超導(dǎo)-介質(zhì)型Fibonacci光子晶體的透射譜與濾波特性分析

劉晚果，潘風(fēng)明

(南京航空航天大學(xué)應(yīng)用物理系，江蘇南京 211100)

1 引 言

在現(xiàn)代光纖通信系統(tǒng)中，波分復(fù)用技術(shù)是實(shí)現(xiàn)信息高速、大容量傳輸?shù)淖罴逊绞健Ｗ鳛椴ǚ謴?fù)用技術(shù)的核心部件，可調(diào)諧光濾波器的設(shè)計(jì)在其應(yīng)用中占有重要地位。目前得以廣泛應(yīng)用的可調(diào)諧光濾波器大多基于Fabry-Perot干涉儀原理，利用光的干涉相長(zhǎng)或相消來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波的效果。現(xiàn)在可調(diào)諧光濾波器大多由干涉腔長(zhǎng)度決定半高寬和調(diào)諧范圍，通過(guò)驅(qū)動(dòng)懸浮的高反射膜運(yùn)動(dòng)進(jìn)行調(diào)諧。雖然其在精度和成本等方面有著較大的相對(duì)優(yōu)勢(shì)，但由于微機(jī)械器件的特點(diǎn)，懸浮膜表面與標(biāo)準(zhǔn)樣板之間的偏差不得超過(guò)1/50～1/20個(gè)波長(zhǎng)，其制備工藝精密而又復(fù)雜，且驅(qū)動(dòng)電壓增大會(huì)限制其運(yùn)動(dòng)范圍。再者，由于其透射峰半高寬與調(diào)諧范圍均與干涉腔長(zhǎng)度成反比，調(diào)諧范圍越大則半高寬也越大，二者不可兼得，這在一定程度上影響了濾波器性能的提高?？紤]到現(xiàn)有可調(diào)諧光濾波器在尺寸調(diào)節(jié)上的諸多不便，對(duì)固定幾何參數(shù)的濾波器設(shè)計(jì)方案的探索具有非常重要的意義。

近年來(lái)，基于光子晶體(Photonic Crystal)的濾波器研究報(bào)道層出不窮。光子晶體的概念最早由 S.John［1］和 E.Yablonovitch［2］于 1987 年分別獨(dú)立提出，是一類(lèi)介電常數(shù)在空間上呈周期分布多層人工電磁介質(zhì)。由于它在光學(xué)和光電子領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景，其性質(zhì)于近十幾年來(lái)得到廣泛的研究［3-5］。與處于晶體周期勢(shì)場(chǎng)中的電子類(lèi)似，在光子晶體中會(huì)形成電磁禁帶，也稱(chēng)光子帶隙，頻率處于禁帶的電磁波不能在光子晶體中傳播。另一方面，對(duì)于準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)的Fibonacci光子晶體，其相關(guān)領(lǐng)域的研究也在迅速開(kāi)展［6-8］。Fibonacci光子晶體的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)基于Fibonacci迭代序列，其結(jié)構(gòu)遞推關(guān)系為 Sj=Sj－1Sj－2，S0=B，S1=A。該結(jié)構(gòu)的透射譜呈現(xiàn)出準(zhǔn)周期性，在光學(xué)定位領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，且結(jié)構(gòu)對(duì)于不同頻率的電磁波具有選擇透過(guò)性，亦可實(shí)現(xiàn)濾波的效果［9］。若光子晶體中存在某種形式的缺陷，則光子帶隙將發(fā)生結(jié)構(gòu)上的變化，在原來(lái)光子帶隙中出現(xiàn)缺陷帶。文獻(xiàn)［10］中提出了一種利用真空耦合層調(diào)節(jié)缺陷，實(shí)現(xiàn)光子晶體可調(diào)諧濾波性質(zhì)的方法，其結(jié)構(gòu)表示為(H1L1)15LC(H2L2)n，其中真空耦合層以及覆蓋層可視為光子晶體的缺陷，通過(guò)調(diào)節(jié)耦合層LC的厚度實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波的透射率控制，得到了1.46～1.61 μm 的調(diào)諧范圍，半高寬在2 nm以下。此結(jié)構(gòu)雖然解決了驅(qū)動(dòng)電壓對(duì)濾波器性能的影響，但其對(duì)缺陷結(jié)構(gòu)的控制也依賴(lài)于耦合層尺寸的變化。

