一類二階邊值問題無窮多解的存在性

賀 強,張 琪,盧 洋

(吉林大學 數(shù)學學院,長春 130012)

0 引 言

近年來,多點邊值問題在多點支持橋梁設計、 彈性穩(wěn)定性理論、 由N部分不同密度組成均勻截面的懸鏈線振動等領(lǐng)域應用廣泛.

多點支持橋梁簡化模型可用如下二階三點邊值問題表達:

(1)

其中:λ≥0;β∈[0,1];α·β∈[0,1]. 分別考慮以下3種情況：

通常條件(2)稱為共振條件,條件(3)和(4)稱為非共振條件.

文獻[1-3]在理論上證明了上述問題解的存在性. 文獻[4-6]給出了此類方程解或正解的存在性. 文獻[7]從數(shù)值計算方面說明了多點邊值問題通常有多個解存在. 但這些研究對于方程解存在的個數(shù)只給出了下界,并沒有對其上界做出估計.

本文通過分析二階三點邊值問題,證明了此類方程解的個數(shù)可以是可數(shù)無窮多個,并給出了此類問題的數(shù)值解法.

1 預備知識

為分析三點邊值問題(1)解的存在性,先介紹上解和下解[4]方法.

定義1如果u*滿足下式,則函數(shù)u*∈C2[0,1]是方程(1)的下解:

(5)

定義2如果u*滿足下式,則函數(shù)u*∈C2[0,1]是方程(1)的上解:

(6)

引理1[4]假設下列3個條件同時成立,則方程(1)存在一個解u0(t),且滿足u*(t)≤u0(t)≤u*(t):

(H1)λ≥0,β∈[0,1];

(H2)f(·,·)是定義在(0,1)×R上的實函數(shù),且滿足:

(i) 對每個確定的u∈R,f(·,u)在(0,1)上是可測的;

(ii)f(t,·)在t∈(0,1)上是幾乎處處連續(xù)的;

(iii) 對任意給定的N>0,都存在一個函數(shù)kN(t)∈E,使得

|f(t,u)|≤kN(t),t∈(0,1),u∈[-N,N],

(H3) 存在兩個函數(shù)u*(t)和u*(t)分別是方程(1)的下解和上解,且在[0,1]上u*(t)≤u*(t).

引理1表明,如果方程(1)同時具有下解u*(t)和上解u*(t),且u*(t)≤u*(t),則方程(1)存在解. 文獻[8]在方程(1)解的存在性證明中,使用了如下條件：

(H4)f: [0,1]×R → R是連續(xù)函數(shù),并且滿足：

|f(t,u)|≤p(t)|u|+r(t),

這里p(·),r(·)∈L1(0,1),‖p‖L1<1.

引理2[8]假設方程(1)滿足條件(H4),u1,u2,u3分別是方程(1)的嚴格下解、 嚴格上解和嚴格下解,且u1

u1(t)

存在一個tv∈(0,1],使得

u2(tv)

2 無窮多解的存在性

考慮方程:

(7)

顯然,方程(7)滿足引理1中的假設(H1)和(H2). 下面驗證假設(H3). 只需要找到條件(2)～(4)下原方程的一個上解和一個下解即可說明原問題解的存在性. 為此,定義u*(t)=-3t,u*(t)=-5t. 顯然,對t∈[0,1],u*(t)≥u*(t). 容易驗證: 只要λ≥0,則無論是共振條件(2)下,還是非共振條件(3),(4)下,u*(t)都是原方程的一個上解,u*(t)是原方程的一個下解,并且有u*(t)

引理3假設αβ=1,0<β<1,則u*(t)和u*(t)分別是方程(7)的上解和下解.

證明: 先證明函數(shù)u*=-3t是方程(7)的上解. 直接計算得

-ü*(t)=0, sin(u*(t)/t)=sin(-3)=-sin3≤0,

從而-ü*(t)≥sin(u*(t)/t). 另一方面,注意到u*(0)=0且

u*(1)-αu*(β)=-3+3αβ=0.

因此,u*(t)=-3t是方程(7)的上解. 類似地,可以證明u*(t)=-5t是方程(7)的下解. 證畢.

