基于隨機(jī)矩陣的高光譜影像非負(fù)稀疏表達(dá)分類

孫偉偉，劉 春，2，施蓓琦，李巍岳

（1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海200092；2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

高光譜影像通過(guò)成像光譜儀采集地物的光譜特征，具有波段眾多且光譜分辨率高的特點(diǎn).通過(guò)對(duì)高光譜像元光譜特征分類，能夠識(shí)別地物間的細(xì)微差異.高光譜影像分類目前廣泛應(yīng)用于環(huán)境監(jiān)測(cè)［1］、土地利用分析［2］及資源勘查［3］等方面.

近幾年來(lái)，壓縮感知（compressive sensing，CS）的出現(xiàn)和興起，為高光譜影像的分類研究提供了新的研究思路.CS理論指出，如果一個(gè)信號(hào)在某個(gè)變化上稀疏，那么可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣將稀疏的高維信號(hào)投影到低維空間上，通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題高概率地還原原始信號(hào)［4］.在高光譜研究領(lǐng)域，當(dāng)前學(xué)者已經(jīng)在CS用于分類方面做出一些探索.Haq等［5］提出基于稀疏表達(dá)和L1范數(shù)最小的高光譜影像分類方法.隨后，Chen 等［6］提出基于光譜稀疏表達(dá)和重構(gòu)的高光譜影像分類模型，并引入窗口鄰域及K－鄰域來(lái)描述空間信息以提高分類精度.Castrodad等［7］研究附加像元的空間鄰域信息至高光譜影像稀疏表達(dá)分類，并擴(kuò)展稀疏表達(dá)分類法至非監(jiān)督領(lǐng)域.近期，國(guó)內(nèi)學(xué)者利用字典學(xué)習(xí)構(gòu)造像元的稀疏表達(dá)并結(jié)合隨機(jī)森林法來(lái)實(shí)現(xiàn)影像分類［8］；通過(guò)光譜維和空間維的聯(lián)合表達(dá)和約束構(gòu)建每類訓(xùn)練樣本的稀疏字典及稀疏表達(dá)，并結(jié)合最小重構(gòu)誤差和鄰域相關(guān)性約束求解系數(shù)向量來(lái)實(shí)現(xiàn)分類［9］.然而，高光譜影像稀疏表達(dá)分類模型仍存在兩個(gè)主要問(wèn)題：①測(cè)量矩陣是所有類別訓(xùn)練樣本或純凈像元的光譜向量排列矩陣，列向量間尤其同類地物間相關(guān)性強(qiáng)，不滿足CS 要求的限制等距特性（restricted isometry property，RIP）準(zhǔn)則；②分類模型未考慮光譜向量在高維樣本空間中重構(gòu)系數(shù)向量的非負(fù)性.以上兩個(gè)問(wèn)題關(guān)系高光譜影像稀疏表達(dá)分類模型理論的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性，嚴(yán)重影響高光譜影像的分類精度.

本文提出隨機(jī)矩陣－非負(fù)稀疏表達(dá)（random matrix－nonnegative sparse representation， RMNSR）分類模型，通過(guò)引入隨機(jī)映射來(lái)構(gòu)造隨機(jī)測(cè)量矩陣以提高原始測(cè)量矩陣更好滿足RIP 條件，同時(shí)結(jié)合限定重構(gòu)系數(shù)向量的非負(fù)性，最終提高CS理論用于高光譜影像分類的精度.同時(shí)，通過(guò)兩個(gè)高光譜數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，在三種常用的重構(gòu)算法下，對(duì)比改進(jìn)RMNSR 模 型 與 常 規(guī) 的 稀 疏 表 達(dá) （sparse representation，SR）分類模型對(duì)分類的精度差異，證明所提模型的有效性.

