梁損傷小波包分析和神經(jīng)網(wǎng)絡識別

孟范孔，邱志成

（華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510641）

柔性梁結構振動產(chǎn)生的動應力和動變形會引起結構的疲勞與損傷。從而使結構承受正常載荷以及環(huán)境作用的能力下降，引發(fā)突發(fā)性的災難事故[1]。因此，需進行損傷識別研究。

小波分析具有多分辨率的特點，在損傷識別領域有廣泛的應用。Rucka等[2]利用小波分析可以檢測信號奇異性的原理對梁、板的損傷進行識別。Yan等[3]和丁幼亮等[4]利用結構動力響應的小波包能量譜建立損傷識別指標。BP神經(jīng)網(wǎng)絡是進行結構損傷識別的有效方法，Liu等用BP網(wǎng)絡識別框架結構的損傷[5]。米江等將改進的BP網(wǎng)絡用于風機故障分類[6]。Ceravolo等[7]先用一個BP網(wǎng)絡確定簡支梁損傷的程度，再根據(jù)特定的損傷程度確定第二個BP網(wǎng)絡的訓練樣本，用于確定損傷位置。

本文用有限元法(FEM)建立柔性懸臂梁系統(tǒng)的動力學方程，并求得狀態(tài)空間方程用于進行結構動力響應仿真。用小波包對柔性懸臂梁無損傷和有損傷狀態(tài)下的動力響應信號進行分解，計算小波包節(jié)點子信號能量，建立損傷指標。采用分步識別方法和改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行損傷位置和程度識別，并進行了數(shù)值仿真研究。

1 有限元模型的建立

對梁裂縫進行分析的模型有局部剛度降低模型、精細網(wǎng)格模型等[8]。文中用精細網(wǎng)格模型對梁的裂縫進行分析。

用每節(jié)點三個自由度的四節(jié)點矩形板單元，對懸臂梁進行離散化。懸臂梁經(jīng)網(wǎng)格劃分后共n個節(jié)點，激勵為作用在梁上一節(jié)點的z方向的集中力，輸出為柔性梁上一節(jié)點的加速度響應。有限元法建立的動力學方程為

式中M∈R3n×3n、C∈R3n×3n、K∈R3n×3n分別是整體質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，并且C=αM+βK，α，β為 阻 尼 系 數(shù) 。d∈R3n×1、∈R3n×1、¨∈R3n×1分別為整體節(jié)點位移向量、節(jié)點速度向量、節(jié)點加速度向量。u(t)為激勵力，F(xiàn)ext∈R3n×1是與激勵力作用位置有關的向量。

所要觀測節(jié)點的加速度輸出

式中T∈R1×3n為觀測矩陣。

式(1)、(2)經(jīng)模態(tài)坐標變換d=Φg得

式中g為模態(tài)坐標，Φ=M-1K為模態(tài)矩陣。

式(3)、(4)經(jīng)變換得

式中

式(5)、(6)表示為標準的狀態(tài)空間方程形式

式中X(t)為狀態(tài)向量，y(t)為加速度輸出，A、B、C、D分別為系統(tǒng)矩陣、控制矩陣、輸出矩陣和直接傳遞矩陣，u(t)為外部激勵力。并且

2 損傷識別算法

2.1 基于小波包分解的損傷指標

結構發(fā)生損傷時，結構的動態(tài)特性會發(fā)生改變。用含不同頻率成分的信號對結構進行激勵時，損傷導致結構對某些頻率信號起著抑制作用，而對另外一些頻率信號起著增強作用。損傷結構的輸出與無損傷結構的輸出相比，相同頻帶內信號的能量會有差異[3,4]。

用S0(t)表示結構的加速度響應信號，則經(jīng)小波包分解后，S0(t)可以表示為[3]

式中i為小波包分解的層數(shù)，Si,j(t)是小波包分解樹節(jié)點[i，j]的系數(shù)重構后的子頻帶信號。定義第j個子頻帶信號的能量為[3]

用小波包能量譜中各子頻帶能量相對于全部頻帶能量平均值的比值的變化來表征損傷。小波包能量譜中各子頻帶的能量比Rk為[4]

