3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)的位置正解及應用研究

郭宗和 朱松松 崔榮江 楊啟志

1.山東理工大學，淄博，255049 2.山東省農(nóng)業(yè)機械科學研究所，濟南，250100

3.江蘇大學，鎮(zhèn)江，212013

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)因其剛度大、積累誤差小、承載能力大、動力性能好等優(yōu)點而得到廣泛應用［1］。1988年 Behi［2］首先提出了 3－PRPS 并聯(lián)機構(gòu)，Shim等［3］分析了3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學反解、工作空間，Chuang等［4-5］對該機構(gòu)進行了動力學分析及控制規(guī)劃，拓展了該機構(gòu)運動學特性研究的思路，另外，王建平等［6］初步探討了該機構(gòu)的位置正解，并通過仿真分析研究了機構(gòu)參數(shù)q對機構(gòu)運動性能的影響。但有關(guān)該并聯(lián)機構(gòu)的位置正解還無詳細的研究報道。位置正解一直是一個挑戰(zhàn)性的問題并且受到極大的關(guān)注。

目前并聯(lián)機構(gòu)的正解求解方法主要有數(shù)值法和封閉解法［7］。第一個被研究位置正解解析解形式的并聯(lián)機構(gòu)是 6－3型 Stewart并聯(lián)機構(gòu)。Innocenti等［8］用封閉解法分析了 6－3 型Stewart并聯(lián)機構(gòu)的位置正解。賀利樂等［9］用改進的遺傳算法對一種混合驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的位置正解進行了研究。

本文根據(jù)3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)自身的結(jié)構(gòu)特點，通過建立約束方程，分析該并聯(lián)機構(gòu)位置正解的封閉解形式，并且采用向量之間的內(nèi)積與外積分析了機構(gòu)的位置反解，研究了該機構(gòu)在車船用減振平臺方面的應用。

1 3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)

3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，該并聯(lián)機構(gòu)由3個水平滑塊P1、P2、P3，3個豎直作用連桿L1、L2、L3，動平臺 B1B2B3，定平臺 A1A2A3等組成，其中動平臺和定平臺均為正三角形，且動平臺外接圓半徑為r，定平臺內(nèi)切圓半徑為R，通過改變滑塊的位移和豎直連桿的長度改變動平臺在空間的位姿。根據(jù)3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)的特點，在定平臺的重心位置O上建立定坐標系OXYZ，在動平臺的重心位置o上建立動坐標系oxyz。

圖1 3-PRPS并聯(lián)機構(gòu)簡圖

2 3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)位置正解

對于3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)的位置正解，就是已知水平滑塊的位移Si(i=1，2，3)和豎直連桿的桿長 Li，求解動平臺的位姿(XP，YP，ZP，α，β，γ)，為了方便正反解數(shù)值驗證，現(xiàn)將位姿轉(zhuǎn)化為Bi點在定坐標系中的坐標。Bi點坐標確定，動平臺的位姿則確定。

定義θi為豎直連桿與定平臺之間的夾角，則由Pi點坐標即可推導出 Bi點在定坐標系下的坐標:

得出關(guān)于 θ1、θ2、θ3的 3 個方程:

式中，A、B、D、E、F為機構(gòu)的已知幾何參數(shù)及輸入變量的函數(shù)。

令u=tanθ1/2，v=tanθ2/2，w=tanθ3/2，利用半角公式:

將式(1)～式(3)進一步簡化為

利用Sylvester消元法，從式(5)和式(6)中消去w，得到關(guān)于u和v的4次方多項式，將該多項式寫成v的顯式為

其中，各系數(shù)kj(j=1，2，…，5)僅是關(guān)于u的不高于4次的函數(shù)，用 v乘式(7)，用 v、v2、v3分別乘式(4)共得4個附加方程，連同式(4)、式(7)共6個方程，寫成矩陣形式:

由于［v5v4v3v2v 1］T≠0，所以這個齊次方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零，即

式(9)是關(guān)于u的16次代數(shù)方程，由此可解得u的值，聯(lián)立式(4)和式(7)，可解得v，最后聯(lián)立式(5)和式(6)可得到w。

u、v、w 求得后即可確定 θi，從而求得 B1、B2、B3點在定坐標系下的坐標，最終確定動平臺的位姿。

3 3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)位置反解

位置反解可以簡單描述為:已知動平臺的位姿(XP，YP，ZP，α，β，γ)，求解水平滑塊的位移 Si和豎直連桿的桿長Li，Si為正表示滑塊沿逆時針方向移動，反之沿順時針方向移動。

本文選擇(XYZ)RPY角坐標表示法描述姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，即首先將動坐標系繞定坐標系的X軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞定坐標系的Y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞定坐標系的Z軸旋轉(zhuǎn)α角，則兩坐標系之間的變換矩陣為

