隨機塊體統(tǒng)計分析及其工程支護意義

沈育民，張奇華

(長江科學院 a.長江科創(chuàng)科技發(fā)展有限公司;b.水利部巖土力學與工程重點實驗室，武漢 430010)

1 研究背景

工程巖體最明顯的特征就是因結構面的存在而表現(xiàn)出來的非均質性和各向異性。結構面如節(jié)理、斷層、巖層層面、剪切帶、軟弱夾層等，其物理力學性質往往控制著巖體的強度和穩(wěn)定性，從而決定了巖體的復雜性及其與較完整巖塊之間的最大差別。很大程度上，工程巖體的研究往往圍繞結構面而展開，或至少應該考慮到結構面的存在所造成的顯著影響。

結構面發(fā)育特征存在很大的差異。工程巖體質量分級［1］中將巖體結構面分為5級。以水利水電工程為例，Ⅰ級結構面(較大斷層)規(guī)模大，其對工程的影響是宏觀性的，如影響建筑物的總體布置;Ⅱ級結構面相對于建筑物而言也較大。對于硐室和人工邊坡影響最大的可能就是Ⅲ—Ⅳ級結構面。結構面切割形成的塊體，控制著局部穩(wěn)定性，并進而可能對較大范圍的巖體甚至是整體穩(wěn)定性造成影響，這一點在硬巖或較低地應力的巖體環(huán)境中尤其如此。

Ⅱ，Ⅲ級結構面一般規(guī)模較大，能夠確定其空間位置及產狀，在塊體分析中作為定位結構面考慮，切割形成的塊體為定位塊體或半定位塊體;對于巖體中廣泛存在的節(jié)理裂隙等Ⅳ—Ⅴ級結構面，其產狀、長度、空間位置等往往具有隨機發(fā)育的特點而難以對每條結構面幾何性狀進行準確描述，切割形成的塊體的形態(tài)、大小及空間分布具有隨機發(fā)育的特點。

塊體理論(Block Theory)［2］假定巖體結構面為平面、結構體(塊體)為剛體，不考慮塊體本身的強度破壞，塊體運動模式為平動形式，利用幾何拓撲方法分析巖體經結構面切割后可能形成的塊體類型及失穩(wěn)模式，進而判斷關鍵塊體，分析塊體所需的支護力。然而，傳統(tǒng)的塊體理論中，要求結構面幾何及力學性質是確定的，以便對塊體的類型、形態(tài)特征及穩(wěn)定性進行分析，因此需要將隨機問題簡化為確定性問題進行處理。

為了研究隨機結構面切割形成的塊體問題，發(fā)展有隨機塊體分析方法［3－10］。隨機塊體分析主要包括2方面內容:

(1)隨機塊體幾何分析。在隨機結構面網絡模擬基礎上，采用塊體理論和幾何學分析方法，搜索出結構面網絡中的三維隨機塊體，計算隨機塊體的幾何特征參數(shù)。

(2)隨機塊體統(tǒng)計分析［10］。對隨機塊體大小、形態(tài)特征、覆蓋率(在臨空面上可移動的隨機塊體所占的面積與臨空面面積之比)等進行統(tǒng)計分析，指導隨機塊體的工程支護。

目前的研究基本上都集中在隨機塊體分析的第一方面，即對隨機塊體進行幾何搜索［3－9］。其中文獻［9－10］對于隨機結構面，考慮其產狀、延伸長度、間距均為隨機分布，通過隨機模擬生成三維結構面網絡，進而搜索出了三維隨機塊體，由于在隨機結構面網絡模擬及塊體搜索過程中均未進行簡化，搜索得到的塊體在統(tǒng)計意義上具有“真實性”。

隨機塊體的大小(體積、臨空面上的面積、埋深)、覆蓋率等，可以用于表征塊體的發(fā)育程度及其對工程穩(wěn)定的危害性。研究隨機塊體的大小、覆蓋率等的統(tǒng)計分布特征，及其受結構面跡長、間距等的影響，有利于對隨機塊體的分布規(guī)律進行深入認識和研究。