子頻帶的能量比表征了結構的動態(tài)特性。基于文獻[3]的思想，用各子頻帶能量比的相對變化率作為損傷指標判斷結構的損傷情況，即

式中ERVk為小波包分解第k個子頻帶的能量比相對變化率；Ruk和Rdk分別為結構在無損傷和有損傷狀態(tài)下第k個子頻帶的能量比。

2.2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的損傷識別

用BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行損傷識別。因為標準BP算法存在收斂速度慢、容易陷入局部最小等問題，所以采用加入動量項和學習率自適應調整相結合的方法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行改進[6]。

加入動量項后下一次迭代時的參數(shù)值為

式中W為需要調整的網(wǎng)絡參數(shù)，ΔW為網(wǎng)絡參數(shù)的修正量，t表示迭代次數(shù)，α為動量因子。

自適應調整學習率算法為

式中，η為學習率，E為全部訓練樣本的均方誤差。設定最大學習率為0.8，最小學習率為0.01。

3 數(shù)值算例分析

3.1 問題描述

以柔性懸臂梁為研究對象進行數(shù)值仿真。其物理參數(shù)如下：長度、寬度和厚度分別為0.656 m，0.165 m和0.002 m；密度為1 865 kg/m3；楊氏模量為34.64 GPa；泊松比為0.33。

圖1懸臂梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of cantilever beam

圖1 所示為懸臂梁模型示意圖，裂縫與固定端的距離為Lc，裂縫深度為h，裂縫寬度為Lr=0.001 m。算例中集中力的作用位置坐標為xa=0.075 m，ya=0.080 m。輸出加速度響應的位置坐標為xs=0.630 m，ys=0.080 m。本算例進行單損傷的損傷位置和損傷程度識別研究?？赡艿膿p傷位置有三處，即裂縫與固定端的距離Lc分別為0.115 m、0.215 m和0.315 m。對每個損傷位置分別考慮14種不同的損傷程度，即裂縫深度h分別為0.010 m、0.015 m、……、0.070 m、0.075 m。分別對所選取的三個損傷位置（每個損傷位置14種損傷程度）的42種損傷情況進行分析。選擇其中6種損傷情況作為測試樣本，其余損傷情況作為訓練樣本。測試樣本如表1所示。

如圖1所示，網(wǎng)格劃分時，對于x方向，裂縫所在的位置，網(wǎng)格局部加密。裂縫處為一列單元，在裂縫兩側各有一個長度為Lt的過渡區(qū)域。過渡區(qū)域內有五列單元，其x方向尺寸由裂縫處向兩側分別為0.001 m、0.003 m、0.005 m、0.011 m和0.020 m。其余部分均勻劃分為23列單元。對于y方向，每個單元的尺寸均為0.005 m。經(jīng)網(wǎng)格劃分，x方向單元個數(shù)為34，y方向單元個數(shù)為33。

模態(tài)變換矩陣取前兩階，將求得的狀態(tài)空間方程離散化用于進行動力響應仿真，計算柔性梁在方波激勵下的動力響應。方波激勵的頻率為5 Hz，幅值為10 N。采樣頻率為200 Hz，仿真時間為10 s。

表2所示完好柔性懸臂梁的前兩階模態(tài)頻率。利用模型編程計算值和ANSYS軟件分析比較可知，用Matlab計算結果滿足精度要求。

3.2 損傷指標的計算

用Db 8小波基函數(shù)對獲得的加速度響應進行6層小波包分解，得到64個子頻帶信號。經(jīng)計算，全部樣本的加速度響應信號經(jīng)小波包分解后，前32個子頻帶信號的能量占全部64個頻帶信號總能量的98%以上。前32個子頻帶的信號能夠表征加速度響應信號的主要信息。所以選取前32個子頻帶信號建立損傷指標。

表1 測試樣本Tab.1 Testing samples

表2 完好梁模態(tài)頻率Tab.2 Natural frequencies of undamaged beam

圖2 測試樣本2的損傷指標Fig.2 Damage index of test sample 2

測試樣本2的損傷指標如圖2所示。從圖中可以看出，第1、11、15、27四個子頻帶的能量比相對變化率發(fā)生顯著的變化。相對變化率分別為-252.28%、-111.65%、-111.20%、-98.42%。對于不同的損傷情況，小波包分解子頻帶能量比的相對變化率是不同的。

