具多時(shí)滯和離散時(shí)間非自治互惠系統(tǒng)的正周期解

郭 微

(北華大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

近年來(lái), 關(guān)于非自治生物動(dòng)力系統(tǒng)正周期解的研究已取得許多結(jié)果[1-4]. May[5]建立了兩種群互惠系統(tǒng), 柏靈等[6]對(duì)文獻(xiàn)[5]的互惠系統(tǒng)進(jìn)行了離散化并給出了系統(tǒng)正周期解存在的充分條件. 于麗穎[7]將文獻(xiàn)[6]的差分系統(tǒng)推廣到多種群情形, 并給出了系統(tǒng)正周期解存在的充分條件. 基于此, 本文綜合考慮種群受自身遺傳因素和環(huán)境污染及有毒物的影響, 建立如下連續(xù)時(shí)間的非自治多時(shí)滯互惠系統(tǒng)：

其中：xi(t)表示i種群在時(shí)刻t的密度;ri,ai,bis,cij∈C([0,+∞),(0,+∞))(s,i=1,2,…,n,s≠i)均為ω>0的周期函數(shù);θ為正常數(shù).

為方便, 本文中i=1,2,…,n簡(jiǎn)記為i, 記 Z,Z0,Z+分別表示所有整數(shù)集、 非負(fù)整數(shù)集和正整數(shù)集, 對(duì)給定的某個(gè)函數(shù)g,

利用與文獻(xiàn)[8]相同方法, 易得如下帶有周期系數(shù)和離散時(shí)間的非自治多時(shí)滯互惠系統(tǒng)：

(1)

基于差分互惠系統(tǒng)(1)的生物學(xué)意義, 僅討論

的情形. 對(duì)差分互惠系統(tǒng)(1), 考慮初值問題：

xi(υ)=φi(υ)≥0,υ∈[-τ,0],xi(0)>0,

(2)

其中τ=max{τ1,τ2,…,τm}. 對(duì)給定的某個(gè)函數(shù)f,

本文利用重合度理論中延拓定理證明差分互惠系統(tǒng)(1)正周期解的存在性. 易見, 當(dāng)i=2,τj=0,θ=1時(shí), 差分互惠系統(tǒng)(1)即為文獻(xiàn)[6]的兩種群差分互惠系統(tǒng)； 當(dāng)τj=0,θ=1時(shí), 差分系統(tǒng)(1)即為文獻(xiàn)[7]的多種群互惠差分系統(tǒng). 因此, 差分互惠系統(tǒng)(1)改進(jìn)了文獻(xiàn)[5-7]中的生態(tài)數(shù)學(xué)模型, 更具有實(shí)際生態(tài)意義.

1 引 理

1) 對(duì)任意的λ∈(0,1), 算子方程Ly=λNy的解滿足y??Ω;

2) 對(duì)任意的y∈?Ω∩KerL,QNy≠0, 且deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0.

引理3[8]設(shè)g: Z →R,g(k+ω)=g(k),ω是正整數(shù), 則對(duì)任意的k1,k2∈Iω及任意的k∈Z, 有

引理4存在一個(gè)與參數(shù)μ無(wú)關(guān)的常數(shù)M0, 對(duì)方程組

(3)

2 主要結(jié)果

證明: 做變換xi(k)=exp{yi(k)}, 則差分互惠系統(tǒng)(1)可改寫為

(4)

Rn,k∈Z},

令L:lω→lω是差分算子: (Ly)(k)=y(k+1)-y(k),y∈lω,k∈Z . 再令

則

ImP=KerL, ImL=KerQ=Im(I-Q),

因此,L的逆映射Kp: ImL→DomL∩KerP存在,

于是

下面尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)挠薪玳_集Ω滿足引理2的條件. 相應(yīng)于算子方程Ly=λNy,λ∈(0,1), 有

(5)

(6)

則由式(5),(6)知

(7)

一方面, 由式(6)有

從而有

結(jié)合式(7), 由引理3, 有

(8)

另一方面, 由式(6)又有

從而有

同理, 結(jié)合式(7)和引理3, 有

(9)

于是, 由式(8),(9)可得

(10)

(11)

顯然,M與λ的選取無(wú)關(guān). 令B>max{M0,M},Ω={y=(y1,y2,…,yn)T∈X‖y‖

構(gòu)造同倫映射hμ(y)=μQNy+(1-μ)Gy,μ∈[0,1], 其中

注1由上述討論可知, 如果差分互惠系統(tǒng)(1)中的常數(shù)時(shí)滯改為時(shí)變時(shí)滯, 則定理1的結(jié)論仍然成立, 表明時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)是無(wú)害的.

注2定理1的結(jié)論表明, 差分互惠系統(tǒng)(1)一定會(huì)產(chǎn)生周期性生物振蕩現(xiàn)象, 且時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)正周期解的存在性無(wú)影響.

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