關于隨機塊體分布規(guī)律的研究非常少見。文獻［4］在二維上根據(jù)結構面分布函數(shù)討論了形成塊體的可能性;文獻［11］通過概率分析方法討論了隨機節(jié)理面形成交點的可能性;Goodman在其關于塊體理論的講座［12］中指出了隨機塊體分析的工程意義，但未提及隨機塊體統(tǒng)計分析，以及統(tǒng)計分析對于塊體支護分析的重要意義。文獻［13］較詳細討論了結構面幾何參數(shù)的統(tǒng)計分布規(guī)律。

隨機塊體幾何分析，可以在三維結構面網絡模擬的基礎上得到統(tǒng)計意義上的真實三維隨機塊體。在此基礎上，通過隨機塊體統(tǒng)計分析，可以對隨機塊體幾何特征及發(fā)育程度進行定量分析評價，為隨機塊體穩(wěn)定及系統(tǒng)支護提供更合理的分析工具。本文在隨機塊體幾何搜索的基礎上，對隨機塊體大小及平均大小等幾何特征參數(shù)的統(tǒng)計分布規(guī)律進行研究，并對隨機塊體統(tǒng)計分析結果在支護分析中的意義進行探討。

2 隨機塊體大小的分布特征

隨機塊體幾何分析及統(tǒng)計分析需要在結構面網絡模擬基礎上進行。根據(jù)成組節(jié)理的一般分布規(guī)律，假定節(jié)理位置在空間上服從均勻分布;由于同組結構面的產狀變化對隨機塊體的統(tǒng)計分布規(guī)律沒有什么影響，因此取為均值且不變;跡長、間距服從負指數(shù)分布，在模擬中取不同的均值，從而對比分析其對統(tǒng)計分布規(guī)律的影響?；灸M參數(shù)見表1。臨空面產狀為208°∠90°。

表1 巖體節(jié)理網絡模擬參數(shù)Table 1 Parameters of rock block network simulation

由于節(jié)理位置在空間上滿足均勻分布，因此搜索出來的隨機塊體在空間上也滿足均勻分布。

對塊體的體積、臨空面上的面積、埋深進行隨機分布規(guī)律研究。在考慮3組結構面加臨空面切割形成的四面體問題中，由于這三者之間存在幾何運算關系，因此分布規(guī)律相同。這樣，只需對臨空面上的面積進行研究。以后敘述中，若非特別說明，塊體的面積一般指塊體位于臨空面上的面積。

節(jié)理錐011在臨空面切割下可形成可移動塊體(通過塊體理論中的全空間赤平投影很容易得出這個結論)。當結構面跡長取6.5 m，間距取2.0 m時，一次隨機模擬得到結構面網絡及在此基礎上搜索獲得的三維隨機塊體如圖1(a)所示，相應的塊體面積分布如圖2(a)所示。不同模擬時，得到的結構面網絡不同，進行另一次模擬時得到結構面網絡及三維隨機塊體如圖1(b)所示，相應的塊體面積分布如圖2(b)所示。當結構面跡長取6.5 m，間距取4.0 m時，一次模擬得到結構面網絡及三維隨機塊體如圖1(c)所示，相應的塊體面積分布如圖2(c)所示。

圖1 結構面網絡在臨空面上的跡線及搜索得到隨機塊體Fig.1 The trace lines of discontinuity network on free face and the searched stochastic block

圖2結果表明，塊體面積的分布形式為負指數(shù)分布，即面積越小的塊體數(shù)量越多。因此可以采用負指數(shù)分布刻畫塊體面積(包括塊體的各種尺寸，如塊體體積、埋深等)的統(tǒng)計分布特征。這種規(guī)律其實可以從圖2中直觀地看出來。事實上，結構面切割形成塊體時，若塊體的體積越小，則結構面在開挖面上越容易形成封閉區(qū)域，在巖體內部的延伸也越容易將塊體切穿，因此形成塊體的幾率明顯越大。大塊體區(qū)域中包含較多小塊體的現(xiàn)象，就是很好的證明。

圖2 開挖面上塊體面積的統(tǒng)計分布Fig.2 Statistical distribution of block area on the excavation plane

3 隨機塊體平均大小的分布規(guī)律

不同模擬樣本得到的塊體分布不同。同時，塊體大小的分布特征也不同，相應的塊體平均大小也有不同，如圖1(a)至圖1(c)所示。因此，我們可以通過成百上千次模擬，研究塊體平均大小的分布規(guī)律，以更深刻地獲得塊體大小分布特征的總體規(guī)律。