1 壓縮感知理論

CS理論認(rèn)為，如果一個(gè)信號(hào)具有稀疏或可壓縮的特性，那么可以采用線性和非自適應(yīng)的測(cè)量過(guò)程，從較少的測(cè)量值中準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號(hào)［10］.假設(shè)將一組M維不含噪聲的信號(hào)x∈RM×1在某組基（φi為M維列向量）下展開，表示如下：

其中θi＝〈x，φi〉＝φTix，Φ＝［φ1，φ2，…，φM］∈RM×M為稀疏矩陣且滿足正交條件ΦΦT＝ΦTΦ＝I.系數(shù)向量θ＝［θ1，θ2，…，θM］T為K－稀疏的，即非零系數(shù)的個(gè)數(shù)K?M.在此基礎(chǔ)上，采用一個(gè)與Φ 不相關(guān)的測(cè)量矩陣ΨN×M（N?M），通過(guò)式（2）對(duì)x 實(shí)現(xiàn)壓縮觀測(cè)：

可以得到N個(gè)線性觀測(cè)y∈RN×1，并包含重構(gòu)信號(hào)x的信息，其中N為觀測(cè)值的個(gè)數(shù).將式（1）代入式（2），可以得到：

其中A＝ΨΦ 為信息算子.式（3）是一個(gè)病態(tài)方程，但只要矩陣A 中任意2K列線性獨(dú)立，那么至少存在一個(gè)K－稀疏的系數(shù)向量θ 滿足y＝Aθ［11］.因此，通過(guò)求解一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題（4）：

可以獲得稀疏系數(shù)向量θ 的唯一解，進(jìn)而高精度地重建信號(hào)x.式（4）的非凸優(yōu)化問(wèn)題通常采用重構(gòu)算法 來(lái) 求 解，如L0 范 數(shù) 法［12］、基 追 蹤 法［13］（basis pursuit，BP）和 正 交 匹 配 追 蹤［14］（orthogonal matching pursuit，OMP）.重構(gòu)方法具有各自不同的特點(diǎn)，其選擇依賴于非線性優(yōu)化目標(biāo)方程.

2 基于RM－NSR的高光譜影像分類

假設(shè)歸一化的高光譜影像數(shù)據(jù)集為X＝｛xi｝∈RD×N，其中D為像元的個(gè)數(shù)，N為波段數(shù).假設(shè)X共包含c個(gè)類別，訓(xùn)練樣本總數(shù)為M，且第r個(gè)類別包含的訓(xùn)練樣本為，其中mr為第r類別的訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù).高光譜影像的RM－NSR 分類目的是基于隨機(jī)測(cè)量矩陣，通過(guò)CS理論來(lái)重構(gòu)稀疏的非負(fù)系數(shù)向量，最終確定測(cè)試樣本中每個(gè)像元x的類別標(biāo)簽.

2.1 光譜向量在樣本空間的非負(fù)稀疏表達(dá)

光譜向量稀疏表達(dá)分類模型認(rèn)為高光譜影像中同類地物的像元都位于統(tǒng)一的特征空間.因此如果像元x位于第r類，則其光譜向量可看作位于由第r類的訓(xùn)練樣本張成的子空間，即x 可表達(dá)為訓(xùn)練樣本構(gòu)成的矩陣的線性組合，

其中Ψr為第r類訓(xùn)練樣本構(gòu)成的矩陣，每一列為該類中訓(xùn)練樣本的光譜向量，θr中元素為第r類訓(xùn)練樣本中光譜向量的權(quán)重系數(shù).如果將x 在所有類別的訓(xùn)練樣本構(gòu)成的高維空間中展開，則

式中：Ψ 為所有類別的訓(xùn)練樣本構(gòu)成的測(cè)量矩陣；Θ為像元x在訓(xùn)練樣本中所有光譜向量所對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)向量；M為權(quán)重系數(shù)的個(gè)數(shù)，等于訓(xùn)練樣本的總數(shù)；N為光譜向量的維數(shù).在理想的情況下，如果位于第r類的像元x 可以由其位于同一類別的光譜向量線性表達(dá)，則Θ 為稀疏向量考慮光譜響應(yīng)值及權(quán)重系數(shù)的非負(fù)性，限定第r類訓(xùn)練樣本對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)＝1，2，…，mr，這不同于常規(guī)SR 模型.

