廣義二次矩陣和與積線性組合的秩與零度

劉淑媛， 陳梅香， 馮曉霞， 楊忠鵬, 謝燕萍

(1. 吉林工商學(xué)院 基礎(chǔ)部， 長春 130062； 2. 莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 福建 莆田 351100；3. 漳州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系， 福建 漳州 363000； 4. 福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 福州 350007)

冪等矩陣在矩陣研究領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 目前已取得豐富的研究成果. 例如: Baksalary等[1]考慮冪等矩陣P,Q線性組合的可逆性， 證明了aP+bQ可逆當(dāng)且僅當(dāng)P+Q可逆， 其中ab(a+b)≠0,a,b∈. 文獻[2-3]在相同的約束條件下， 證明了冪等矩陣線性組合的秩及零度的不變性. 文獻[4]推廣了文獻[3,5]的結(jié)果: 對于冪等矩陣P,Q, 證明了

(1)

其中a,b,c∈， 且ab≠0.

設(shè)A∈Cn×n， 若存在d,e∈, 使得(A-dI)(A-eI)=0, 則稱A為(由d,e確定的)二次矩陣[6-7]. 二次矩陣集合記為

(2)

其中Ωn(I;d,e)={A∈Cn×n: (A-dI)(A-eI)=0}. 文獻[8]給出了二次矩陣的和與積的線性組合的秩不變性結(jié)論: 設(shè)A,B∈Ωn(I;d,e)， 復(fù)數(shù)d≠e,a≠0,b≠0, 則

文獻[9]給出了廣義二次矩陣的概念: 設(shè)A∈Cn×n， 如果存在d,e∈及冪等矩陣P, 使得

AP=PA=A, (A-dP)(A-eP)=0,

Ωn(P;d,e)={A∈Cn×n: (A-dP)(A-eP)=0,AP=PA=A}.

本文討論廣義二次矩陣和與積線性組合的秩與其組合系數(shù)選擇無關(guān)的問題， 推廣并改進了已有的相關(guān)結(jié)果.

引理1[12]設(shè)A∈Cn×n， 如果存在d,e∈及冪等矩陣P, 使得AP=PA=A， 則當(dāng)d≠e時， 有A∈Ωn(P;d,e)?是冪等的.

定理1給定冪等矩陣P,Q, 設(shè)A∈Ωn(P;dA,eA),B∈Ωn(Q;dB,eB) ， 其中:dA≠eA;dB≠eB. 對于a,b,c∈， 如果ab(a-cdB)(b-cdA)≠0， 則:

r[(aA+bB-cAB)-(adAP+bdBQ)-c(dBA(P-Q)+dA(Q-P)B-dAdB(P+Q-PQ))]=

(3)

null[(aA+bB-cAB)-(adAP+bdBQ)-c(dBA(P-Q)+dA(Q-P)B-dAdB(P+Q-PQ))]=

(4)

(7)

(8)

當(dāng)a(eA-dA)+b(eB-dB)=c(eAeB-dAdB)時， 由式(1)，(5)～(7)可得

當(dāng)a(eA-dA)+b(eB-dB)≠c(eAeB-dAdB)時， 由式(1)，(5)，(6)，(8)可得

即式(3)成立. 又因為null(A)=n-r(A), 進而可得式(4).

當(dāng)c=0時， 由式(3)可得文獻[12]中定理2.

定理2設(shè)P是冪等矩陣,A,B∈Ωn(P;1,e), 其中e≠1, 則

r[aA+bB-(a+b)P]=r(A+B-2P)，

其中a,b∈, 使得ab(a+b)≠ 0.

當(dāng)P=I時， 定理2推廣了文獻[13]的定理2.2和定理2.6. 取P=Q=I， 則由定理1可得如下與文獻[8]類似的結(jié)果:

推論1設(shè)A,B∈Ωn(I;d,e)， 其中d≠e, 如果a,b,c∈,ab(a-cd)(b-cd)≠0， 則

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