局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣及其應(yīng)用

邰志艷, 李慶春

(1. 吉林醫(yī)藥學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室, 吉林 吉林 132013； 2. 北華大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 吉林 132013)

廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣在計(jì)算數(shù)學(xué)、 數(shù)學(xué)物理、 優(yōu)化理論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 但其實(shí)際判別卻很困難[1-16]. 本文利用局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣?yán)碚摻o出幾種新的廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的判別方法, 推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的主要結(jié)果.

1 定義及引理

定義1設(shè)A=(aij)∈Mn(C), 若|aii|≥ri(A), ?i∈N, 則稱A為對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D0. 若|aii|>ri(A), ?i∈N, 則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D. 若存在正對(duì)角矩陣X, 使得AX∈D, 則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D*.

定義2設(shè)A=(aij)∈Mn(C), N1∩N2=?, N1⊕N2=N, 若?i∈N1及?j∈N2, 存在α∈(0,1], 使得

(1)

且

?,

則稱A為局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈LD0(α).

若式(1)中均為嚴(yán)格不等式, 則稱A為局部α-雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈LD(α). 若式(1)中至少有一個(gè)為嚴(yán)格不等式, 且A為不可約矩陣, 則稱A為不可約局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣, 記為A∈ILD0(α).

引理1[1]設(shè)A=(aij)∈Mn(C), 若存在α∈(0,1], 使得|aii|>αri(A)+(1-α)Ci(A), 則A∈D*.

引理2[1]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)是不可約矩陣, 若存在α∈(0,1], 使得?i∈N, 有|aii|≥αri(A)+(1-α)Ci(A), 且

J={j∈N: |ajj|>αrj(A)+(1-α)Cj(A)}≠?,

則A∈D*.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)A=(aij)∈Mn(C), 若A是局部α-雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣, 則A∈D*.

證明： 由Ω+≠?知,Ω+=N, 即?i∈N, 均有

記

?i∈N1,

(2)

(3)

X=diag(di:di=d,i∈N1;di=1,i∈N2),

則矩陣AX=(bij)滿足當(dāng)i∈N1時(shí), 由d>hi及式(2)有

從而

(4)

將式(4)兩端分別乘以α, 得

|bii|>αri(B)+(1-α)Ci(B).

當(dāng)j∈N2時(shí), 由d

即

(5)

將式(5)兩端分別乘以α, 得

|bjj|>αrj(B)+(1-α)Cj(B).

(6)

綜上知B滿足引理1的條件, 從而B∈D*, 進(jìn)而A=BX-1∈D*.

定理2設(shè)A=(aij)∈Mn(C), 若A是不可約局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣, 則A∈D*.

證明： 記

由A是不可約局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣知,J*≠?, 且Ω+≠?. 不難驗(yàn)證?i∈N, 均有

若存在i∈N1, 滿足

(7)

其中Aii(i=1,2)是以 Ni(i=1,2)中的元素為行、 列足碼的A的主子陣, 從而由式(7)知A是可約矩陣, 與已知矛盾.

若存在j∈N2, 滿足

則由A是不可約局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣知, 存在i∈N1, 使得

構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(di:di=d,i∈N1;di=1,i∈N2), 則矩陣B=AD=(bjj)n×n, 滿足當(dāng)i∈N1時(shí), 由d≥hi及hi所設(shè), 仿定理1的證明, 得

|bii|≥αri(B)+(1-α)Ci(B).

當(dāng)j∈N2時(shí), 由d≤Hj及Hj所設(shè), 仿定理1的證明, 得

|bjj|≥αrj(B)+(1-α)Cj(B).

再由J*≠?知, 存在j∈N, 使得式(6)成立.

綜上知,B滿足引理2的條件, 從而B∈D*, 進(jìn)而A=BD-1∈D*.

定理3設(shè)A=(aij)∈Mn(C),aii≠0(i∈N), N=N1+N2, N1∩N2=?, 若?i∈N1,j∈N2, 則存在α∈(0,1], 使得

且J*≠?(J*同定理2); 若?i∈NJ*, 有非零元素鏈aii1,ai1i2,…,aip j, 使得j∈J*, 則A∈D*.