2.2 隨機(jī)測(cè)量矩陣

CS理論理論指出，當(dāng)測(cè)量矩陣Ψ 滿足RIP 特性時(shí)，才能用較少的測(cè)量值x 嚴(yán)格恢復(fù)原始的高維稀疏系數(shù)向量Θ.通常，可以用Ψ 的不自相關(guān)性來(lái)檢驗(yàn)其是否滿足RIP特性.而式（6）中，Ψ 為所有訓(xùn)練樣本的光譜向量排列矩陣，每一列光譜向量及每一維的光譜值間相關(guān)性很強(qiáng)，因此并不滿足RIP準(zhǔn)則.理論證明［10］，如果測(cè)量矩陣中每個(gè)元素服從均值為0且方差為1／N的嚴(yán)格子高斯分布，該測(cè)量矩陣滿足RIP準(zhǔn)則；當(dāng)時(shí)可以高概率地重構(gòu)原始信號(hào)，其中N為測(cè)量值個(gè)數(shù)，M為高維信號(hào)的維數(shù)，K為稀疏度，κ1為任意值.因此，采用隨機(jī)矩陣來(lái)逼近滿足嚴(yán)格子高斯分布的測(cè)量矩陣.引入隨機(jī)矩陣RP×N到式（6）兩側(cè)，得到，

其中x′為隨機(jī)映射后的低維光譜向量，維數(shù)為P；Ψ′為隨機(jī)測(cè)量矩陣，P?N，N為原始光譜向量的維數(shù).矩陣R 滿足嚴(yán)格子高斯分布，應(yīng)用隨機(jī)矩陣到式（6）的兩側(cè)可降低Ψ 中每一列的相關(guān)性，并使得測(cè)量矩陣Ψ′的每一列滿足嚴(yán)格子高斯分布，進(jìn)而改善測(cè)量矩陣滿足RIP條件.同時(shí)，隨機(jī)矩陣通過(guò)投影能夠減少光譜向量x的維數(shù)，降低重構(gòu)系數(shù)向量的計(jì)算量.常用的隨機(jī)映射矩陣有均值為0且方差為1的高斯分布矩陣或伯努利隨機(jī)矩陣.此外，可以看出投影維數(shù)P對(duì)式（7）中Θ 及分類結(jié)果產(chǎn)生影響.

2.3 系數(shù)向量的非負(fù)重構(gòu)及高光譜影像分類

式（7）中，由于P?N?M，系數(shù)向量Θ 并不存在唯一解，其求解過(guò)程是一個(gè)非凸問(wèn)題.通常，Θ 的非零元素通過(guò)求解式（8）的非線性優(yōu)化問(wèn)題得到：

式（8）可通過(guò)平滑L0范數(shù)的方法來(lái)求解，利用穩(wěn)定的連續(xù)方程來(lái)逼近不連續(xù)的L0范數(shù)，通過(guò)最小化連續(xù)方程得到最優(yōu)L0范數(shù)［12］.

另一方面，通常采用L1范數(shù)代替L0范數(shù)來(lái)松弛式（8）得到凸優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)考慮到實(shí)際優(yōu)化過(guò)程中的重構(gòu)誤差，得到：

其中，σ為設(shè)定的重構(gòu)誤差，通過(guò)交叉驗(yàn)證獲得.對(duì)式（9）的求解稱為基追蹤（L1范數(shù)最?。?3］，通常采用線性凸規(guī)劃保證L1范數(shù)收斂到全局最小，得到最優(yōu)解.此外，限定系數(shù)向量的稀疏度K，式（8）的L0范數(shù)最小也可轉(zhuǎn)換為

