波分解層數(shù)的判別方法，由此確定的分解層數(shù)5與不同層數(shù)分解預(yù)報(bào)效果比較一致，表明平滑系數(shù)的適用性。

對(duì)同一數(shù)據(jù)分別使用DC、ARMA和WNN方法進(jìn)行預(yù)報(bào)建模，其精度分別為0.6mm、2.5mm、2.6mm，最 大 偏 差 分 別 為1.8mm、6.6mm、6.4mm，DC模型平均精度改善76%和77%，DC模型比單一模型具有優(yōu)勢(shì)。

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