帶有金屬層及超導(dǎo)層結(jié)構(gòu)的光子晶體是最近討論較多的課題［11-16］。文獻(xiàn)［14］中提出了一種介質(zhì)-金屬的一維光子晶體結(jié)構(gòu)，較傳統(tǒng)光子晶體而言可有效減少介質(zhì)對(duì)電磁波的吸收，增大透射率。文獻(xiàn)［15-16］討論了溫度對(duì)超導(dǎo)結(jié)構(gòu)光子晶體能帶的影響。由于超導(dǎo)體的介電常數(shù)受到溫度的影響，光子帶隙會(huì)隨溫度變化，透射率亦會(huì)隨光子帶隙的變化發(fā)生相應(yīng)的改變。考慮到超導(dǎo)體折射率隨溫度的變化相當(dāng)敏感，這使得脫離微機(jī)械技術(shù)的溫控可調(diào)諧光濾波器的設(shè)計(jì)成為可能。本文將光子晶體中的一種介質(zhì)以超導(dǎo)材料取而代之，基于超導(dǎo)理論，利用傳輸矩陣法對(duì)超導(dǎo)-介質(zhì)型Fibonacci光子晶體的透射譜進(jìn)行計(jì)算，并分析各種幾何與物理參數(shù)對(duì)透射峰位置及半高寬的影響。最后，在透射譜分析的基礎(chǔ)上加入覆蓋層，討論結(jié)構(gòu)的濾波特性，提出一種通過(guò)調(diào)節(jié)溫度實(shí)現(xiàn)可調(diào)諧光濾波的理論新模型。

2 理論模型與計(jì)算方法

圖1給出了 Fibonacci光子晶體S5的原理圖。其中介質(zhì)層B的折射率nB=保持不變。根據(jù)超導(dǎo)理論，超導(dǎo)層 A的介電常數(shù) εrA可表示為［12］

圖1 帶有超導(dǎo)層的一維Fibonacci光子晶體的原理圖。其中A代表超導(dǎo)層，B代表介質(zhì)層，F(xiàn)ibonacci等級(jí)j=5，θ為入射角，Ei，Er分別代表沿正向與負(fù)向傳播的兩個(gè)線性獨(dú)立本征模式波。Fig.1 Schematic diagram of 1D Fibonacci photonic crystal with superconductor layer.A represents superconductor layer while B represents medium layer.Fibonacci level j=5.θ is incident angle.Ei，Er represent the two linear independent eigenmodes of waves propagating along the positive and negative directions separately.

其中Tc為超導(dǎo)臨界溫度，λL(0)為T(mén)=0 K時(shí)的London穿透深度e分別為電子的有效質(zhì)量、0 K時(shí)的電子濃度與電子的有效電荷。

任意層n的電矢量均可表示為沿正向與負(fù)向傳播的兩本征模式波的線性疊加:

根據(jù)電磁場(chǎng)的邊界條件可得到下列關(guān)系:

為了降低傳輸矩陣法的計(jì)算代價(jià)，在計(jì)算過(guò)程中盡量保證矩陣的稀疏性是必要的。因此在這里不打算直接運(yùn)用傳統(tǒng)意義上的傳輸矩陣，而作如下正交變換:

作此變換是為了保證透射系數(shù)計(jì)算式在不同本征模式選取下保持不變，并同時(shí)將傳輸矩陣對(duì)角化。在該變換下，式(4)變?yōu)?/p>

TAB與TBA分別反映了電磁波從B到A與從A到B傳播過(guò)程中電矢量的變化。同樣我們可以推導(dǎo)出在A層中的傳輸矩陣如下:

根據(jù)Fibonacci光子晶體的結(jié)構(gòu)遞推式，可給出全空間傳輸矩陣Mj的遞推式

我們導(dǎo)出的全空間傳輸矩陣與文獻(xiàn)［9］中的形式稍有不同。這是因?yàn)?，若Fibonacci等級(jí)j為偶數(shù)，則最后一個(gè)B與A之間的分界面不存在，需要去掉最左端的矩陣TAB(即左乘其逆矩陣TBA)以作修正。

