順 從 算 子 的 穩(wěn) 定 性

石洛宜,武玉婧

(1.天津工業(yè)大學 理學院,天津 300387;2.天津職業(yè)大學 基礎部,天津 300402)

Johnson[1]首先在Banach代數(shù)上引入了算子順從性的概念.之后,Bade等[2]和Monfared[3]在Banach代數(shù)上分別引進了弱順從性和特征順從性的概念.目前，算子代數(shù)的順從性及順從性相關的性質(zhì)已引起人們廣泛關注,并取得了許多研究結果,推動了C*代數(shù)、Von Neumman代數(shù)和抽象調(diào)和分析的發(fā)展[1,4-5].具有順從性的算子代數(shù)都相似于C*代數(shù),但“每個具有順從性的算子代數(shù)是否都一定相似于一個C*代數(shù)”的猜測目前還沒有完全解決.

B(H )中由單個算子生成的Banach代數(shù)是B(H )的一類特殊Banach子代數(shù).假設T∈B(H ),令AT表示由T生成的Banach子代數(shù),若AT是順從(弱順從或特征順從)的,則稱T是順從(弱順從或特征順從)的;如果Aπ(T)是順從(弱順從或特征順從)的(π(T)表示T在Calkin代數(shù)中的像),則稱T是本性順從(弱順從或特征順從)的.Willis[6]首次研究了緊算子的順從性,并且得到了緊算子是順從的當且僅當其相似于正規(guī)算子.Farenick等[7]利用譜的語言給出了正規(guī)算子的順從和弱順從性以及上三角算子順從性的完全刻劃,證明了:

1) 如果T是順從的,則T的譜σ(T)沒有內(nèi)點并且補集連通;

2) 如果T是一個正規(guī)算子,則T是順從的當且僅當T是弱順從的,當且僅當T是特征順從的,當且僅當σ(T)沒有內(nèi)點且補集連通;

3) 上三角算子T是順從的當且僅當T相似于一個正規(guī)算子,并且σ(T)沒有內(nèi)點且補集連通.

如果σ(T)沒有內(nèi)點且補集連通,則T一定是雙擬三角算子.即各種順從算子都是雙擬三角算子.本文研究B(H )中所有順從(弱順從、特征順從)算子構成的集合在B(H )中的百分比,并進一步研究順從算子在各種相似意義下的穩(wěn)定性.結果表明,各種順從算子在取極限意義下都是不穩(wěn)定的.

1 引 理

若A是一個含單位元的Banach代數(shù),對任意的T∈A,令σA(T)表示T相對于A的譜.特別地,如果取A=B(H ),令σ(T)表示T相對于B(H )的譜.對任意的T∈B(H ),令σe(T)表示π(T)相對于Calkin代數(shù)的譜.如果RanT是閉的,而且nulT和nulT*中至少有一個有限的,則稱T是一個半Fredholm算子;此時,indT∶=nulT-nulT*稱為T的指標;ρs-F(T)∶={λ∈:λ-T是一個半Fredholm 算子}稱為T的半Fredholm域.如果對任意的λ∈ρs-F(T),indλ-T≥0,則稱T是擬三角的;如果對任意的λ∈ρs-F(T),indλ-T=0,則稱T是雙擬三角的.假設A是B(H )的一閉子代數(shù),記A的換位代數(shù)

A ′∶={B∈B(H ):AB=BA,?A∈A }.

設M是H的一閉子空間,如果對任意的A∈A,均有AM?M,則稱M是A的一不變子空間.記Lat A表示A所有不變子空間構成的集合,并稱為A的不變子空間格;Lat A ′中每個元素稱為A的一個超不變子空間.如果對任意的M∈Lat AT,存在N∈Lat AT，使得MN=H,則稱算子T∈B(H )是Banach 約化的.

則稱T與S是近似相似的;如果存在單射稠值域的算子X和Y,使得TX=XS,YT=SY,則稱T與S是擬相似的.

引理1[3,7]設A,B是交換的Banach代數(shù),φ: A→B是連續(xù)的同態(tài),并且φ(A )在B中稠.如果A是順從(弱順從或特征順從)的,則B也是順從(對應的弱順從或特征順從)的.

