傾斜各向異性地層隨鉆電磁波測井響應模擬

范宜仁，胡云云，李虎，孫慶濤

（1.中國石油大學地球科學與技術學院，青島 山東266555；2.中國石油大學CNPC測井重點實驗室，青島 山東266555）

0 引 言

斯倫貝謝、哈里伯頓以及貝克休斯等公司相繼推出的隨鉆電磁波測井儀器［1－2］能較好地實現(xiàn)實時隨鉆地質(zhì)導向與儲層測井評價功能。隨鉆電磁波測井響應理論大多仍基于各向同性地層模型，實際隨鉆測井過程中各向異性是影響儀器測井響應的一個重要因素［3］，尤其是在裂縫發(fā)育或者薄互層發(fā)育的層段，地層所呈現(xiàn)出的宏觀各向異性會使隨鉆電磁波測井響應嚴重失真，不能有效反映地層信息［4］，給測井儲層評價帶來了很大的困難。沈金松［5］、王昌學和周燦燦等［6］采用有限差分方法模擬各向異性地層隨鉆電磁波測井響應，但三維數(shù)值模擬計算速度過慢，不適應現(xiàn)場應用。因此，有必要開展基于解析方法的各向異性地層隨鉆電磁波測井響應快速模擬的研究，為各向異性地層隨鉆電磁波響應特征研究以及基于隨鉆電磁波測井的實時地質(zhì)導向提供支持。本文針對傾斜各向異性地層，進行了基于解析方法的隨鉆電磁波測井響應數(shù)值模擬，并針對地層各向異性系數(shù)、儀器發(fā)射頻率、井斜角等對隨鉆電磁波測井響應的影響進行了理論分析。

1 原 理

圖1為各向異性地層模型。其中，T為發(fā)射線圈，R1、R2分別為近接收線圈和遠接收線圈；ε1、ε2、ε3為各層的介電常數(shù)；μ為磁導率；σ1h、σ2h、σ3h、σ1v、σ2v、σ3v分別為各層的水平電導率和垂直電導率；儀器軸與z軸夾角為α；接收線圈與發(fā)射線圈法向均沿儀器軸方向。

電導率張量的Maxwell方程［7］可以表示為

圖1 各向異性地層模型

其中，σ′為復電導率張量

定義赫茲矢量位函數(shù)

其洛倫茲條件為Δ

對于層狀介質(zhì)中任意方向的磁偶極子源，可以分解為垂直磁偶極子源（VMD）和水平磁偶極子源（HMD）等2個部分［8］，通過赫茲矢量位滿足的波動方程分別描述VMD和HMD產(chǎn)生的場，進而基于模型將矢量方程轉(zhuǎn)化為標量方程，再由邊界條件確定各層電磁場的解析解。根據(jù)法拉第電磁感應定律，接收線圈處的電動勢VR為

式中，ω為發(fā)射線圈頻率；s為接收線圈面積；Hx為接收線圈處總的水平磁場強度；Hz為接收線圈處總的垂直磁場強度。

隨鉆電磁波測井儀器線圈系的設計均以單發(fā)雙收的三線圈系為基礎結(jié)構(gòu)，通過測量2個接收線圈電動勢間的相位差和幅度比轉(zhuǎn)化為相位差電阻率與幅度比電阻率

式中，VR1、VR2分別為近接收線圈與遠接收線圈的電動勢；arg表示取相位角；Pd為2個接收線圈電位的相位差；Ar為2個接收線圈電位的幅度比。其中，垂直磁偶極子源位函數(shù)為

其產(chǎn)生的磁場為

根據(jù)邊界條件，式（12）、式（13）即可確定各層系數(shù)Fi、Gi，進而確定垂直偶極源子產(chǎn)生的磁場分布。

水平磁偶極子源可以分解為TE波與TM波，其中TE波位函數(shù)

TM波位函數(shù)

產(chǎn)生的磁場為

根據(jù)邊界條件，式（18）至式（21）即可確定各層系數(shù)Pi、Qi、Ti、Si，進而求取水平偶極子源產(chǎn)生的磁場強度。

2 含Bessel函數(shù)廣義積分的求解

2.1 被積函數(shù)的收斂性

垂直偶極子源與水平偶極子源磁場［式（10）、式（11）、式（16）、式（17）］的計算均涉及到 Bessel函數(shù)的無窮積分；由式（6），接收線圈總的磁場強度為H＝cosαHx＋sinαHz。圖2給出了井斜角為0°、45°、75°、80°和85°時H中被積函數(shù)實部、虛部與積分變量λ的關系；在低角度時被積函數(shù)的震蕩性較弱，但隨著角度增加，被積函數(shù)的震蕩性明顯增強，夾角小于80°時，積分變量λ達到［0，80］即能滿足工程需要；夾角大于80°時，積分變量λ達到［0，200］才能滿足工程精度要求。當井斜角為90°時（水平偶極子），被積函數(shù)變?yōu)橥耆l(fā)散（見圖3）。