在得到全空間傳輸矩陣Mj后，其透射系數(shù)Tj可依照下式計(jì)算

其中‖Mj‖F(xiàn)代表矩陣的Frobenius范數(shù)，透射率Γj=可以看出式(5)的變換保證了Frobenius范數(shù)的保范性，因而對(duì)任意本征模式的疊加，式(11)均適用。

3 結(jié)果與討論

作為一個(gè)例子，我們?cè)谡肷淝闆r下，將超導(dǎo)層材料選作釔鋇銅氧(YBCO)，對(duì)其透射譜及濾波特性進(jìn)行討論。YBCO的超導(dǎo)臨界溫度Tc=93 K，0 K時(shí)的 London穿透深度 λL(0)=150 nm。其不同參數(shù)下的透射譜分別描繪于圖2～6中。

圖2 帶有超導(dǎo)層的一維Fibonacci光子晶體在不同F(xiàn)ibonacci等級(jí) j下的透射譜。j=7，9，11，13。dA=10 nm，dB=40 nm，nB=3，T=30 K。Fig.2 The transmission spectra of 1D Fibonacci photonic crystalwith superconductor layer at different Fibonacci levels j.j=7，9，11，13.dA=10 nm，dB=40 nm，nB=3，T=30 K.

圖2給出了光子晶體在不同F(xiàn)ibonacci等級(jí)下的透射譜，dA=10 nm，dB=40 nm，nB=3，T=30 K。從圖中可看出Fibonacci光子晶體較為明顯的準(zhǔn)周期性。在同一Fibonacci等級(jí)下，透射峰強(qiáng)度大多相等，而透射峰出現(xiàn)的周期卻時(shí)長(zhǎng)時(shí)短，因而各個(gè)透射峰的半高寬不盡相同，相比之下，第一透射峰半高寬最小。此外，F(xiàn)ibonacci等級(jí)對(duì)于透射峰半高寬有非常大的影響，隨著Fibonacci等級(jí)的增加，透射峰越尖銳，半高寬越窄，其濾波特性也就越好。對(duì)于較高的Fibonacci等級(jí)，可以更加明顯地看出在光子晶體中傳播的電磁波存在一個(gè)截止頻率。而事實(shí)上，超導(dǎo)體本身存在著一個(gè)頻率禁帶。根據(jù)式(1)，當(dāng)超導(dǎo)層的介電常數(shù)為0時(shí)(理想導(dǎo)體)，電磁波不能在其中傳播，超導(dǎo)截止頻率fc可表示為

可以計(jì)算出T=30 K時(shí)YBCO的截止頻率fc=320 THz，小于fc的即是超導(dǎo)的頻率禁帶。但由于光子晶體結(jié)構(gòu)中介質(zhì)的存在，使得實(shí)際截止頻率受光子帶隙的影響，在原超導(dǎo)頻率禁帶處出現(xiàn)通帶，導(dǎo)致實(shí)際截止頻率f'c遠(yuǎn)比f(wàn)c要小。當(dāng)j=11時(shí)，第一透射峰位于 f=69.26 THz≈f'c＜ fc，半高寬，能得到較理想的透射峰。因此以下的討論均針對(duì)S11(144層)。我們將S11在不同介質(zhì)層厚度與介質(zhì)層折射率下的透射譜分別描繪于圖3與圖4中。

圖3 帶有超導(dǎo)層的一維Fibonacci光子晶體在不同介質(zhì)層折射率 nB 下的透射譜。nB=2，3，4，5，dA=10 nm，dB=40 nm，T=30 K，j=11。Fig.3 The transmission spectra of 1D Fibonacci photonic crystal with superconductor layer at different refractive indices of ordinary medium layer nB.nB=2，3，4，5，dA=10 nm，dB=40 nm，T=30 K，j=11.

圖4 帶有超導(dǎo)層的一維Fibonacci光子晶體在不同介質(zhì)層厚度 dB下的透射譜。dB=30，40，50，60 nm，dA=10 nm，nB=2，T=30 K，j=11。Fig.4 The transmission spectra of 1D Fibonacci photonic crystal with superconductor layer at different thicknesses of medium layer dB.dB=30，40，50，60 nm，dA=10 nm，nB=2，T=30 K，j=11.