引理2[3,5]設A是一個交換的Banach代數(shù),I是A的一個雙邊閉理想,滿足A/I和I都是順從(弱順從或特征順從)的,則A也是順從(對應的弱順從或特征順從)的.

由引理1和引理2可得:

引理3設T∈B(H ).如果T是順從(弱順從或特征順從)的,則:

1) 對所有的λ∈,λT也都是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

2) 對所有的λ∈,λI+T也都是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

3) 對所有B(H )中的可逆算子S,STS-1也都是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

4) 如果M是T的不變子空間,則T|M也是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

5)π(T)也是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

6)T*也是順從(對應的弱順從或特征順從)的.

引理4假設A是一個含有單位元的Banach代數(shù),T∈A是順從(弱順從或特征順從)的,則σAT(T)=σA(T)沒有內(nèi)點且補集連通.

推論1假設T是一個順從算子,并且從AT到(σ(T))的Genlfand變換是下方有界的,則T相似于一個正規(guī)算子.

證明: 根據(jù)引理4,σ(T)是補集連通的且沒有內(nèi)點.此外,由于Genlfand變換是下方有界的,即存在K>0,使得對任意的多項式p,‖p(T)‖≤K‖p‖∞,這里‖·‖∞表示極大模范數(shù).從而σ(T)是T的K-譜集[8].再利用σ(T)沒有內(nèi)點且補集連通,由文獻[9]中定理4可知,T相似于一個正規(guī)算子.

注1假設T∈B(H )相似于一個正規(guī)算子,且σ(T)沒有內(nèi)點補集連通,根據(jù)文獻[10]中定理8.7知,AT相似于一個C*代數(shù).反之,若T是一個順從算子,且AT相似于一個C*代數(shù),根據(jù)推論1,T必相似于一個正規(guī)算子.綜上可知,對于單生成的Banach算子代數(shù),每個順從算子代數(shù)都相似于C*代數(shù)的猜想等價于每個順從算子都相似于一個正規(guī)算子.

如果存在另外一個Hilbert算子H0和T0∈B(H0)及T0的一個不變子空間M,使得T酉等價于T0|M,則稱算子T∈B(H )是次正規(guī)的;如果T(T*T)1/2=(T*T)1/2T,則稱算子T是擬正規(guī)的.由于任意的次正規(guī)或擬正規(guī)算子都滿足推論1的條件,因此根據(jù)推論1和Putnam-Fuglede定理可知,如果T是次正規(guī)或擬正規(guī)算子,則T是順從的當且僅當T是正規(guī)的.

2 各種順從算子在B(H )中的百分比

由引理4可見,若T是一個順從、弱順從或特征順從算子,則T必是一個雙擬三角算子.記QT,BQT,AM,WAM,CAM分別表示B(H )中所有擬三角、雙擬三角、順從、弱順從和特征順從算子構成的集合.記EAM,EWAM,ECAM分別表示B(H )中所有使得其在Calkin代數(shù)A(H )中的像是順從、弱順從和特征順從算子構成的集合.下面研究這些集合的閉包、內(nèi)點以及它們之間的集合包含關系.

定理1假設H是一個無窮維的Hilbert空間,則有下列集合包含關系:

1)AM?WAM?BQT?QT;

2)AM?CAM?BQT?QT;

3)EAM?EWAM?BQT?QT;

4)EAM?ECAM?BQT?QT;

5)CAM0=WAM0=AM0=?;

證明: 假設T屬于AM(WAM,CAM,EAM,EWAM或ECAM),根據(jù)引理1和引理4,1)～4)的包含關系顯然.

下面證明5).根據(jù)1),2)易知WAM0?AM0,CAM0?AM0,因此只需證明CAM0=WAM0=?即可.任取T∈B(H ),假設λ0∈σle(T),根據(jù)文獻[11]中定理3.49,對任意的ε>0,存在一無窮維Hilbert空間Hε?H及B(H )中的緊算子K1,使得‖K1‖<ε/2,(T+K1)Hε?Hε,并且T+K1在Hε上的限制Tε=(T+K1)|Hε=λ0I.此時任取Hε上一非零的緊冪零算子K2滿足‖K2‖<ε/2,根據(jù)引理3和文獻[6]可知,Tε+K2一定不是特征順從或弱順從的.從而根據(jù)引理3可知T+K1+(K2⊕0)不是特征順從或弱順從的.即CAM0=WAM0=?成立.