證明： 若A是不可約矩陣, 則由定理2知,A∈D*. 若A是可約矩陣, 則存在置換矩陣P, 使得

(8)

其中Aii(1≤i≤k)是ni階不可約矩陣.

再由J*≠?及?i∈NJ*有非零元素鏈aii1,ai1i2,…,aip j, 使得j∈J*和式(8)知,

由Aii不可約及定理2知,Aii∈D*.

同時(shí), 由J*≠?知, 存在i∈Nii, 使得

再由A是不可約矩陣及引理2知,Aii∈D*.

綜上知, ?i∈{1,2,…,k}, 有Aii∈D*. 由式(8)知PAPT∈D*, 又由P是置換矩陣知,A∈D*.

綜上所述, 本文給出了局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣的概念, 并應(yīng)用局部α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣的理論給出了廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的幾個(gè)新的充分條件, 推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的主要定理, 拓展了廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定準(zhǔn)則.

[1] ZHANG Yue-lang, MO Hong-min, LIU Jian-zhou.α-Diagonally Dominant and Criteria for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices [J]. Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 2009, 31(2): 119-128. (張?jiān)吕? 莫宏敏, 劉建州.α-對(duì)角占優(yōu)與廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定 [J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 31(2)： 119-128.)

[2] WANG Xin-cun, GUAN Yu-jing. Local Double Diagonally Dominant Matrices and Its Application [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2010, 48(5)： 401-405. (王信存, 關(guān)玉景. 局部雙對(duì)角占優(yōu)矩陣及其應(yīng)用 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2010, 48(5)： 401-405.)

[3] GUO Li. Criteria for Nonsingular H-Matrices [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2010, 48(2)： 226-228. (郭麗. 非奇異H-矩陣的判定 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2010, 48(2)： 226-228.)

[4] TAI Zhi-yan, LI Qing-chun. New Criteria for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(2)： 218-222. (邰志艷, 李慶春. 廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的新判定條件 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2011, 49(2)： 218-222.)

[5] Varga R S. On Recurring Theorems on Diagonal Dominace [J]. Linear Algebra and Its Applications, 1976, 13(1/2)： 1-9.

[6] ZHAO Liang-dong, XU Zhong, LU Quan. Improved Determinate Conditions for the Nonsingular H-Matrix [J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2010, 27(6)： 1015-1020. (趙良東, 徐仲, 陸全. 改進(jìn)的非奇H矩陣的判定條件 [J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 27(6)： 1015-1020.)

[7] XIE Qing-ming. A Note on the Practical Criteria for H-Matrices [J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2006, 29(6)： 1080-1084. (謝清明. 關(guān)于H-矩陣的實(shí)用判定的注記 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 29(6)： 1080-1084.)

[8] HAN Tao, LU Quan, XU Zhong, et al. Some New Criteria for Nonsingular H-Matrices [J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2011, 28(4)： 498-504. (韓濤, 陸全, 徐仲, 等. 一組非奇異H-矩陣的新判據(jù) [J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 28(4)： 498-504.)

[9] Berman A, Plemmons R J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences [M]. New York: Academic, 1979.

[10] GAN Tai-bin, HUANG Ting-zhu. Simple Criteria for Nonsingular H-Matrices [J]. Linear Algebra Appl, 2003, 374(15): 317-326.

[11] Horn R A, Johnson C R. Mathix Analysis [M]. New York: Cambridge University Press, 1985: 349-350.

[12] Cvetkovic L, Kostic V, Varga R S. A New Ger?gorin-Type Eigenvalue Inclusion Set [J]. Electronic Transactions on Numerical Analysis, 2004, 18: 73-80.

[13] Varga R S. Matrix Iterative Analysis [M]. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2000: 87-93.

[14] LI Min, SUN Yu-xiang. Practical Criteria for H-Matrices [J]. Appl Math Comp, 2009, 211(2): 427-433.

[15] SUN Yu-xiang. Sufficient Conditions for Generalized Diagonally Dominant Matrices [J]. Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 1997(3): 216-223. (孫玉祥. 廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分條件 [J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1997(3): 216-223.)

[16] LI Ji-cheng, ZHANG Wen-xiu. Criteria for H-Matrices [J]. Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities, 1999(3): 264-268. (李繼成, 張文修. H-矩陣的判定 [J]. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1999(3): 264-268.)