從圖3與圖4中可以看出，增大介質(zhì)層折射率與介質(zhì)層厚度均能使透射峰向長(zhǎng)波方向移動(dòng)，截止頻率降低。因?yàn)檎凵渎实淖兓c厚度的變化對(duì)光學(xué)厚度的影響是等效的，可以認(rèn)為介質(zhì)層的光學(xué)厚度增加，透射峰向長(zhǎng)波方向移動(dòng)。還可進(jìn)一步看出，當(dāng)介質(zhì)層的厚度或是折射率增大到一定程度的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)第一透射峰透射率減小的現(xiàn)象，這與介質(zhì)對(duì)電磁波的吸收有關(guān)。為了獲得較好的濾波特性，透射峰半高寬與透射率需要同時(shí)兼顧。由于第一透射峰具有最小的半高寬，將其作為通頻帶是合適的，因而必須保證其透射率。

圖5 帶有超導(dǎo)層的一維Fibonacci光子晶體在不同超導(dǎo)層厚度 dA下的透射譜。dA=5，10，15，20 nm。dB=40 nm，nB=2，T=30 K，j=11。Fig.5 The transmission spectra of 1D Fibonacci photonic crystal with superconductor layer at different thicknesses of superconductor layer dA.dA=5，10，15，20 nm.dB=40 nm，nB=2，T=30 K，j=11.

圖5給出了不同超導(dǎo)層厚度下的透射譜曲線，可以看出超導(dǎo)層厚度減小，透射峰向長(zhǎng)波方向移動(dòng)，亦可推知超導(dǎo)層光學(xué)厚度的減小會(huì)導(dǎo)致透射峰向長(zhǎng)波方向移動(dòng)，且超導(dǎo)層厚度對(duì)于透射率的影響程度不及介質(zhì)層厚度。結(jié)合圖4與圖5的結(jié)論，若定義厚度比ρ，則當(dāng)ρ0時(shí)，整個(gè)結(jié)→構(gòu)近似普通電介質(zhì)，截止頻率fc'→0，禁帶消失;當(dāng)ρ→∞時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)近似為超導(dǎo)體，則截止頻率fc'≈fc與(12)式給出的一致。通過(guò)調(diào)節(jié)厚度比可以使截止頻率fc'在0到fc之間任意變化，從而調(diào)整第一透射峰的位置。

從圖3～5還可以看出，較改變介質(zhì)層光學(xué)厚度而言，改變超導(dǎo)層光學(xué)厚度使透射譜變化更為顯著，且介質(zhì)層和超導(dǎo)層厚度的變化也會(huì)影響到第一透射峰的透射率?？梢钥闯觯?dāng)dA=10 nm，dB=40 nm，nB=2時(shí)，第一透射峰的透射率幾乎等于1，明顯優(yōu)于其它參數(shù)。由于溫度可以通過(guò)改變超導(dǎo)層折射率來(lái)改變光學(xué)厚度達(dá)到與改變厚度等效的影響，超導(dǎo)層的折射率也比介質(zhì)層要低，所以較介質(zhì)層折射率而言其對(duì)透射率的影響并不是很大，而且溫度的調(diào)節(jié)比幾何參數(shù)的調(diào)節(jié)容易得多。從透射譜得到的這些結(jié)論都說(shuō)明在濾波器設(shè)計(jì)中將溫度作為調(diào)節(jié)透射峰位置的參數(shù)是合理的，亦即溫控調(diào)諧是可以實(shí)現(xiàn)的。

圖6 帶有超導(dǎo)層的一維Fibonacci光子晶體在不同溫度T 下的透射譜。T=22，44，66，88 K.dA=10 nm，dB=40 nm，nB=2，j=11。Fig.6 The transmission spectra of 1D Fibonacci photonic crystal with superconductor layer at different temperatures T.T=22，44，66，88 K.dA=10 nm，dB=40 nm，nB=2，j=11.

