高溫后混凝土斷裂韌度及其權(quán)函數(shù)計(jì)算法

俞可權(quán)，商興艷，陸洲導(dǎo)

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092）

1976年Hillerborg提出了虛擬裂縫模型［1］，該模型認(rèn)為可將混凝土裂縫端部的微裂縫區(qū)視為一虛擬的可傳遞應(yīng)力的裂縫，縫上各點(diǎn)傳遞應(yīng)力的大小根據(jù)該點(diǎn)變形值而定.在Hillerborg研究基礎(chǔ)上，Bazant提出了鈍裂縫帶模型（CBM）［2］.20世紀(jì)80年代以來，以虛擬裂縫模型FCM 和斷裂帶模型CBM 為基礎(chǔ)的混凝土非線性斷裂力學(xué)取得了迅速的發(fā)展，許多反映裂縫擴(kuò)展以及斷裂過程區(qū)（FPZ）的模型也相繼建立起來，主要有雙參數(shù)模型（TPFM）［3］，有效裂縫模型（ECM）［4］，尺寸效應(yīng)模型（SEM）［5］.

上述各類斷裂模型中，均以臨界斷裂韌度作為單一參量，在此基礎(chǔ)上，徐世烺等［6－8］觀察了混凝土材料裂縫發(fā)展的全過程，提出了雙K（開裂韌度和失穩(wěn)韌度）斷裂模型及其斷裂控制參數(shù)的閉合積分解析解，隨后提出了實(shí)用的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并使用三點(diǎn)彎曲梁和楔入劈拉試件驗(yàn)證了簡(jiǎn)化公式的合理性.張秀芳等［9］采用權(quán)函數(shù)法計(jì)算黏聚斷裂韌度的計(jì)算公式，計(jì)算混凝土雙K斷裂韌度，發(fā)現(xiàn)其與積分法計(jì)算的黏聚韌度具有很好的吻合性.

在常溫混凝土斷裂性能研究的基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者對(duì)高溫后混凝土的斷裂性能也進(jìn)行了廣泛研究，且多集中于材料斷裂能方面［10－12］，對(duì)斷裂韌度的研究開展較少［13－14］，在研究中未考慮裂縫的亞臨界擴(kuò)展，其計(jì)算結(jié)果值得商榷.

本文采用楔入劈拉法試件，研究高溫后混凝土斷裂性能，確定混凝土在各溫度下的開裂韌度KiniIc和失穩(wěn)韌度KunIc，采用Petersson雙線性軟化曲線計(jì)算黏聚韌度，并通過權(quán)函數(shù)法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，以期對(duì)雙K斷裂模型在高溫后混凝土的適用性進(jìn)行論證.

1 積分法計(jì)算高溫后混凝土黏聚斷裂韌度

黏聚韌度由虛擬裂縫上的黏聚應(yīng)力積分得到，黏聚應(yīng)力的不同分布將對(duì)臨界黏聚韌度KcIc的計(jì)算造成直接影響.本文采用Petersson雙線性軟化曲線來確定高溫后混凝土黏聚斷裂韌度，其具體形式如下：

式中：σs為雙線性軟化曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)處應(yīng)力；ft為高溫后混凝土抗拉強(qiáng)度；ws為雙線性軟化曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的張開位移；GF為高溫后混凝土斷裂能；w0為黏聚力為零處的裂縫張開寬度.

在文獻(xiàn)［15］的分析中，指出對(duì)于小尺寸試件而言，當(dāng)達(dá)到最大荷載時(shí)，臨界裂縫尖端張開位移μc 不大于雙線性軟化曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的張開位移，即μc≤ws（圖1a），因此用單線性函數(shù)來計(jì)算臨界黏聚韌度的大?。坏菍?duì)于大尺寸試件，μc 則明顯大于ws（圖1b），此時(shí)應(yīng)用雙線性函數(shù)計(jì)算臨界黏聚韌度值.

圖1 臨界裂縫尖端張開位移μc 與軟化曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)位移ws 的關(guān)系Fig.1 Relationship between critical crack tip opening displacement μc and softening curve turning point displacement ws

本文采用的楔入劈拉法試件雖然尺寸較小，但歷經(jīng)高溫后，試件延性增加，μc 值有可能大于式（1）提及的轉(zhuǎn)折點(diǎn)張開位移ws，故在計(jì)算黏聚韌度值時(shí)考慮以下兩種情形：

（1）裂縫失穩(wěn)前，黏聚應(yīng)力近似呈線性分布（圖2a），在臨界等效裂縫開口位移ac范圍內(nèi)，任意等效裂縫位置x處的黏聚應(yīng)力為

式（2），（3）中：σ（μc）為臨界狀態(tài)下預(yù)制縫端（x＝a0，a0為裂縫預(yù)制長(zhǎng)度）開口位移達(dá)到μc 時(shí)的黏聚力；σs（ws）為軟化曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)處應(yīng)力；ac為臨界裂縫開口位移.

臨界黏聚韌度KcIc可采用下式計(jì)算［16］：

（2）裂縫失穩(wěn)前，當(dāng)黏聚力如圖2b所示時(shí)，其黏聚力表達(dá)式如下：

式中：as為裂縫張開口位移等于ws時(shí)對(duì)應(yīng)的等效裂縫長(zhǎng)度，求解非線性方程就可獲得等效裂縫長(zhǎng)度as［3］.

式中：δc為裂縫開口位移.

此時(shí)，黏聚韌度通過下式計(jì)算：

圖2 裂縫失穩(wěn)前黏聚應(yīng)力分布情況Fig.2 Distribution of cohesive stress before unstable crack propayation

2 權(quán)函數(shù)法計(jì)算混凝土黏聚斷裂韌度

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述黏聚韌度公式計(jì)算的準(zhǔn)確性，本文繼續(xù)采用權(quán)函數(shù)方法計(jì)算臨界黏聚韌度.