塊體大小滿足負指數(shù)分布，其均值(即塊體的平均大小)是密度分布函數(shù)的唯一參數(shù)，掌握均值的分布規(guī)律，有利于深入了解塊體大小的分布規(guī)律。

在臨空面產狀與結構面產狀分布特征確定的情況下，影響塊體大小的因素主要有2方面:結構面間距和跡長。

3.1 間距影響

跡長相同而間距不同時，多次模擬得到的塊體平均面積的統(tǒng)計直方圖如圖3。各算例中，結構面跡長取6.5 m不變，間距在2.0 ～5.0 m變化，模擬次數(shù)均為50次。

從圖3可以看出，塊體的平均面積分布特征可用Γ分布擬合。當然，根據(jù)統(tǒng)計直方圖形特點假設其滿足某種統(tǒng)計分布，需要進行檢驗，如采用χ2檢驗，在此從略。

圖3 不同間距時塊體平均面積的分布Fig.3 Distribution of average area of block in the presence of different spacing between discontinuities

Γ分布的密度函數(shù)為

其中α，β為函數(shù)參數(shù)。

均值、方差分別為:

Γ分布的密度函數(shù)如圖4所示。當橫坐標x＜0時，函數(shù)值為0，并且當α較小(＜2)時，密度函數(shù)為單調減，隨著x增大而急劇減小，類似負指數(shù)函數(shù);當α較大時，密度函數(shù)呈非對稱向左傾斜，函數(shù)曲線先升后降，并且，α越大時曲線峰值越小，峰值位置右移，增大和衰減速度越慢。

圖3各算例中，樣本均值和樣本標準差，以及分布的參數(shù)α，β見表2。從表2可以看出，當節(jié)理間距從2.0～5.0 m取不同值時，Γ分布的參數(shù)α明顯減小，而β增大，規(guī)律性明顯。

圖4 Γ分布函數(shù)特征曲線Fig.4 Characteristic curves of Γ distribution

節(jié)理間距變大時，塊體的數(shù)量明顯減少。從表2可知，節(jié)理間距變大時，塊體平均面積的均值有所減小，標準差增大(即每次模擬得到的塊體平均面積越離散)。

表2 不同間距時塊體平均面積統(tǒng)計參數(shù)估計Table 2 Estimation of statistical parameters of block’s average area in the presence of different spacing between discontinuities

3.2 跡長影響

間距相同而跡長不同時，塊體平均面積的統(tǒng)計直方圖如圖5所示。各算例的間距均為3.0 m，跡長為3.0～8.0 m，模擬次數(shù)為50次。相應地，圖中各算例的均值、標準差的估計見表3。

圖5 不同跡長時塊體平均面積的分布Fig.5 Distribution of block’s average area in the presence of different trace length

表3 不同跡長時塊體平均面積統(tǒng)計參數(shù)估計Table 3 Estimation of statistical parameters of block’s average area in the presence of different trace length

圖5也表明，塊體的平均面積統(tǒng)計分布可用Γ分布擬合。從表3可知，節(jié)理跡長從3.0～8.0 m取不同值時，塊體平均面積的均值變大，從1.75 m2增大到8.13 m2，標準差也越大。并且結構面跡長變大時，塊體的數(shù)量明顯增多。

節(jié)理跡長變大時，Γ分布的參數(shù)α明顯增大，而β有所減小，規(guī)律性明顯。從函數(shù)參數(shù)變化說明，節(jié)理跡長變大與節(jié)理間距變小對塊體的分布規(guī)律的影響相似。

4 基于統(tǒng)計分析的塊體支護分析

百色水利樞紐位于郁江上游右江河段，是一座以防洪為主，兼有發(fā)電、灌溉、航運等綜合效益的大型水利樞紐。地下廠房布置于左壩肩弱～微風化輝綠巖巖體內。廠房洞呈城門洞形，最大跨度20.7 m，最大高度49 m。巖體發(fā)育的結構面如表4所示。

表4 百色水利樞紐地下廠房結構面發(fā)育情況Table 4 Development of discontinuities of the underground powerhouse of Baise hydrojunction

