輪流射擊比賽規(guī)則中的概率問題

趙紀青

(1鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部 河南鶴壁 458030；2河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南開封 475004)

1 提出問題

甲、乙兩人射擊水平相當，對同一目標輪流射擊，若一方失利，另一方可以繼續(xù)射擊，直到有人命中目標為止，命中一方為該輪比賽的優(yōu)勝者，問題：先開始射擊者，是否贏得比賽的可能性較大？ ……

2 模型假設(shè)

假設(shè)甲先開始射擊；

假設(shè)甲、乙兩人的每次射擊獨立，都能正常發(fā)揮水平；

3 符號約定

甲、乙命中目標的概率為p，失利概率為q,0

Ai=“第i次甲射中”，Bi=“第i次乙射中”，i=1,2,3，……；

A= “甲先射中”，B=“乙先射中”.

4 建立模型

考察在輪流比賽規(guī)則中，甲先射擊是否贏得比賽的可能性較大，只需要計算出甲、乙先射中的概率即P(A)、P(B)，然后比較大小，概率大的一方贏得比賽的可能性較大.建立甲先射中的概率模型：

=p+q2p+q4p+q6p+q8p+…

(1)

5 模型推廣

模型(1)是在甲、乙兩人射擊水平一樣的情況之下，說明了先射擊者甲贏得比賽的可能性較大，對本身而言先射擊能提高贏得比賽的概率.如果甲、乙兩人的射擊水平不一樣時，是否會出現(xiàn)同樣的結(jié)果？本文在同樣的假設(shè)之下對這個問題進行詳細地探索.

5.1 符號約定

甲、乙命中目標的概率分別為p1,p2，失利的概率分別為q1、q2，0

5.2 建立模型

(2)

當p1>p2時，即甲的射擊水平高于乙的射擊水平，此時有：

p1(1-p1)>p2(1-p1)以及p1>p1(1-p1)，所以p1>p2(1-p1)，于是有結(jié)論：射擊水平較高的先射擊者甲贏得比賽的可能性較大.

當p1

為了研究對于本身而言先射擊是否提高了贏得比賽的概率，則假設(shè)“甲后射擊贏得比賽”為A′，建立A′發(fā)生的概率模型

(3)

6 主要結(jié)論

7 優(yōu)化比賽規(guī)則

從主要的結(jié)論可以看到這種比賽規(guī)則因為比賽的先后順序不同，而影響贏得比賽的概率有所變化，從而一定程度上影響了比賽公平性，類似的情況還會出現(xiàn)在五子棋、跳棋、圍棋、象棋等輪流比賽中，這方面的問題值得進一步的研究，進而優(yōu)化比賽規(guī)則.基于本文的比賽規(guī)則，提出的優(yōu)化方案一，即設(shè)置兩個目標，甲、乙分別射擊目標n次，命中次數(shù)多的為贏家；優(yōu)化方案二，即甲、乙分別有5個目標，以命中自己的全部目標而總的射擊次數(shù)少的為贏家.

參考文獻：

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[3]茆詩松，程依名，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.56.