因為共振條件下解的存在性已證,所以不妨設u0是共振條件(2)下的一個解,于是,有:

定理1設u0是共振條件(2)下方程(7)的一個解. 令un(t)=u0(t)+2nπt,n∈N,則un(t)是共振條件(2)下方程(7)的一組解,并且若u0是線性形式的,則這組解un也是線性形式的.

證明: 通過直接計算,可得

于是可得un的確是共振條件(2)下的解. 從而得到在共振條件下原方程至少有可數(shù)多個解. 而u0是線性形式的,則這組解un也是線性形式的. 證畢.

在非共振條件下解的存在性已經(jīng)證得,不妨設u1是非共振條件(3)下的一個解,于是,有:

定理2設u1是非共振條件(3)下方程(7)的一個解. 令un(t)=u1(t)+2nπt,n∈N,則un(t)是非共振條件(3)下方程(7)的一組解.

證明: 通過直接計算,可得

易見un也是非共振條件(3)下的解,從而在非共振條件下原方程至少有可數(shù)多個解. 但非共振條件(3)下方程(7)沒有線性形式的解,否則,若存在u1是非共振條件(3)下方程(7)線性形式的解,則u1(1)-αu1(β)=0,這與非共振條件(3):u1(1)-αu1(β)=λ>0矛盾.

下面說明在非共振條件(4)下方程(7)有可數(shù)無窮多個解. 為此,考慮如下初值問題：

(8)

解方程(8)可得一個關(guān)于初值c和變量t的解u=u(t,c),將該解代入邊值條件(2)～(4)得：

解方程(9)～(11)可得c,即對應方程真解的初值,因此,方程產(chǎn)生無解或唯一解或多解乃至無窮解的原因即為上述三個邊值條件所得的方程有幾個解c,然后根據(jù)常微分方程解在初值條件下的唯一性,解得的每個c都唯一確定了原方程的一個解u=u(t).

下面證明在條件(11)下,原方程依然有無窮多解. 在條件(9)～(11)下的解分別記為u1,u2,u3. 證明思路如下：因為若u2是條件(9)下原方程的一個解,則根據(jù)已有結(jié)論可知un=u2+2nπt也是原方程的解；并且這些解在t=0外都是無處稠密的,這是因為對任意的δ∈(0,1)及任意相鄰的兩個un,有

un(δ)-un-1(δ)=(u2+2nπδ)-[u2+2(n-1)πδ]=2δ.

所以只要證明了在條件(11)下原方程的解可以逼近在條件(10)下的解,則即表明在條件(11)下原方程依然有無窮多解.

3 數(shù)值計算方法及應用實例

(12)

考慮如下問題的解：

(13)

根據(jù)常微分方程初值問題解的唯一性,可得方程(13)的唯一解u(t,c)=x1(t,c). 于是,令

g(c)=x1(1,c)-αx1(β,c)-λ.

顯然g(c)的零點c*必滿足邊值條件u(1)-αu(β)=λ微分方程的初值. 從而可通過求c*,得到與原邊值問題等價的初值問題(可能得到不止一個),進而通過求解初值問題得到原問題的解. 而c*的存在性同理也由原方程解的存在性保證,即如果先找到較簡單的函數(shù)是原問題的上下解,則c*一定存在.

關(guān)于λ,{λn}的選取,本文考慮非負的情況,由文獻[3-4,8]可知,當λ取值超過某個正數(shù)λ*時原方程無解,正數(shù)λ*是原問題分支結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點,即λ*是方程

(14)

計算步驟如下：

3) 在條件(2)下計算求解做出解曲線,此時α=2,β=0.5,λ=0.

首先確定關(guān)于c的初值c1,每給出一個c1即可解出與其最靠近的c,本文1),2)中取c1=1.

1) 解如下問題：

(15)

將式(15)進行變量替換得到一階方程組：

(16)

相應的初值問題為

計算可得關(guān)于g(c)的表達式:

取λ10=0.1,計算得c=1.624 0,從而可得條件(4)下數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖1所示. 取λ1 000=0.001,經(jīng)計算得c=0.398 5,從而可得條件(4)下數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖2所示.