結構面網絡的Monte-Carlo法模擬中，結構面產狀滿足正態(tài)分布，跡長和間距滿足負指數(shù)分布。

根據(jù)塊體理論中的全空間赤平投影，節(jié)理錐011在廠房下游邊墻可以形成可動塊體，滑動模式為單面滑動。某次裂隙網絡模擬及搜索得到的塊體如圖6所示，得到塊體覆蓋率為15.8%。由于塊體數(shù)量較多，覆蓋率較大，因此采用噴錨進行系統(tǒng)支護是必須的。但是由于塊體的出現(xiàn)、大小分布等是隨機分布的，因此需要進行隨機塊體搜索及統(tǒng)計分布規(guī)律研究，并在此基礎上進行塊體支護問題分析。

圖6 地下廠房搜索得到的隨機塊體Fig.6 The searched stochastic blocks of the underground powerhouse

隨機塊體的體積、面積及埋深的統(tǒng)計分布規(guī)律對于塊體系統(tǒng)支護的設計至關重要。這些是傳統(tǒng)塊體理論無法實現(xiàn)的。

塊體尺寸直接影響錨固力、錨桿間距及長度。由于小塊體總是多于大塊體，并且小塊體能夠通過一般的錨桿噴射混凝土進行支護，因此需要在設計中重點關注的是大塊體。根據(jù)以上結果，塊體越大，其出現(xiàn)的可能性越小，然而，塊體越大越危險，且支護代價越大。當塊體的出現(xiàn)是隨機形式的，就應該以可靠度而不是確定性的思想去研究塊體支護設計問題。

只研究下游邊墻形成的塊體支護問題。通過400次模擬，得到塊體平均面積與覆蓋率的分布如圖7、圖8所示。塊體平均大小、平均埋深及平均體積的均值與方差列于表5中。

圖7 位于上游邊墻的隨機塊體平均大小的分布Fig.7 Distribution of the average size of stochastic block of the upstream sidewall

圖8 位于上游邊墻的隨機塊體覆蓋率分布Fig.8 Distribution of the coverage ratio of stochastic block of the upstream sidewall

表5 有關塊體尺寸的統(tǒng)計參數(shù)分布Table 5 Statistical parameter distribution of block size

根據(jù)以上研究結果，塊體尺寸(包括塊體位于開挖面上的面積、塊體埋深及塊體體積)滿足負指數(shù)分布規(guī)律。如表5所示，平均埋深為1.07 m時，塊體埋深的密度函數(shù)可以表達為

塊體體積的密度函數(shù)可以表達為

式(3)可以用作確定錨桿的長度，錨桿長度需超過塊體埋深一定長度(如1 m)才是有效的錨固參數(shù)。通過該式可以計算得到塊體埋深分別大于3，4，5，6 m 時的概率分別為6.05%，2.38%，0.93%和0.37%。如果在設計中接受2.38%或0.93%塊體埋深超過4 m或5 m，并且考慮錨桿長度超過塊體埋深1 m，這樣巖體錨桿長度就應該是5～6 m。

式(4)表示的塊體體積分布特征與錨固支護力計算，塊體面積分布特征與錨桿間距確定有關。具體討論在此從略。

5 結論

隨機塊體幾何分析，可以在三維結構面網絡模擬的基礎上得到統(tǒng)計意義上真實的三維隨機塊體;在此基礎上，通過隨機塊體統(tǒng)計分析，可以對隨機塊體幾何特征及發(fā)育程度進行定量分析評價，為隨機塊體穩(wěn)定及系統(tǒng)支護提供了更合理的分析工具。本文在隨機塊體搜索結果基礎上，討論了隨機塊體統(tǒng)計分析問題。得到以下認識和結論:

(1)為了深入認識隨機塊體發(fā)育特征，定量估計塊體危害性，本文對隨機塊體大小及平均大小等的統(tǒng)計分布規(guī)律進行了研究。結果表明塊體大小滿足負指數(shù)分布規(guī)律，塊體平均大小及覆蓋率滿足Γ分布。

(2)以百色地下廠房為例，討論了根據(jù)塊體統(tǒng)計分布規(guī)律進行支護設計的思路和方法。根據(jù)塊體埋深的分布規(guī)律，通過可靠度思想，可以確定錨桿長度;根據(jù)塊體平均體積分布及塊體面積分布特征，可以對塊體錨固支護力進行設計。

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