井斜角小于80°或大于100°時，為了提高積分精度，采用高斯積分［10－11］進行求解；井斜角大于80°且小于100°時，由于積分區(qū)間較大，為了加快計算速度，采用Hankel變換［12］對含Bessel函數(shù)的廣義積分進行求解。

圖2 被積函數(shù)與λ的關系

2.2 算法驗證

為了驗證算法的正確性，針對 Myung Jin Nam［13］給出的線圈結(jié)構(gòu)分別模擬了各向異性地層不同磁場分量Hxx（接收線圈與發(fā)射線圈法向皆沿x軸方向）與Hzz（接收線圈與發(fā)射線圈法向皆沿z軸方向）響應（結(jié)果見圖4和圖5）。模擬結(jié)果與K.H.LeeEM1D的模擬結(jié)果［13］能很好地吻合。

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

3.1 各向異性地層隨鉆電磁波模擬測井響應特征

圖6、圖7分別模擬了各向同性與各向異性三層地層模型隨鉆電磁波測井響應，其中2個接收線圈的線圈距分別為24in和30in，電阻率各向異性系數(shù)定義為各向同性地層中，目的層中離地層界面較遠處的視電阻率值與實際地層電阻率值接近，且基本不受井斜角的影響（見圖6）。而在各向異性地層中，不同井斜角的視電阻率發(fā)生分異，井斜角較小時（井斜角小于30°）視電阻率值基本反應實際水平電阻率，隨著井斜角的增大，視電阻率值逐漸向垂直電阻率過渡，且相位差電阻率較幅度比電阻率對垂直電阻率更加敏感；在大斜度井中（井斜角大于70°），由于垂直電阻率的影響，視電阻率曲線在地層界面處產(chǎn)生“犄角”明顯大于各向同性地層（見圖7）。

3.2 不同各向異性系數(shù)隨鉆電磁波測井響應特征

井斜角較小時（井斜角小于30°）各向異性對視電阻率的影響較小，視電阻率值基本反映實際水平電阻率；井斜角較大時（井斜角大于30°）各向異性（η＞1時）對視電阻率的影響明顯，視電阻率值逐漸靠近垂直電阻率，且當各向異性系數(shù)η＞3時大斜度井中（井斜角大于80°）相位差電阻率超過垂直電阻率（見圖8）。

3.3 發(fā)射頻率對隨鉆電磁波測井響應的影響

發(fā)射頻率越大，視電阻率對地層各向異性越敏感，且相位差電阻率較幅度比電阻率更加敏感。發(fā)射頻率小于100kHz時，不同頻率的幅度比電阻率值幾乎一致，而相位差電阻率略有差異；發(fā)射頻率大于100kHz時，不同頻率的幅度比電阻率在井斜角大于50°時才出現(xiàn)差異，而相位差電阻率則在井斜角為30°時即出現(xiàn)較大差異；當發(fā)射頻率為2MHz時，大斜度井（井斜角大于75°）相位差電阻率已超過垂直電阻率（見圖9）。

圖9 不同頻率條件下隨鉆電磁波測井響應隨井斜角的變化

4 結(jié) 論

（1）將各向異性地層任意方向的磁偶極子源分解為水平方向與垂直方向磁偶極子源的疊加，采用赫茲矢量位函數(shù)對偶極子源產(chǎn)生的磁場進行了描述，基于高斯積分與Hankel變換，分別對不同角度Bessel函數(shù)進行求解，克服了被積函數(shù)的強震蕩性。

（2）井斜角較小時，隨鉆電磁波測井視電阻率主要反映水平電阻率；隨井斜角增大，視電阻率逐漸由水平電阻率向垂直電阻率過渡，且相位電阻率較幅度比電阻率更為敏感；當?shù)貙痈飨虍愋韵禂?shù)與井斜角較大時，相位差電阻率甚至會超過垂直電阻率。

（3）低頻條件下（發(fā)射頻率小于100kHz）隨鉆電磁波視電阻率受各向異性影響較小，不同發(fā)射頻率下的幅度比電阻率幾乎重合，而相位差電阻率略有差異；發(fā)射頻率越高，視電阻率受地層各向異性影響越大，高頻條件下視電阻率將遠大于低頻條件。

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