圖6給出了溫度 T=22，44，66，88 K 時(shí)的透射譜曲線?？梢钥闯霎?dāng)T=22 K時(shí)透射率偏小，而T=88 K時(shí)半高寬太大，在后面討論濾波特性時(shí)，這個(gè)問(wèn)題可通過(guò)限制調(diào)節(jié)溫度范圍來(lái)解決。隨著溫度的升高，透射峰向長(zhǎng)波方向移動(dòng)。特別是當(dāng)溫度接近超導(dǎo)臨界溫度時(shí)，透射峰隨溫度的變化非常敏感。這也表明光子帶隙可以通過(guò)溫度進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于透射峰隨溫度變化的靈敏度較高，所以據(jù)此可設(shè)計(jì)新型的溫控調(diào)諧濾波器。

有了對(duì)透射譜的討論作為基礎(chǔ)，我們可以討論加上覆蓋層后光子晶體的濾波特性。覆蓋層的作用是將第一透射峰之外的其余透射峰屏蔽。經(jīng)過(guò)測(cè)試，我們將結(jié)構(gòu)選為S11(S5)n，其中(S5)n為覆蓋層，指數(shù)n代表周期數(shù)，一個(gè)周期的結(jié)構(gòu)為CACCACAC，與圖1的不同是超導(dǎo)層與介質(zhì)層互換。其中 C為不同于 B的另一種介質(zhì)，nC=3.95，覆蓋層 dA=9.5nm，dC=40 nm，該參數(shù)的選擇依據(jù)是保證在光子晶體第一透射峰的頻率處的電磁波于覆蓋層有接近1的透射率，而在其它頻率處則透射率急劇減小。在此覆蓋層參數(shù)下，保持S11參數(shù)不變，不同周期覆蓋層下的濾波特性已描繪于圖7中。

從圖7可以看出，較圖6而言，加入覆蓋層后保留了T=22，44，66 K時(shí)的第一透射峰，3個(gè)溫度在15周期覆蓋層下的透射率分別為0.872 7、0.983 4、0.958 5，在60 周期覆蓋層下的透射率分別為0.840 1、0.959 5、0.934 6，沒(méi)有太大的影響。而其余的透射峰皆有不同程度的衰減，且覆蓋層周期數(shù)越大衰減越厲害，大部分透射峰幾乎完全消失。當(dāng)覆蓋層周期數(shù)n=60時(shí)，第一透射峰以外的相當(dāng)一部分波段透射率幾乎可以忽略不計(jì)。而T=88 K時(shí)的透射峰并不理想，這只需要在調(diào)諧范圍確定的溫度范圍內(nèi)去掉相關(guān)區(qū)域即可。

圖7 不同周期覆蓋層下S11(S5)n的濾波特性。nC=3.95，覆蓋層dA=9.5nm，dC=40 nm，S11部分的參數(shù)與圖6相同。(a)n=15;(b)n=30;(c)n=45;(d)n=60。Fig.7 The filter property of S11(S5)nat different periods of covering layer.nC=3.95，on the covering layer dA=9.5 nm，dC=40 nm，the parameters of S11are the same as Fig.6.(a)n=15.(b)n=30.(c)n=45.(d)n=60.

根據(jù)圖7的結(jié)論，可推知在某個(gè)溫度區(qū)間內(nèi)必然存在一個(gè)連續(xù)的可調(diào)諧波段。為了便于觀察，我們將覆蓋層周期數(shù)n取為60，將透射率與頻率以及相對(duì)溫度(溫度與超導(dǎo)臨界溫度的比值)的關(guān)系描繪于圖8中。

圖8 透射率隨頻率和相對(duì)溫度的變化。覆蓋層周期數(shù)n=60，其余參數(shù)均與圖7相同。Fig.8 Dependence of transmittance on frequency and relative temperature.The periods of covering layer n=60.The other parameters are all same as Fig.7.