下面證明6).根據(jù)文獻[11]中定理6.15,

利用1)～4)及5)的證明和文獻[7]易知,

利用引理3可知,

AM?EAM,WAM?EWAM,CAM?ECAM,

從而

下面用反證法證明

假設存在一列{Tn}?B(H ),Tn→T,并且使得每個π(Tn)都是順從(對應的弱順從或特征順從)的,但T?BQT.即存在k≠0及σ(T)中的一個開區(qū)域Ω,使得對任意的λ∈Ω,ind(λ-T)=k.由于π(Tn)是順從(弱順從或特征順從)的,根據(jù)引理4,σe(Tn)沒有內(nèi)點補集連通.此外,由于Tn→T,根據(jù)指標的穩(wěn)定性,存在Ω的一個子區(qū)域Ω1和N>0,使得對任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)≠0.

情形1) 如果對任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)=+∞或ind(λ-Tn)=-∞,則對任意的n>N,Ω1?σe(Tn);

情形2) 如果對任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)<+∞且ind(λ-Tn)>-∞,則當n>N時,σe(Tn)補集一定是不連通的.因此,當n>N時,σe(Tn)或者有內(nèi)點或者補集不連通,這與σe(Tn)沒有內(nèi)點補集連通矛盾.所以

注2由定理1可見,B(H )中所有順從(弱順從或特征順從)算子在BQT中是稠的,其補集在BQT中是稠的.即順從(弱順從或特征順從)算子和非順從(弱順從或特征順從)算子所構成的集合均沒有內(nèi)點.因此,順從、弱順從和特征順從性在取極限的意義下都是不穩(wěn)定的.

3 穩(wěn)定性

對于Hilbert空間上的算子,相似和酉等價是重要的等價關系,此外還有許多其他等價關系.本文主要研究順從性在各種等價關系下的穩(wěn)定性.

根據(jù)引理3可知,若T是一個順從(弱順從或特征順從)算子,S與T相似(酉等價),則S也是一個順從(對應的弱順從或特征順從)算子.

定理2假設T和S是近似相似的,且T是順從(弱順從或特征順從)算子,則S也是順從(對應的弱順從或特征順從)算子.

證明: 由T和S是近似相似的,存在常數(shù)K>0和可逆算子列{Xn},使得

定義從AT到AS的映射φ: AT→AS,其中對任意的多項式p,φ(p(T))=p(S).由于對任意的多項式p,‖p(S)‖

下面舉例說明各種順從性在漸近相似和擬相似下都是不穩(wěn)定的.

注3綜上可知,順從、弱順從和特征順從性在相似、酉等價、漸近酉等價和近似相似這些等價關系下都是穩(wěn)定的;在漸近相似和擬相似這些等價關系下是不穩(wěn)定的.根據(jù)文獻[14]中引理3.9和引理3.13,雖然順從性在擬相似下是不穩(wěn)定的,但與正規(guī)算子或緊算子擬相似的算子如果是順從的,則一定相似于正規(guī)算子.

命題1假設T是一個順從算子,且存在正規(guī)算子N及可逆算子列{Xn},{Yn},使得

即T與N漸近相似.如果Xn或Yn不按弱算子拓撲收斂到0,則存在T的不變子空間M≠{0},使得T|M相似于一個正規(guī)算子.

證明: 不失一般性,可以假設Xn是有界序列,并且不按弱算子拓撲收斂到0.從而存在X0≠0及{Xn}的子列{Xnk},使得Xnk按弱算子拓撲收斂到X0,于是可知X0T=NX0.此外,T與N是漸近相似的,根據(jù)譜的上半連續(xù)性可知σ(T)=σ(N).令A=N⊕T,直接驗證易得AA和AT是同構的,從而A也是一個順從算子.根據(jù)文獻[14]中定理3.11的證明過程易知,存在T的不變子空間M≠{0},使得T|M相似于一個正規(guī)算子.

命題1表明若順從算子T與一個正規(guī)算子漸近相似且滿足一定的條件,則T一定有相似于正規(guī)的部分.

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