廣義延拓矩陣的LDU分解和Cholesky分解

伍亞魁 吳桂權(quán) 簡芳洪

(1九江學院理學院 江西九江 332005；2九江市彭澤縣第一中學 江西彭澤 332700)

現(xiàn)實生活中，很多實際問題，都可轉(zhuǎn)化成數(shù)學線性問題，進而利用矩陣解決．文獻[1-4]提出延拓矩陣的概念，文獻[5]在此基礎上提出廣義延拓矩陣.文獻[6，7]提出行(列)對稱矩陣，并根據(jù)母矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對角分解給出行(列)對稱矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對角分解公式[8]．本文在文獻[6，7]的基礎上給出了廣義延拓矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對角分解的公式，可極大地減少廣義延拓矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對角分解的計算量與存儲量，而且不會喪失數(shù)值精度，從而拓寬了文獻[1～4]的理論應用范圍.

1廣義延拓矩陣的概念

A稱為R(A；P1,P2,…,Pk-1)的母矩陣.

定義2[1，2，5](廣義列延拓矩陣) 令A∈Rm×n，可逆矩陣P1,P2,…，Pk-1∈Rn×n,k為任意給定的正整數(shù).定義廣義列延拓矩陣C(A;P1,P2,…,Pk-1)為：

C(A;P1,P2,…,Pk-1)=[A,AP1,AP2,…,APk-1]∈Rm×kn

A稱為C(A;P1,P2,…,Pk-1)的母矩陣.

注：(1)當P1=P2=…=Pk-1=I(單位矩陣)時，R(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻[1]的第一類k次行延拓. 當P1=P2=…=Pk-1=P(置換矩陣)時，R(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻[2，3]的第二類k次行延拓.

(2)當P1=P2=…=Pk-1=I(單位矩陣)時，C(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻[1]的第一類k次列延拓. 當P1=P2=…=Pk-1=P(置換矩陣)時，C(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻[2，3]的第二類k次列延拓.

由以上定義，顯然有以下結(jié)論.

性質(zhì)1[1，2，5](保秩性)

rankR(A;P1,P2,…,Pk-1)=rankC(A;P1,P2,…,Pk-1)=rank(A).

性質(zhì)2[1，2，5](轉(zhuǎn)置關系)

性質(zhì)3[1，2，5](矩陣相乘關系)

XC(A;P1,P2,…,Pk-1)=C(XA;P1,P2,…,Pk-1).

2 廣義延拓矩陣的幾種分解

2.1 LDU分解

2.2 Cholesky分解

證明：

=[G-1A(GT)-1,0,0,…,0]=[In,0].

2.3 三對角分解

=[T-1AT,0,0,…,0]=[C0]

參考文獻：

[1]鄒紅星，王殿軍，黛瓊海，等.延拓矩陣的奇異值分解[J].科學通報，2000，45(14)：1560.

[2]鄒紅星，王殿軍，黛瓊海，等.延拓矩陣的奇異值分解[J].電子學報，2001，29(3)：289.

[3]鄒紅星，王殿軍，黛瓊海，等.行(或列)對稱矩陣的QR分解[J].中國科學(A)，2002，32(9)：843.

[4]藺小林，蔣耀林. 酉對稱矩陣的QR分解及其算法[J].計算機學報，2005，28(5)：817.

[5]許成鋒 劉智秉，王侃民，等. 廣義延拓矩陣的QR分解[J].九江學院學報(自然科學版)，2009，29(6)：78.

[6]袁暉坪.行(列)對稱矩陣的LDU分解和Cholesky分解[J].華僑大學學報(自然科學版)，2007，28(1)：88.

[7]袁暉坪.行(列)對稱矩陣的滿秩分解和正交對角分解[J].上海理工大學學報，2007，29(3)：260.

[8]張賢達. 矩陣分析與應用[M].北京：清華大學出版社，2004.225.