式（10）可通過(guò)貪婪算法，如正交匹配追蹤［14］，通過(guò)迭代選擇局部最優(yōu)解來(lái)逼近原始信號(hào)，得到重構(gòu)理想情況下，根據(jù)恢復(fù)的系數(shù)向量中的非零元素位置，可判別該像元所屬的地物類別.然而由于噪聲的影響，非零元素可能出現(xiàn)在多種地物類別對(duì)應(yīng)的位置上.因此，采用每一類訓(xùn)練樣本對(duì)應(yīng)的重構(gòu)誤差來(lái)判斷該地物類別［15］.通過(guò)式（11）中二階范數(shù)計(jì)算得到該像元對(duì)每一類訓(xùn)練樣本的重構(gòu)誤差，其最小值對(duì)應(yīng)的類別則為該像元的地物類別，

其中：r＝1，2，…，c.

2.4 高光譜影像RM－NSR的分類流程

高光譜影像RM－NSR分類的流程如下：①基于歸一化的高光譜訓(xùn)練樣本，利用式（6）構(gòu)造矩陣Ψ；②構(gòu)造隨機(jī)矩陣R，利用式（7）得到隨機(jī)測(cè)量矩陣Ψ′及隨機(jī)矩陣投影后的低維光譜向量x′；③針對(duì)式（8）—（10）中不同的目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，采用對(duì)應(yīng)的算法得到恢復(fù)的高維稀疏系數(shù)向量；④對(duì)每一像元，計(jì)算得到每一類別的重構(gòu)誤差，利用式（11）中的最小重構(gòu)誤差確定其類別.

3 實(shí)驗(yàn)和分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

Urban高光譜數(shù)據(jù)是從美國(guó)陸軍地理空間中心獲取的HYDICE 數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)采集于1995年10 月，空間分辨率為2m，光譜分辨率為10nm.影像大小為307×307像素，覆蓋美國(guó)德克薩斯州科帕拉斯區(qū)域（靠近胡德堡），如圖1所示.對(duì)原始的210波段數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，移除噪聲波段區(qū)間［1－4，76，87，101－111，136－153，198－210］，剩余162個(gè)波段，包含22種主要地物.PaviaU 高光譜數(shù)據(jù)來(lái)自于西班牙巴斯克大學(xué)計(jì)算智能課題組，影像覆蓋帕維亞大學(xué)區(qū)域，共103波段，空間分辨率為1.3m，如圖2所示.影像為較大數(shù)據(jù)集中的一部分，包含350×340像素，波段數(shù)為103，包含9類地物（包括陰影）.數(shù)據(jù)1和數(shù)據(jù)2中每一類地物中訓(xùn)練和測(cè)試樣本的信息見表1.

表1 Urban和PaviaU 數(shù)據(jù)中訓(xùn)練和測(cè)試樣本信息Tab.1 The information of training and testing samples in Urban and PaviaU datasets

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

采用RM－NSR 模型對(duì)Urban數(shù)據(jù)和PaviaU 數(shù)據(jù)進(jìn)行分類實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證RM－NSR 模型提高分類精度的有效性.同時(shí)，研究隨機(jī)投影的維數(shù)P對(duì)分類精度的影響，以更好把握分類模型.為了綜合評(píng)價(jià)RMNSR 模型的分類結(jié)果，求解模型下的三種常用的目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，得到非負(fù)系數(shù)向量.其中，式（7）中采用均值為0方差為1／P的隨機(jī)矩陣，式（8）采用非負(fù)約束的平滑L0重構(gòu)算法（R＋L0），式（9）采用非負(fù)約束的基追蹤算法（R＋L1），式（10）采用非負(fù)約束的正交投影追蹤算法（R＋OMP）.在此基礎(chǔ)上，對(duì)比傳統(tǒng)SR 模型采用的L0、基追蹤（L1）和OMP 算法得到的分類結(jié)果.

