粗糙線性空間的性質(zhì)研究*

李小朝 張 巧

(1黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系；2駐馬店市第十二初級(jí)中學(xué) 河南駐馬店 463000)

引言

自1982年波蘭學(xué)者Pawlak在文獻(xiàn)[1]中首先提出粗糙集的概念以來(lái)，粗糙集理論在數(shù)據(jù)的決策與分析，機(jī)器學(xué)習(xí)和知識(shí)發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，粗糙集理論被成功地應(yīng)用到各種代數(shù)系統(tǒng)上，得到了一系列有價(jià)值的結(jié)果.文獻(xiàn)[2，3，4]研究了半群的粗糙群， 粗糙子群和粗糙理想等粗糙代數(shù)的性質(zhì).文獻(xiàn)[5，6]研究了粗糙群的同態(tài)和同構(gòu)的若干性質(zhì).在文獻(xiàn)[7]中，筆者把粗糙集理論引入到李代數(shù)上，研究了李代數(shù)的粗糙子代數(shù)和粗糙理想等.文獻(xiàn)[8，9]研究了粗糙線性空間及線性空間基于同余的上(下)近似.本文在文獻(xiàn)[8，9]對(duì)粗糙線性空間研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究粗糙線性空間的子空間、同態(tài)等.

本文總假設(shè)L是數(shù)域P上的線性空間，所用符合、術(shù)語(yǔ)和定義1，2參見文獻(xiàn)[8，9].

1 粗糙線性空間

定義1 設(shè)A,B是線性空間L的非空子集，k為數(shù)域P中任意元素.定義A與B的和為：A+B={α+β|α∈A,β∈B}；k與A的乘積為：kA={kα|α∈A}.

定義2 設(shè)W是線性空間L的子空間，對(duì)任意α，β∈L若α-β∈W，則稱α與β同余，記為xRy.用R(x)表示包含x的同余類， 顯然R(x)=x+W.

2 粗糙線性空間的子空間

定理6 若V1,V2是粗糙線性空間V的粗糙子空間，則V1+V2也是V的粗糙子空間.

證明：由于V1,V2是粗糙線性空間V的粗糙子空間，則有V1+W,V2+W是線性空間. 由于(V1+W)+(V2+W)=V1+V2+W仍是線性空間，因此V1+V2也是V的粗糙子空間.

定理7 設(shè)粗糙線性空間V1,V2是粗糙同態(tài)的，則f(V1)也是粗糙線性空間.

證明：由定義5知結(jié)論顯然.

故由定理2知f(H1)是V2的粗糙子空間.

參考文獻(xiàn)：

[1]Zdzislaw Pawlak. Rough sets [J]. International Journal of Computer & Information Sciences，1982，11(5)：341.

[2]Biswas R，Nanda S. Rough groups and rough subgroups[J]. Bull Polish Acad Sci Math，1994，42(1)：251.

[3]Kuroki N. Rough ideals in semigroups[J].Information Science， 1997，100(1-4)：139.

[4]Miao DQ，Han SQ，Li DG，et al. Rough group， rough subgroup and their properties[J]. Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining, and Granular Computing Lecture Notes in Computer Science，2005，364(1)：104.

[5]舒蘭，王德松.粗糙群同態(tài)基本定理與同構(gòu)[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2003，30(5?？?：32.

[6]韓素青.粗糙群的同態(tài)和同構(gòu)[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，42(24)：303.

[7]李小朝.李代數(shù)的粗糙子代數(shù)和粗糙理想[J].河南科學(xué)，2011，29(12)：1406.

[8]吳明芬.線性空間上基于同余的上(下)近似[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22(1)：146.

[9]Liu WJ. Rough Linear Space[J]. Fuzzy System and Mathematics，2007，21(4)：137.