基于赫茲理論的計(jì)算機(jī)直接制版設(shè)備輥筒模態(tài)分析*

胡志煒，孫海達(dá)，汪佳敏

(柯達(dá)電子(上海)有限公司，上海 201206)

1 引 言

計(jì)算機(jī)直接制版設(shè)備[1]CTP(Computer To Plate)的主要運(yùn)動(dòng)是輥筒和絲杠的旋轉(zhuǎn)。在制版過程中，由于刻版的需求，輥筒旋轉(zhuǎn)的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過絲杠旋轉(zhuǎn)的速度。CTP曝光的時(shí)間由輥筒的轉(zhuǎn)速?zèng)Q定。提高輥筒的轉(zhuǎn)速意味著出版速度的提高，效益的提升。CTP作為印前設(shè)備，輥筒上輕微的振動(dòng)都會(huì)影響設(shè)備的動(dòng)態(tài)性能導(dǎo)致后續(xù)印刷時(shí)出現(xiàn)網(wǎng)點(diǎn)擴(kuò)大、重影、線條抖動(dòng)、墨色不均等質(zhì)量問題。盡管在輥筒設(shè)計(jì)、制造與安裝上進(jìn)行了眾多的考慮，還有很多理論的問題需要解決，很有必要分析其動(dòng)態(tài)性能。推導(dǎo)赫茲接觸非線性理論并利用Ansysworkbench來對(duì)輥筒進(jìn)行模態(tài)分析，研究其振動(dòng)特性，為后續(xù)提高輥筒的旋轉(zhuǎn)速度提供理論依據(jù)。

2 赫茲接觸理論[2]

CTP設(shè)備的輥筒兩端采用的是瑞典SKF的深溝球軸承6208ZZ，滾動(dòng)體和內(nèi)外圈在不受力的情況下，其接觸為點(diǎn)接觸。在受到外力的作用下，點(diǎn)接觸發(fā)生變化過渡至面接觸，處于小變形狀態(tài)，同時(shí)滾動(dòng)體和內(nèi)外圈之間比較光滑，摩擦力遠(yuǎn)小于受到的外力，可忽略不計(jì)，又因?yàn)榻佑|區(qū)域長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于滾動(dòng)體和內(nèi)外圈的半徑，所以深溝球軸承中的滾動(dòng)體和內(nèi)外圈符合赫茲點(diǎn)接觸理論。

滾動(dòng)體和內(nèi)外圈的接觸的幾何條件如圖1所示，兩彈性體相交于空間坐標(biāo)系O點(diǎn)，并以過點(diǎn)O與滾動(dòng)體和內(nèi)外圈的公切平面為x1y1平面，指向滾動(dòng)體和內(nèi)外圈內(nèi)部的坐標(biāo)軸為z1z12。圖中P1、P2為接觸區(qū)域點(diǎn)x1、x2處的作用力。

圖1 滾動(dòng)體和內(nèi)圈接觸

根據(jù)余弦定理可以認(rèn)為接觸區(qū)域點(diǎn)O附近沿Z軸的位移為:

(1)

設(shè)點(diǎn)O附近對(duì)應(yīng)x1和y1的滾動(dòng)體和內(nèi)外圈表面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1和P2，由式(1)可知，其對(duì)應(yīng)x1和y1載荷作用前沿Z軸方向的距離為：

(2)

利用坐標(biāo)變換，將x1y1乘積項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)?，得到：

z1+z2=A0x2+B0y2

(3)

載荷作用后，點(diǎn)P1和P2沿著Z軸方向的位移為ω1和ω2，由圖1可知：

ω1+ω2=δ-(z1+z2)

=δ-A0x2-B0y2

(4)

式中：δ是兩接觸體的彈性趨近量[3-4]。

根據(jù)法向集中力P作用在彈性半空間表面(x′,y′)點(diǎn)，另外一點(diǎn)(x,y)將有法向位移的Boussinesq解：

(5)

式中：E、V是滾動(dòng)體和內(nèi)外圈的彈性模量和泊松比。

若p為半空間表面局部區(qū)域S上的分布?jí)毫(x′,y′)時(shí)，接觸區(qū)域任意(x,y)點(diǎn)的法向位移由Boussinesq解均可表示為:

(6)

若接觸區(qū)域S為橢圓，則有:

(7)

壓力p按照半橢球函數(shù)進(jìn)行分布，如圖2所示，可得出：

(8)

式中:a,b分別為橢圓區(qū)域S的半長(zhǎng)軸與半短軸；P0是橢圓中心處的壓應(yīng)力。

由式(6)可得分布?jí)毫(x′,y′)在(x,y)處產(chǎn)生的沿Z軸的法向位移：

(9)

為了積分方便將dx′y′ 表示為r′dr′dθ′，弦長(zhǎng)C′D′長(zhǎng)度以2l′來表示，如圖3所示。

圖2 接觸應(yīng)力分布 圖3 橢圓區(qū)域S的xy平面

將式(9)寫為：

(10)

圖4 圓形區(qū)域Sc的mn平面 圖5 坐標(biāo)變換前后比對(duì)圖

由圖5可得：

l′cosθ′=lcosθ

(11)

(12)

由式(11)和式(12)可知:

(13)

(14)

(15)

弦長(zhǎng)經(jīng)坐標(biāo)變化后為:

(16)

為了求出坐標(biāo)變換前后的關(guān)系，需對(duì)式(15)兩邊求導(dǎo)

(17)

因此可得出:

(18)

將式(16)和式(17)代入式(10)，可得:

(19)

根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系如圖6所示，可知：

l2=a2-(msinθ+ncosθ)2

(20)