其中，cα =cosa，sα =sinα，其他類推。為了方便運算，用以下變量來表示矩陣中的元素，即

則有

式中，Bi為B點在定坐標系中的坐標;bi為B點在動坐標系中的坐標;P為o點在定坐標系中的坐標。

在 △A1B1A2中，P1B1垂直 A1A2，所以

同理可得:

動平臺的位姿已知時，則由以上公式可以求出3個桿長Li和3個滑塊的位移Si，即求得機構(gòu)的位置反解。

4 數(shù)值驗證

選取機構(gòu)參數(shù)如下:r=10mm，R=13mm，動平臺初始位姿(0，0，4mm，0，0，0)，取(S1=0，S2=0，S3=0，L1=5mm，L2=5mm，L3=5mm)作為正解的輸入。

運用MATLAB軟件編程求解，由前面正解分析可知，封閉解為一元16次方程，編程求解將會有16個解，這里由于u、v、w值不可能為復數(shù)，故舍去所有的復數(shù)解，對于上述的正解輸入，產(chǎn)生了8組實數(shù)解和8組復數(shù)解，只保留8組實數(shù)解。由8組實數(shù)解可進一步求得Bi點在定坐標系下的坐標，求解結(jié)果如表1～表3所示。

表1 8組實數(shù)解對應B1點坐標 mm

表2 8組實數(shù)解對應B2點坐標 mm

表3 8組實數(shù)解對應B3點坐標 mm

根據(jù)表1～表3畫出8組實數(shù)解對應的上平臺位姿，如圖2所示。

由圖2可以看出，8組位姿是呈對稱分布的，其中，圖2h正是我們所給出的機構(gòu)的初始位姿，從而驗證了正解求解的正確性，另外，其他圖中所示的動平臺位姿均受到了干涉的影響，實際應用中是不可能達到的。

取上述所得的8組實數(shù)解作為并聯(lián)機構(gòu)位置解的輸入，求解機構(gòu)位置反解，并將求解結(jié)果與正解的輸入進行對比，求解結(jié)果如表4所示。

圖2 8組解對應的動平臺位姿

表4 8組實數(shù)解對應位置反解 mm

5 應用

由上述正解分析可知，在保證水平滑塊位移及豎直連桿桿長均為初始位姿的情況下，機構(gòu)理論上只能有8個位姿，如圖2所示，但由于受干涉的影響，機構(gòu)實際上只能實現(xiàn)一種位姿，即圖2h。

這種正解唯一性的特性可以很好地應用在減振平臺上，即動平臺在受到來自各個方向的振動時，能通過水平滑塊及豎直連桿移動副處的阻尼作用，最終保證動平臺回到初始位置，而不會因為位置正解的多解性偏離初始位置，減振平臺模型如圖3所示。

圖3 多維減振平臺實體模型

為了研究減振效果，在水平滑塊移動副處添加剛度k=4.0N/mm、阻尼c=1.0N·s/mm的阻尼彈簧，在豎直連桿移動副處添加k=4.0N/mm、c=10N·s/mm的阻尼彈簧，并且對動平臺中心施加3個脈沖力 F和脈沖力矩 M，力的幅值為100N，力矩的幅值為100N·mm，脈沖總時間為0.4s，脈沖函數(shù)為:STEP(time，0，0，0.1，100)+STEP(time，0.1，100，0.3，－100)+STEP(time，0.3，－100，0.4，0)，進行 End time=10，steps=100的動力學仿真，可以得到在脈沖激勵下，動平臺的加速度隨時間變化的曲線，如圖4所示，由曲線可以看出在同時受到脈沖力和脈沖力矩時，動平臺的加速度有明顯的衰減，因此該機構(gòu)可以達到很好的減振效果。

圖4 動平臺位移加速度曲線

6 結(jié)論

(1)對3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)進行了位置正解分析，通過建立約束方程，將含6個未知數(shù)6個方程的方程組簡化為含3個未知數(shù)3個方程的方程組，減小了計算量，提高了求解速度。

(2)基于3－PRPS并聯(lián)機構(gòu)自身的結(jié)構(gòu)特點，通過運用向量之間的內(nèi)積與外積，求解了機構(gòu)的位置反解，該方法簡單快速，避免了大量復雜的運算。

(3)利用數(shù)值方法對機構(gòu)的位置正反解進行了驗證，得出了正解的計算結(jié)果與反解的計算結(jié)果相吻合的結(jié)論，驗證了正反解求解的正確性。

(4)研究了該機構(gòu)在車船用并聯(lián)機構(gòu)減振平臺方面的應用，運動學仿真結(jié)果表明該機構(gòu)具有良好的減振性能。對位置解的分析與研究，為該機構(gòu)在車船用并聯(lián)機構(gòu)減振平臺方面的應用奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。

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