等效雙孔介質(zhì)電－聲曲折度分析及其與彈性參數(shù)的關(guān)系

葛新民，謝關(guān)寶，范宜仁，盧志遠(yuǎn)，霍寧寧

（1.中國(guó)石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 青島266555；2.中國(guó)石油大學(xué)CNPC測(cè)井重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266555；3.中國(guó)石油化工股份有限公司石油工程技術(shù)研究院，北京100101；4.中國(guó)石油新疆油田公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依834000）

0 引 言

多孔介質(zhì)巖石的孔隙結(jié)構(gòu)對(duì)于非均質(zhì)復(fù)雜儲(chǔ)層的測(cè)井評(píng)價(jià)具有重要意義，是儲(chǔ)層類型劃分、流體識(shí)別及儲(chǔ)量計(jì)算的重要參數(shù)。巖石孔隙的曲折度是定量分析孔隙結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜程度的關(guān)鍵參數(shù)之一，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該參數(shù)開展了大量的理論和實(shí)驗(yàn)分析工作。Perkins等［1］推導(dǎo)了電曲折度與電阻增大率和孔隙度的關(guān)系；Koponen等［2］建立了曲折度與孔隙度的經(jīng)驗(yàn)公式；Adisoemarta等［3］認(rèn)為曲折度是電流傳播方向與流體流動(dòng)方向之間的夾角及膠結(jié)指數(shù)的函數(shù)；Olny等［4］通過聲學(xué)方法得到了曲折度的表達(dá)關(guān)系式；Fellah等［5］通過人造玻璃球試驗(yàn)研究了曲折度與孔隙度、孔隙結(jié)構(gòu)的關(guān)系；Attia等［6］研究了含水飽和度、孔隙度、膠結(jié)指數(shù)等對(duì)曲折度的影響。本文采用等效雙孔介質(zhì)理論，將復(fù)雜的巖石—孔隙系統(tǒng)等效成柱狀雙孔毛細(xì)管模型并引入電、聲曲折度概念，采用歐姆定律一維波動(dòng)方程的線性歐拉解，證明了聲、電曲折度的一致性，分析了曲折度的影響因素及其在彈性參數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用。

1 等效雙孔介質(zhì)模型及電學(xué)參數(shù)

沉積、成巖及后生改造作用使得儲(chǔ)層的原生孔隙受到破壞，導(dǎo)致孔隙類型、孔隙大小及分布的復(fù)雜性。對(duì)于孔隙－裂縫或孔隙－溶孔系統(tǒng)，其儲(chǔ)集空間均可以看成是2組不同性質(zhì)孔隙的組合，因此，采用雙組分孔隙模型進(jìn)行巖石等效是行之有效的。圖1顯示的是真實(shí)的孔隙結(jié)構(gòu)到抽象的等效雙孔介質(zhì)模型的示意圖。圖1（a）為某巖心樣品的背散射掃描電鏡（BSE）照片（黑色部分為孔隙、灰白色部分為骨架，可看出不同大小的孔隙雜亂分布在骨架中），圖1（b）為簡(jiǎn)化后的等效雙孔介質(zhì)模型（圓圈部分代表大孔隙，長(zhǎng)條部分代表小孔隙或裂縫）。

圖1 等效雙孔介質(zhì)模型示意圖

從孔隙拓?fù)鋵W(xué)觀點(diǎn)可知，無論是孔隙還是裂縫，都可等效為具有一定直徑和長(zhǎng)度的直圓柱體。對(duì)于等效雙孔介質(zhì)，假設(shè)巖石孔隙由大孔和小孔組成，且兩者相互連通，則其剖面模型可以簡(jiǎn)化為相互連通的柱狀毛細(xì)管模型。圖2是雙孔介質(zhì)的等效巖石組分模型［7］。巖石由骨架、大孔隙部分、小孔隙部分（灰色部分代表巖石骨架，白色部分代表不同大小的孔隙）。為了定量描述各孔隙體積，定義孔隙組分比，表示不同孔隙的體積比，即

圖2 雙孔介質(zhì)的巖石等效組分物理模型

假設(shè)大孔隙部分Vp的直徑為Dp，橫截面積為Sp，孔隙長(zhǎng)度為lp；小孔隙部分Va的直徑為Da，橫截面積為Sa，孔隙總長(zhǎng)度為l（見圖3），則式（1）可變?yōu)?/p>

巖石的總孔隙度為

由式（2）和式（3）可得

若巖石中不存在導(dǎo)電礦物，根據(jù)并聯(lián)導(dǎo)電原理可得到等效雙孔介質(zhì)巖石的總電阻為

式中，Rw為地層水電阻率，Ω·m；ρp、ρa(bǔ)分別為大孔隙和小孔隙部分的電阻，Ω。

巖石完全含水時(shí)的電阻率可以表示為

結(jié)合阿爾奇公式及式（7）可得到地層因數(shù)