圖1 在條件(4)下當λ10=0.1,c=1.624 0 時數(shù)值解u的函數(shù)圖像Fig.1 Numerical solution u under the condition (4) with λ10=0.1,c=1.624 0

圖2 在條件(4)下當λ1 000=0.001,c=0.398 5 時數(shù)值解u的函數(shù)圖像Fig.2 Numerical solution u under the condition (4) with λ1 000=0.001,c=0.398 5

2) 同理,在條件(3)下,當α=2,β=0.5時,取λ10=0.1,計算可得c=-0.526 7,從而可得條件(3)下數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖3所示. 取λ1 000=0.001,經(jīng)計算得c=-0.005 2,從而可得條件(3)下數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖4所示.

圖3 在條件(3)下當λ10=0.1,c=-0.526 7 時數(shù)值解u的函數(shù)圖像Fig.3 Numerical solution u under the condition (3) with λ10=0.1,c=-0.526 7

圖4 在條件(3)下當λ1 000=0.001,c=0.005 2 時數(shù)值解u的函數(shù)圖像Fig.4 Numerical solution u under the condition (3) with λ1 000=0.001,c=0.005 2

3) 在條件(2)下,當α=2,β=0.5,λ=0時,取c1=1,得c=0,從而可得條件(2)下當c=0時數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖5所示. 再取c1=4,得c=3.141 6,從而可得條件(2)下當c=3.141 6時數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖6所示. 再取c1=8,得c=43.982 3,從而可得條件(2)下c=43.982 3時數(shù)值解u的函數(shù)圖像如圖7所示.

圖5 在條件(2)下c=0時數(shù)值解u 的函數(shù)圖像Fig.5 Numerical solution u under the condition (2) with c=0

圖6 在條件(2)下當c=3.141 6時 數(shù)值解u的函數(shù)圖像Fig.6 Numerical solution u under the condition (2) with c=3.141 6

圖7 在條件(2)下當c=43.982 3時數(shù)值解u的函數(shù)圖像Fig.7 Numerical solution u under the condition (2) with c=43.982 3

數(shù)值試驗表明,當λn→0時,方程解是逼近λ→0時的解,而無論怎樣在中間賦初值,都只能得到cn=nπ,可見在方程的共振條件下方程的解是un,并且un是方程的所有解. 方程在共振條件下的解都是線性形式的,而非共振條件下的解都是在這組共振條件下周圍非線性解的逼近(λ→0+).

[1] MA Ru-yun,Castaneda N. Existence of Solutions of Nonlinearm-Point Boundary-Value Problems [J]. J Math Anal Appl,2001,256(2): 556-567.

[2] ZHANG Zhong-xin,WANG Jun-yu. On Existence and Multiplicity of Positive Solutions to Singular Multi-point Bourdary Value Problems [J]. J Math Anal Appl,2004,295(2): 502-512.

[3] MA Ru-yun. Positive Solutions for Nonhomogeneousm-Point Boundary Value Problems [J]. Comput Math Appl,2004,47(4/5): 689-698.

[4] ZHANG Zhong-xin,WANG Jun-yu. The Upper and Lower Solution Method for a Class of Singular Nonlinear Second Order Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Compu Appl Math,2002,147(1): 41-52.

[5] ZHANG Zhong-xin,WANG Jun-yu. Positive Solutions to a Second Order Three-Point Boundary Value Problem [J]. J Math Anal Appl,2003,285(1): 237-249.

[6] MA Ru-yun. Multiplicity of Positive Solutions for Second-Order Three-Point Boundary Value Problems [J]. Comput Math Appl,2000,40(2/3): 193-204.

[7] ZOU Yong-kui,HU Qing-wan,ZHANG Ran. On Numerical Studies of Multi-point Boundary Value Problem and Its Fold Bifurcation [J]. Applied Mathematics and Computation,2007,181(1): 527-537.

[8] MA Ru-yun. Multiplicity Results for a Three-Point Boundary Value Problem at Resonance [J]. Nonlinear Analysis: Theory,Methods &Applications,2003,53(6): 777-789.