一類隨機積分-微分方程的均方概周期解

劉柏楓,韓玉良,孫喜東

(山東工商學院 數學與信息科學學院,山東 煙臺 264005)

0 引 言

概周期函數是比周期函數更廣的一類函數,在物理、 生物、 數學、 控制論及神經網絡等領域應用廣泛,目前已有許多研究結果[1-3]. 文獻[4-11]研究了It隨機微分方程的概周期解、 偽概周期解及概自守解等. 積分-微分方程在力學、 電磁學、 原子反應動力系統(tǒng)及人口動力系統(tǒng)中應用廣泛. 文獻[8]研究了如下隨機積分-微分方程:

文獻[8]在假設隨機微分方程(1)對應線性部分是指數穩(wěn)定的條件下,給出了方程(1)均方概周期解的存在唯一性定理. 但由于指數型穩(wěn)定性是一個非常強的條件,因此即使形如A=diag{1,-1}的系統(tǒng)指數穩(wěn)定也很難做到,而這樣的系統(tǒng)顯然滿足指數型二分性. 本文在指數型二分性的條件下研究形如隨機積分-微分方程(1)的均方概周期解的存在唯一性.

1 線性隨機積分-微分方程

對x∈L2(P,Rn),定義

易驗證當賦予范數‖·‖∞時,L2(P,Rn)是一個Banach空間. 用AP(R,L2(P,Rn))表示所有x: R →L2(P,Rn)均方概周期隨機過程的集合,用AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn))表示所有f: R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn)一致概周期隨機過程的集合.

類似于文獻[2]的證明,有:

考慮如下線性隨機積分-微分方程:

(2)

定義1對于一個 Rn值的{Ft,t∈R}相適的隨機過程{x(t)}t∈R,如果對任意的t≥s,有

則稱{x(t)}t∈R為方程(2)的一個解.

定義2如果存在投影算子P(P是線性的且滿足P2=P)及常數α1>0,α2>0和β1>1,β2>1,使得:

‖X(t)PX-1(s)‖2≤β1e-α1(t-s),t≥s,

(3)

‖X(t)(I-P)X-1(s)‖2≤β2eα2(s-t),t≤s,

(4)

則系統(tǒng)(2)所對應的齊次線性微分方程稱為滿足指數型二分性. 其中X(t)是方程(2)所對應齊次線性微分方程的基本解矩陣.

定理1假設方程(2)所對應的齊次線性微分方程滿足指數型二分性,A(t)∈AP(R,Rn×Rn). 則對給定的f1,f2,gj∈AP(R,L2(P,Rn))(j=1,2,…,m),方程(2)存在唯一均方概周期解.

證明：設隨機過程{x(t)}t∈R由下式定義:

由式(3)～(5)、 Cauchy-Schuwarz不等式和隨機積分的It等距公式[12]易證

所以由式(5)定義的隨機過程{x(t)}t∈R是有意義的,并且容易驗證對t∈R,由式(5)定義的x(t)是方程(2)的一個解.

為了證明x(t)是均方概周期的,分別定義

(6)

(7)

設

2 非線性隨機積分-微分方程

考慮如下非線性隨機積分-微分方程:

其中:A(t)是一個n×n連續(xù)矩陣;F1：R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn),F2：R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn),Gj：R×L2(P,Rn) →L2(P,Rn)(j=1,2,…,m)是連續(xù)隨機過程;B,C,W(t)如前所述.

假設：

(H1) 方程(10)所對應的齊次線性微分方程滿足指數型二分性,A(t)∈AP(R,Rn×Rn);

(H2)F1∈AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn)),F2∈AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn)),Gj∈AP(R×L2(P,Rn),L2(P,Rn))(j=1,2,…,m),并且分別滿足Lipschitz條件,即存在L1>0,L2>0,L3>0,使得對任意的x,y∈L2(P,Rn),t∈R,

(11)

又由定理1知,Λ把AP(R,L2(P,Rn))映到自身. 分別考慮作用在Banach空間AP(R,L2(P,Rn))上的非線性算子:

對x,y∈AP(R,L2(P,Rn)),t∈R,由Cauchy-Schwarz不等式及隨機積分的It等距公式,有

再由Cauchy-Schwarz不等式,有

(14)

(15)

對t∈R,由式(13)～(15),有

[1] Corduneanu C. Almost Periodic Functions [M]. 2nd ed. New York: Chelsea,1989.

[2] Fink A M. Almost Periodic Differential Equations [M]. Lecture Notes in Math,Vol.377. New York: Springer-Verlag,1974.

[3] Bezandry P H,Diagana T. Almost Periodic Stochastic Processes [M]. New York: Springer,2011.

[4] Varsan C. Asymptotic Almost Periodic Solutions for Stochastic Differential Equations [J]. Tohoku Math J,1989,41(4): 609-618.

[5] Morozan T,Tudor C. Almost Periodic Solutions of Affine ItEquations [J]. Stochastic Analysis and Applications,1989,7(4): 451-474.

[6] Prato G,Da,Tudor C. Periodic and Almost Periodic Solutions for Semilinear Stochastic Equations [J]. Stochastic Analysis and Applications,1995,13(1): 13-33.

[7] FU Miao-miao,LIU Zhen-xin. Square-Mean Almost Automorphic Solutions for Some Stochastic Differential Equations [J]. Proc Amer Math Soc,2010,138(10): 3689-3701.

[8] Bezandry P H. Existence of Almost Periodic Solutions to Some Functional Integro-Differential Stochastic Evolution Equations [J]. Statistics &Probability Letters,2008,78(17): 2844-2849.

[9] Bezandry P H,Diagana T. Existence of Almost Periodic Solutions to Some Stochastic Differential Equations [J]. Appl Anal,2007,86(7): 819-827.

[10] Arnold L,Tudor C. Stationary and Almost Periodic Solutions of Almost Periodic Affine Stochastic Differential Equations [J]. Stochastics and Stochastics Reports,1998,64(3/4): 177-193.

[11] CAO Jun-fei,YANG Qi-gui,HUANG Zai-tang. On Almost Periodic Mild Solutions for Stochastic Functional Differential Equations [J]. Nonlinear Analysis: Ral World Applications,2012,13(1): 275-286.

[12] Φksendal B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications [M]. 6th ed. Berlin: Springer-Verlag,2003.

[13] CHEN Xiao-xing,LIN Fa-xing. Almost Periodic Solutions of Neutral Functional Differential Equations [J]. Nonlinear Analysis: Ral World Applications,2010,11: 1182-1189.

[14] Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications [M]. New York: John Wiley &Sons,1974.