從式（8）可知，巖石的地層因數(shù)是孔隙組分比c和孔隙度的函數(shù)，說明巖石的電學(xué)性質(zhì)不僅受到巖石孔隙度的影響，而且還受到孔隙組分及相對(duì)含量的影響。

圖3 等效雙孔介質(zhì)剖面參數(shù)

Perkins等推導(dǎo)出了電曲折度與地層因數(shù)和孔隙度的關(guān)系為（其物理模型見圖4，圖4中L和A分別為巖石的長(zhǎng)度和截面積；Lw和Aw分別代表電流通過等效孔道的長(zhǎng)度和截面積）［1，8］

式（9）說明，電曲折度是地層因數(shù)和孔隙度的函數(shù)，隨著地層因數(shù)和孔隙度乘積的增大而增大，結(jié)合式（8）可知，電曲折度受孔隙組分比和孔隙度的雙重影響。

圖4 電曲折度巖石等效結(jié)構(gòu)

2 一維波動(dòng)方程與聲曲折度計(jì)算

由于多孔介質(zhì)中孔隙大小、孔隙方向及其與巖層夾角不同，聲波在不同的孔隙中存在不同的衰減特征，這種衰減特性與各組分孔隙比例有關(guān)。如圖1（b）所示，當(dāng)聲壓作用在巖石兩端時(shí)，大孔隙部分發(fā)生震動(dòng)，但小孔隙（裂縫）部分還不能完全發(fā)生震動(dòng)。這可近似認(rèn)為小孔隙介質(zhì)的密度要大于大孔隙介質(zhì)，因此聲波在大孔隙中衰減快，在小孔隙中衰減慢。聲波在不同孔隙中的衰減差異可用聲曲折度ks表示，當(dāng)聲曲折度等于1時(shí)，說明大小孔隙內(nèi)聲波的衰減速度相同［9］。

采用歸一化的歐拉公式求解一維波動(dòng)方程。如圖2所示，X方向的聲波速度可以寫成［9－10］

式中，ks為聲曲折度；ω為角頻率；ρ0為流體密度；p為聲壓。

對(duì)于非黏性流體，雙孔介質(zhì)中各組分孔隙的聲波速度方程可以寫為

雙孔介質(zhì)中聲波速度與孔隙截面積有關(guān)，因此，各組分孔隙中的聲波速度存在以下關(guān)系

由時(shí)間平均方程可知，X方向的平均聲波速度可以等效為各組分聲波速度的體積平均［10］

雙孔介質(zhì)中聲壓的X方向微分方程可以寫為

可解出聲曲折度ks為

將式（8）代入式（16）替換孔隙組分比c，可得

式（17）表明，聲曲折度與電曲折度在數(shù)值上是相等的，即電－聲曲折度在表征巖石孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)具有同一性。

3 曲折度影響因素分析及其在巖石彈性參數(shù)中的應(yīng)用

圖5是不同孔隙度、不同孔隙組分比時(shí)曲折度的變化曲線。從圖5中可知，當(dāng)孔隙度分布在1%～40%之間時(shí)，曲折度隨著孔隙組分比的增大而呈指數(shù)衰減?？紫督M分比從0變化到2時(shí)，曲折度衰減最厲害；當(dāng)孔隙組分比大于2時(shí)，曲折度隨孔隙組分比的變化幅度非常緩慢。由于孔隙組分比定義為小孔隙體積與大孔隙體積的比值，當(dāng)巖石以大孔隙組分為主時(shí)，隨著小孔隙組分的增大，其曲折度變化十分劇烈；但當(dāng)巖石以小孔隙組分為主時(shí)，其曲折度變化十分緩慢，幾乎不受影響。從圖5中還可以看出，巖石的曲折度隨著孔隙度的增大而減小，但其幅度變化非常小，說明影響巖石曲折度的主要因素是孔隙結(jié)構(gòu)而非孔隙度。