（1）分類結(jié)果分析

Urban數(shù)據(jù)的RM－NSR 模型和傳統(tǒng)SR 模型的分類結(jié)果對(duì)比見表2.其中，RM－NSR 模型中投影維數(shù)P為60.R＋L0 和L0 中最小重構(gòu)誤差閾值為0.000 1，迭代次數(shù)為100，重構(gòu)誤差下降因子為0.5；R＋L1和L1中重構(gòu)誤差閾值為0.000 1；R＋OMP和OMP中，重構(gòu)誤差閾值為0.000 1，迭代次數(shù)為10.RM－NSR 的R＋L0比SR 模型中L0 的平均分類精度高5.29%，R＋L1比L1分類精度高5.06%，而R＋OMP比OMP的分類精度高5.08%.單一地物分類結(jié)果中，大多數(shù)地物的R＋L0分類精度都比L0都較大幅度提高，如第4類的Vegpasture和第6類的VegTrees01.每一類地物的R＋L1的分類結(jié)果比L1也有很大改進(jìn)，尤其第3類的Concrete01.此外，R＋OMP的單個(gè)地物分類精度很多達(dá)到100%，相比OMP有很大提升.三種不同重構(gòu)方法的分類結(jié)果對(duì)比說(shuō)明，RM－NSR 模型能夠明顯改善傳統(tǒng)SR模型對(duì)Urban 數(shù)據(jù)的分類精度，平均提高約5.14%.

表2 Urban數(shù)據(jù)分類結(jié)果對(duì)比Tab.2 The contrast in classification results for Urban dataset

PaviaU 數(shù) 據(jù) 的RM－NSR 模 型 與 傳 統(tǒng)SR 模 型的分類結(jié)果對(duì)比見表3.其中，RM－NSR 模型中隨機(jī)矩陣的投影維數(shù)P為50.R＋L0和L0中最小重構(gòu)誤差閾值為0.001，迭代次數(shù)為80，重構(gòu)誤差下降因子為2；R＋L1和L1中重構(gòu)誤差閾值為0.001；R＋OMP和OMP中，重構(gòu)誤差與之為0.001，迭代次數(shù)為15.由表3 可以看出，RM－NSR 的R＋L0 比L0的平均分類精度提高3.87%，R＋OMP 比OMP 的分類結(jié)果精度高4.33%，而R＋L1相比L1分類精度增幅最大，為5.64%.第1 類Asphalt和第3 類Gravel的R＋L0分類精度相比L0增幅最大，分別為11.39%和10.73%.R＋L1和L1的每一類的分類結(jié)果對(duì)比中，第5類Painted metal sheets的分類結(jié)果提升明顯，大于22%.相比R＋L0和R＋L1，R＋OMP的單類精度增幅較為均勻.三類重構(gòu)方法的分類結(jié)果對(duì)比說(shuō)明，相比SR 模型，RM－NSR 能夠明顯提高PaviaU 數(shù)據(jù)的分類精度，平均約4.61%.

表3 PaviaU 數(shù)據(jù)分類結(jié)果對(duì)比Tab.3 The contrast in classification results for PaviaU dataset

（2）隨機(jī)矩陣中投影維數(shù)P的影響

實(shí)驗(yàn)證明隨機(jī)矩陣R能夠明顯改善傳統(tǒng)SR 模型的分類結(jié)果，然而式（7）中隨機(jī)矩陣的投影維數(shù)P對(duì)結(jié)果有很大影響.因此，需要研究P對(duì)分類精度的關(guān)系，確定合適的P來(lái)保證分類結(jié)果的改善.圖3為Urban和PaviaU 數(shù)據(jù)的RM－NSR 模型中投影維數(shù)P與平均精度的關(guān)系圖.其中，R＋L0、R＋L1和R＋OMP的重構(gòu)誤差及迭代次數(shù)設(shè)置與前面實(shí)驗(yàn)保持一致，P的區(qū)間為［3，100］.