3.3 損傷模式的識別

用分步識別方法進行裂縫損傷識別。先識別損傷發(fā)生的位置，然后識別損傷的程度。因此建立兩個三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構。分別為用于識別裂縫發(fā)生位置的損傷位置網(wǎng)絡(Damage Location Network)和識別裂縫損傷程度的損傷程度網(wǎng)絡(Damage Extent Network)。

損傷位置網(wǎng)絡輸入層、隱含層、輸出層的神經(jīng)元個數(shù)分別為32、24和3。期望輸出為[1 0 0]、[0 1 0]、[0 0 1]，分別代表裂縫發(fā)生的位置為115 mm、215 mm和315 mm。1表示該位置發(fā)生損傷，0表示該位置沒有損傷。損傷位置網(wǎng)絡隱含層和輸出層的作用函數(shù)為均為Sigmoid函數(shù)。損傷程度網(wǎng)絡輸入層、隱含層、輸出層的神經(jīng)元個數(shù)分別為32、12和1。期望輸出為裂縫損傷的程度。損傷程度網(wǎng)絡隱含層作用函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，輸出層作用函數(shù)為純線性函數(shù)。兩個神經(jīng)網(wǎng)絡的隱含層神經(jīng)元個數(shù)是經(jīng)過試驗確定的。

將損傷指標數(shù)據(jù)歸一化處理，分別用改進的BP算法(Improved BP，IBP)和標準BP算法(BP)對兩個神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練。損傷位置網(wǎng)絡的初始學習率為0.01，動量因子為0.05，層間連接權值和閾值的隨機初始化范圍為(-1，1)。誤差性能指標為0.01，最大訓練次數(shù)為10000。損傷程度網(wǎng)絡的初始學習率為0.01，動量因子為0.5，層間連接權值和閾值的初始化范圍為(-0.1，0.1)。誤差性能指標為1×10-6，最大訓練次數(shù)為10 000。用標準BP算法進行訓練時的學習率為固定值0.01。

圖3、圖4分別為損傷位置網(wǎng)絡和損傷程度網(wǎng)絡的誤差曲線。由圖3、圖4可以看出，用改進BP算法進行訓練時的誤差收斂速度比用標準BP算法快。損傷位置網(wǎng)絡用標準BP算法訓練10 000次后的均方誤差為0.184 1，而用改進BP算法訓練9 360次后達到目標誤差0.01。損傷程度網(wǎng)絡用標準BP算法和改進BP算法訓練10 000次后的均方誤差分別為3.237 4×10-4、1.785 8×10-5。

測試樣本的損傷位置、損傷程度識別結果分別如表3、表4所示。由表4可以看出，損傷位置網(wǎng)絡的預測值與實際值較為接近，由網(wǎng)絡輸出的最大值可以判斷損傷發(fā)生的位置。由表4可以看出，損傷程度網(wǎng)絡預測值與實際值的最大相對誤差是-5.5%，識別結果滿足精度要求。所以，利用分步識別方法，可以對損傷位置和損傷程度進行識別，并且BP神經(jīng)網(wǎng)絡具有較好的泛化能力。

圖3 損傷位置網(wǎng)絡誤差曲線Fig.3 Error curve of damage location network

圖4 損傷程度網(wǎng)絡誤差曲線Fig.4 Error curve of damage extent network

表3 損傷位置識別結果Tab.3 Identification results of damage location

表4 損傷程度識別結果Tab.4 Identification results of damage extent

4 結 語

柔性梁發(fā)生裂縫損傷時，結構的動態(tài)特性發(fā)生改變。利用小波包分析可以對梁的裂縫損傷信息進行提取。基于小波包能量譜建立的子頻帶能量比相對變化率損傷指標對梁的裂縫損傷敏感。改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡收斂速度快。采用分步識別方法和改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡可以精確的識別出損傷位置和損傷程度。使用小波包分析和神經(jīng)網(wǎng)絡相結合的方法，用低頻振動響應就可以實現(xiàn)柔性懸臂梁裂縫損傷位置和程度的識別。

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