經(jīng)坐標(biāo)變換后，p為半球面函數(shù)可寫為：

(21)

圖6 坐標(biāo)變換關(guān)系圖

于是可得式(19)中的第二項(xiàng)積分為:

(22)

(23)

將式(23)代入式(19)可得:

(24)

將式(14)和式(20)代入式(24)得到:

(25)

令K(e)為第一類橢圓積分[6]:

(26)

L(e)為第二類橢圓積分：

(27)

e為橢圓偏心率：

(28)

對(duì)第一類和第二類橢圓積分進(jìn)行組合，并令:

(29)

B(e)=K(e)-D(e)

(30)

根據(jù)式(26)～式(30)，可將式(25)改寫為:

(31)

對(duì)變換坐標(biāo)后的力平衡方程進(jìn)行積分可得：

(32)

(33)

3 輥筒有限元模態(tài)分析[7]

3.1 建模與處理

利用Solidworks2012軟件建立輥筒和深溝球軸承的框架結(jié)構(gòu)圖，然后將模型文件導(dǎo)入Ansysworkbench中劃分網(wǎng)格并定義約束和載荷并指定輥筒和軸承的材料，最后生成有限元?jiǎng)恿δＰ?。如圖7所示。

圖7 輥筒和軸承組裝動(dòng)力學(xué)模型

模型在從SolidWorks轉(zhuǎn)換到Ansysworkbench中為了保證尺寸一致，需要設(shè)定單位。定義mm為長(zhǎng)度單位，kg為質(zhì)量單位，N為力單位，s為時(shí)間單位。本工程采用的輥筒長(zhǎng)為1 708 mm，直徑為459.2 mm，軸承的寬度為18 mm，直徑為80 mm。單位設(shè)置完成后，需要設(shè)定軸承和輥筒之間的接觸設(shè)置，輥筒的內(nèi)圈和軸承的外圈設(shè)為bond方式，軸承滾動(dòng)體和內(nèi)彎圈設(shè)為光滑無摩擦方式。根據(jù)Ansys中規(guī)定的面-面接觸選定目標(biāo)面和接觸面原則，選定滾動(dòng)體表面作為接觸面，軸承內(nèi)外圈表面為目標(biāo)面。

3.2 材料參數(shù)

輥筒的材料采用鋁合金6061 T6的材料，其彈性模量為軟件默認(rèn)的7.1×104MPa，密度為2.77×103kg/m3，泊松比為0.33。軸承的材料采用高碳鉻軸承鋼，彈性模量采用2.0×105MPa，密度采用7.85×103kg/m3，泊松比采用0.3。

3.3 載荷與邊界條件的設(shè)置

采用Ansysworkbench軟件設(shè)置軸承內(nèi)圈的6個(gè)自由度位移為0，軸承中的滾動(dòng)體軸向位移為0、徑向位移為自由，x軸方向旋轉(zhuǎn)自由、Y和Z軸方向的旋轉(zhuǎn)自由度為0，指定全局坐標(biāo)系，并劃分網(wǎng)格。共劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)179 960個(gè)，單元數(shù)量98 598個(gè)。載荷、邊界條件和網(wǎng)格劃分如圖8、9所示。

圖8 滾珠和內(nèi)圈的接觸方式設(shè)置 圖9 輥筒和軸承組件的網(wǎng)格劃分

4 運(yùn)行與分析

通過Ansysworkbench軟件分析自動(dòng)列出矩陣方程，并計(jì)算出輥筒和軸承的位移變化和固有頻率，并可以通過縮放比例來進(jìn)行查看變形的位置。圖10顯示的是輥筒前6階輥筒和軸承的位移分布云圖和臨界轉(zhuǎn)速[8-9]的相關(guān)振型。

圖10 輥筒和軸承組件前六階模態(tài)振型

由于輥筒沒有限制繞x軸旋轉(zhuǎn)的自由度，所以第一階的固有頻率是剛體運(yùn)動(dòng)的固有頻率，從第二階的固有頻率才開始轉(zhuǎn)化為撓性體運(yùn)動(dòng)的固有頻率。采用Ansysworkbench在輥筒恒定轉(zhuǎn)速為300 r/min時(shí)靜力分析結(jié)果，輥筒和軸承最大變形量只達(dá)到0.005 mm。將其與模態(tài)分析中的輥筒在共振時(shí)的位移量相比，共振產(chǎn)生的位移量明顯增大。如表1所列。

表1 輥筒前六階固有頻率和最大變形量

第一階固有頻率5.3858 Hz轉(zhuǎn)化為的轉(zhuǎn)速則是5.3858×60=361 r/min，輥筒在323.15 r/min將發(fā)生共振，實(shí)際最大工作轉(zhuǎn)速為270 r/min小于第一階共振頻率滿足需求。若需提高工作轉(zhuǎn)速增加打版的速度，則輥筒運(yùn)行接近極限轉(zhuǎn)速時(shí)，需加速運(yùn)行以最短時(shí)間超出，輥筒仍可以正常工作，且不影響出版質(zhì)量。

5 結(jié) 論

通過Solidworks和AnsysWorkbench的聯(lián)合仿真，極大化的保證了輥筒的模型與實(shí)際模型一致性，避免了結(jié)構(gòu)過度簡(jiǎn)化導(dǎo)致的仿真結(jié)果不準(zhǔn)確。

從模態(tài)分析結(jié)果可以為設(shè)計(jì)輥筒的轉(zhuǎn)速提供了理論和參考依據(jù)。利于設(shè)計(jì)人員更為直觀的熟悉輥筒各階固有特性，為輥筒優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)，同時(shí)也為軸承的選型和分析提供了理論和參考。

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