從圖8可以定性地看出，每一個(gè)溫度都唯一地對(duì)應(yīng)著某個(gè)頻率的透射峰，隨著溫度的升高，透射峰半高寬先減小，然后幾乎保持不變，再往后略有增大;透射峰強(qiáng)度則是先有較大幅度的波動(dòng)(在此過(guò)程中雖然透射率有時(shí)會(huì)高于0.9，但并不穩(wěn)定)，然后穩(wěn)定在0.9以上，最后減小;透射峰處的頻率隨溫度的變化始終是單調(diào)減少的，這從圖6與圖7中給出的4個(gè)溫度下的半高寬也可以大致看出這個(gè)趨勢(shì)。當(dāng)T＞0.824 8Tc時(shí)，透射率降至0.9 以下;當(dāng) T=0.824 8Tc=76.706 4 K 時(shí)，透射峰位于 75.94 THz 處，半高寬 0.162 THz，可作為可調(diào)諧頻率的下限。當(dāng)T＜0.382 0Tc時(shí)，透射率不能穩(wěn)定在0.9以上;當(dāng) T=0.382 0Tc=35.526 0 K時(shí)，透射峰位于 99.10 THz處，半高寬0.121 THz，可作為可調(diào)諧頻率的上限。綜上所述，若以透射率大于0.9為濾波器的技術(shù)指標(biāo)，則當(dāng)溫度T在35.526 0～76.706 4 K 變化時(shí)，能得到99.10～75.94 THz的可調(diào)諧范圍，其對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)范圍為3.027 ～3.950 μm，較文獻(xiàn)［10］中給出的可調(diào)諧范圍要大，且在此波段內(nèi)透射峰半高寬不會(huì)大于調(diào)諧范圍邊界處的半高寬(0.162 THz)，始終被穩(wěn)定控制在理想的范圍內(nèi)，兼顧了較窄的透射峰與較大的調(diào)諧范圍。

由于采用了超導(dǎo)層結(jié)構(gòu)，較之以傳統(tǒng)的濾波器，該模型無(wú)需改變光學(xué)層的尺寸結(jié)構(gòu)，而僅通過(guò)調(diào)節(jié)溫度即可實(shí)現(xiàn)波段的調(diào)諧，與F-P結(jié)構(gòu)的濾波器相比，省卻了在平板上鍍高反射膜的復(fù)雜工藝。而且，溫控調(diào)諧的優(yōu)點(diǎn)在于分離了半高寬與調(diào)諧范圍的決定因素，即無(wú)需以犧牲調(diào)諧范圍作為代價(jià)來(lái)使透射峰具有較小的半高寬。在參數(shù)選擇合理的情況下，透射峰的半高寬將完全交予Fibonacci等級(jí)來(lái)決定，只要 Fibonacci等級(jí)足夠高，就能得到理想的透射峰。調(diào)諧范圍則可根據(jù)前文對(duì)透射譜的分析，通過(guò)選擇合適的介質(zhì)層或超導(dǎo)層材料、改變厚度比等參數(shù)來(lái)確定，與此同時(shí)，覆蓋層的參數(shù)也會(huì)作相應(yīng)變化。

4 結(jié) 論

基于應(yīng)用于一般光子晶體計(jì)算的傳輸矩陣方法，根據(jù)超導(dǎo)理論，導(dǎo)出了一類(lèi)新型結(jié)構(gòu)—超導(dǎo)-介質(zhì)型Fibonacci光子晶體的傳輸矩陣及透射系數(shù)的計(jì)算式。以超導(dǎo)層選作YBCO為例，計(jì)算得出了光子晶體的透射譜，并討論了Fibonacci光子晶體結(jié)構(gòu)對(duì)超導(dǎo)頻率禁帶的影響，以及介質(zhì)層厚度、介質(zhì)層折射率、超導(dǎo)層厚度、溫度等參數(shù)對(duì)透射峰位置、透射率及半高寬的影響。在透射譜分析的基礎(chǔ)上，給出了結(jié)構(gòu)為可溫控調(diào)諧的超導(dǎo)-介質(zhì)型Fibonacci光子晶體濾波器的理論模型，分析了其濾波特性。這種結(jié)構(gòu)的濾波器脫離了微機(jī)械技術(shù)，無(wú)需改變幾何參數(shù)，僅需調(diào)節(jié)溫度即可實(shí)現(xiàn)調(diào)諧，簡(jiǎn)化了制造工藝，且同時(shí)獲得了較大的調(diào)諧范圍與較小的半高寬，對(duì)新型可調(diào)諧光濾波器的設(shè)計(jì)有一定的借鑒意義。若將透射曲線改為反射曲線，本文的結(jié)果還可用于高反射鏡的理論模型分析。

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