圖3 中隨機(jī)矩陣的投影維數(shù)P 與平均分類精度的關(guān)系Fig.3 The relationship between the projected dimension P and the average classification accuracy for Urban and PaviaU datasets

從圖3a看出，當(dāng)投影維數(shù)P較?。ㄐ∮?）時(shí)，三種重構(gòu)方法得到的分類精度都很低.隨著P增大，平均分類精度開始急速提升，在P＝22左右達(dá)到較高值且大于SR 模型的分類精度.然而，在P＞22后，分類精度增長(zhǎng)開始緩慢，隨著投影維數(shù)增加而波動(dòng)性地增長(zhǎng)，呈現(xiàn)較為穩(wěn)定的趨勢(shì).同樣，圖3b 的PaviaU 數(shù)據(jù)中，當(dāng)P較小時(shí)，分類精度隨著投影維數(shù)的增加而急劇增大，在P＝10（類別個(gè)數(shù)為9）左右達(dá)到較高值；在P＞10后，隨著投影維數(shù)增大，分類精度較為穩(wěn)定并伴隨小幅波動(dòng)，總體大于SR 模型的分類結(jié)果.總結(jié)得到以下結(jié)論：過(guò)小的投影維數(shù)將產(chǎn)生較低的分類精度；當(dāng)投影維數(shù)P明顯小于類別數(shù)時(shí)，隨著P的增大，分類精度急劇增大并在一定數(shù)值后達(dá)到較高的值；此后，隨著P的增大，分類精度整體緩慢上升同時(shí)呈現(xiàn)小幅的波動(dòng)趨勢(shì).考慮實(shí)際RM－NSR 模型對(duì)高光譜影像分類精度提高的要求，應(yīng)選取較大的且大于類別個(gè)數(shù)的投影維數(shù).

4 結(jié)論和展望

本文提出隨機(jī)矩陣－非負(fù)稀疏表達(dá)（RM－NSR）分類模型來(lái)改進(jìn)常規(guī)的稀疏表達(dá)（SR）分類模型，以改善高光譜影像的分類精度.通過(guò)采用隨機(jī)矩陣來(lái)改善各類別的光譜向量的排列矩陣，形成新的每列滿足嚴(yán)格子高斯分布的測(cè)量矩陣，從而改善測(cè)量矩陣滿足的RIP條件.同時(shí)，對(duì)重構(gòu)的高維稀疏向量附加非負(fù)約束，提高系數(shù)向量的可解釋性以符合實(shí)際.基于兩個(gè)不同的高光譜數(shù)據(jù)，針對(duì)三種常用的優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)比RM－NSR 和SR 模型的三種重構(gòu)方法得到的分類結(jié)果.實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)三種重構(gòu)方法，RMNSR 模型能夠明顯提升SR 模型用于高光譜影像分類的平均精度.此外，隨機(jī)矩陣的投影維數(shù)對(duì)平均精度的影響研究表明，較小的投影維數(shù)將導(dǎo)致較低的分類精度，平均精度隨著投影維數(shù)的增加先急劇增大后增長(zhǎng)緩慢.在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)選用較大的投影維數(shù)來(lái)保證RM－NSR 模型用以提高分類精度.然而，RM－NSR 分類模型中的重構(gòu)誤差的設(shè)定通過(guò)人為設(shè)定來(lái)獲得.在接下來(lái)工作中，將研究重構(gòu)誤差σ的優(yōu)化設(shè)置來(lái)進(jìn)一步推廣本文的方法.

致謝：感謝美國(guó)馬里蘭大學(xué)帕克分校數(shù)學(xué)系諾伯特維納中心的J J Benedetto教授、Wojciech Czaja副教授、王蓉蓉和Yen－ming Mark Lai博士對(duì)本論文的指導(dǎo)和幫助.

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