圖5 曲折度與孔隙組分比、孔隙度的關(guān)系

圖6 氦氣法孔隙度與浮重法孔隙度對(duì)比

為了研究曲折度與巖石彈性參數(shù)之間的關(guān)系，選取了我國(guó)西部某盆地的孔隙性碳酸鹽巖儲(chǔ)層的巖心進(jìn)行了常溫常壓下的巖石聲學(xué)、電學(xué)參數(shù)測(cè)試。所取樣品巖性為白云巖，其氦氣孔隙度分布在4%～26.82%，氦氣滲透率分布在（0.036 2～1 210）×10－3μm2之間，非均質(zhì)性十分嚴(yán)重。為了使巖心完全飽和，采用20MPa恒定壓力進(jìn)行48h的鹽水飽和，同時(shí)用浮重法測(cè)試其孔隙度。飽和鹽水為NaCl溶液，濃度為50 000mg／L，測(cè)試環(huán)境為常溫常壓（25℃、1MPa），巖心測(cè)試結(jié)果見表1。巖石的曲折度用式（17）計(jì)算。圖6為氦氣法孔隙度與浮重法孔隙度的對(duì)比，兩者十分一致，均落在45°線左右，平均絕對(duì)誤差為0.255%，平均相對(duì)誤差為1.85%。圖7和圖8分別是曲折度與體積模量和剪切模量的交會(huì)圖，從圖7、圖8可知，曲折度隨著體積模量和剪切模量的增大而增大，且呈較好的線性關(guān)系，其復(fù)相關(guān)系數(shù)分別為0.904和0.915。經(jīng)擬合，實(shí)驗(yàn)的曲折度（ks）與體積模量（K）和剪切模量（G）的關(guān)系為

表1 巖心樣品聲、電測(cè)試結(jié)果表

式中，K和G分別代表體積模量和剪切模量，×104MPa。

式（18）和式（19）表明，若已知巖石的電阻率和孔隙度，便可以求得曲折度并可直接通過擬合法得到巖石的體積模量、剪切模量等，進(jìn)而計(jì)算巖石的泊松比、縱橫波速度比等其他彈性參數(shù)。巖石的體積模量和剪切模量與巖石曲折度的關(guān)系可寫成通式

式中，a和b分別為擬合參數(shù)，不同地區(qū)具有不同的值；ks為巖石曲折度；Y為巖石的體積模量或剪切模量，×104MPa。

4 結(jié) 論

（1）通過等效雙孔介質(zhì)模擬可知，巖石的電曲折度和聲曲折度在數(shù)值上是相等的，證明了聲曲折度和電曲折度在表征孔隙結(jié)構(gòu)的一致性。

（2）巖石的曲折度主要受控于孔隙結(jié)構(gòu)而非孔隙度。曲折度與孔隙組分比呈良好的指數(shù)衰減關(guān)系。當(dāng)孔隙組分比小于2時(shí)，曲折度隨孔隙組分比的增大而迅速減小，當(dāng)孔隙組分比大于2時(shí)，曲折度隨孔隙組分比增大而逐漸減小，但減小幅度非常小。

（3）曲折度與巖石的體積模量、剪切模量存在良好的正相關(guān)線性關(guān)系。對(duì)于聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)不全的井，可通過曲折度進(jìn)行巖石彈性參數(shù)的估算。

［1］ Perkins F M，Osoba J S，Ribe K H.Resistivity of Sandstones as Related to the Geometry of Their Interstitial Water［J］.Geophysics，1956，XXI（4）：1071－1086.

［2］ Koponen A，Kataja M，Timoneny J.Tortuosity Flow on Porous Media［C］∥Phys.Rev.，E Stat.Phys.Plasmas Fluids Relat.Interdiscip，Topics 54406，1996.

［3］ Adisoemarta P S，Anderson G A，F(xiàn)railey S M，Asquith G B.Historical Use of dmT d and daT in Well Log Interpretation：Is Conventional Wisdom Backwards［C］∥2000SPE Permian Basin Oil and Gas Recovery Conference Proceedings held in Midland，Texas，Soc.Pet.Eng.J.，vol.59699，21－23，March，2000.

［4］ Olny，Xavier，Tran Van，Jerome，Panneton，Raymond.Analytical Solutions for Characterizing Tortuosity and Characteristic Lengths of Porous Material，Using A－coustical Measurements Indirect Model［J］.J.Acoust.Soc.Am.，2001，110：2683.

［5］ Fellah Z E，Berger S，Lavriks W，Depollier C，Aristegui C，Chapelon Y.Measuring the Porosity and Tortuosity of Porous Materials Via Reflected Waves at Oblique Incidence［J］.J.Appl.Phys.，2003，93：9352，

［6］ Attia M Attia.Effects of Petrophysical Rock Properties on Tortuosity Factor［J］.Journal of Petroleum Science and Engineering，2005（48）：185－198.

［7］ 葛新民，范宜仁，楊東根，等.基于等效巖石組分理論的飽和度指數(shù)影響因素［J］.石油地球物理勘探，2011，46（3）：477－481，488.

［8］ 雍世和，張超謨.測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)處理與綜合解釋［M］.東營(yíng)：中國(guó)石油大學(xué)出版社，1993.

［9］ Allard J F.Propagation of Sound in Porous Mediamodeling Sound Absorbing Materials［M］.Elsevier Applied Science，1993.

［10］ Marolf A，Neithalath N，Sell E，Wegner K，Weiss J and Olek J.Influence of Aggregate Size and Gradation on Acoustic Absorption of Enhanced Porosity Concrete［J］.ACI Materials Journal，2004，101（1）：82－91.