（1）當(dāng)μc≤ws時(shí)，對(duì)應(yīng)的黏聚應(yīng)力分布見圖2a，根據(jù)文獻(xiàn)［17］計(jì)算得到采用四項(xiàng)權(quán)函數(shù)的黏聚韌度表達(dá)式為

具體公式參見文獻(xiàn)［17］.

（2）當(dāng)w0＞μc＞ws時(shí)，對(duì)應(yīng)的黏聚應(yīng)力分布見圖2b，采用四項(xiàng)權(quán)函數(shù)形式，得到黏聚韌度表達(dá)式為

3 雙K 斷裂韌度的計(jì)算［7］

3.1 臨界有效裂縫長(zhǎng)度ac

對(duì)于高溫后混凝土試件，仍然根據(jù)線彈性漸進(jìn)疊加假定，非線性的斷裂過程可簡(jiǎn)化為一系列的線性疊加過程.當(dāng)外荷載達(dá)到最大值Pmax時(shí)，裂縫開口位移δc也達(dá)到最大，裂縫長(zhǎng)度從預(yù)制長(zhǎng)度a0發(fā)展到臨界有效裂縫ac.從實(shí)測(cè)的荷載—位移（P－δ）曲線上讀取Pmax和臨界裂縫張開位移δc，代入式（5），即可得臨界有效裂縫長(zhǎng)度ac.

式中：h為楔入劈拉試件高度；h0為裂縫張口處刀口厚度；δc為高溫后試件臨界裂縫張開口位移；E為彈性模量；t為試件厚度；Pmax為峰值荷載.

3.2 起裂韌度與失穩(wěn)韌度

根據(jù)線彈性漸進(jìn)疊加假定，起裂斷裂韌度與失穩(wěn)斷裂韌度的計(jì)算仍可采用線彈性斷裂力學(xué)中的公式.將試驗(yàn)測(cè)得的起裂荷載Pini，a0，Pmax和計(jì)算得到的ac代入下式，可得失穩(wěn)韌度

式中：f（α）為試件形狀參數(shù)，具體公式參見文獻(xiàn)［7］.

根據(jù)雙K斷裂韌度理論，起裂韌度失穩(wěn)韌度和黏聚韌度三者之間的定量關(guān)系為

考慮到混凝土在歷經(jīng)高溫后的起裂韌度相對(duì)失穩(wěn)韌度較?。?00 ℃時(shí)兩者比值為1／5），對(duì)于高溫后混凝土主要考慮其失穩(wěn)韌度.本文中，將實(shí)測(cè)失穩(wěn)斷裂韌度記為，將由積分與權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的失穩(wěn)斷裂韌度記為

4 試驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

采用楔入劈拉試驗(yàn)對(duì)權(quán)函數(shù)法和積分法兩種方法確定的雙K斷裂韌度進(jìn)行比較.楔入劈拉試件尺寸統(tǒng)一采用230mm×200mm×200mm，預(yù)制開口裂縫高80 mm，厚3 mm，試件形式詳見圖3（圖中b＝200 mm，d＝65 mm，h＝200 mm，f＝30 mm，a0＝80mm，θ＝15°）.試件混凝土配比（質(zhì)量比）為水泥∶砂∶石子∶水＝1∶3.44∶4.39∶0.8，粗骨料最大粒徑為16mm，標(biāo)準(zhǔn)配合強(qiáng)度為C30.每個(gè)試件內(nèi)預(yù)制裂縫附近均插有熱電偶，深入試件深度為100 mm，以測(cè)得試件中心溫度.試件自然灑水養(yǎng)護(hù)60d后，采用300mm×300mm×900mm 的電爐對(duì)混凝土試塊進(jìn)行加熱，歷經(jīng)65，120，200，300，350，400，450，500和600 ℃高溫.試件加熱至65，300，450，600 ℃的平均耗時(shí)為50，182，294，453 min.試件冷卻后采用塑料袋密封減少環(huán)境濕氣滲入.

圖3 試件幾何形式Fig.3 The geometry of specimens

圖4描述了各溫度下試件的豎向荷載Pv和裂縫開口位移δc之間的關(guān)系，隨著溫度的上升，極限荷載持續(xù)下降，而對(duì)應(yīng)的開口位移則明顯增加，試件表現(xiàn)出明顯的延性.

圖4 各溫度下典型試件的P－δ 曲線Fig.4 P－δcurves of specimens at different temperatures

表1 列出了試驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)，包括起始荷載Pini，臨界荷載Pmax及其對(duì)應(yīng)裂縫開口位移δc，彈性模量E，斷裂能GF，起裂韌度及實(shí)測(cè)失穩(wěn)斷裂韌度起裂荷載Pini采用荷載—裂縫開口位移曲線中轉(zhuǎn)折點(diǎn)進(jìn)行確定，同時(shí)利用轉(zhuǎn)折點(diǎn)前曲線的初始柔度，參照文獻(xiàn)［7］的公式計(jì)算彈性模量E.由積分法計(jì)算得到的黏聚斷裂韌度及失穩(wěn)斷裂韌度由權(quán)函數(shù)法計(jì)算得到的黏聚斷裂韌度及失穩(wěn)斷裂韌度也列入表1.

由表1可知，在總共45個(gè)有效試件中，當(dāng)采用積分法計(jì)算時(shí)，計(jì)算失穩(wěn)韌度與實(shí)測(cè)失穩(wěn)韌度的誤差在5%以內(nèi)的試件共有22個(gè)，占49%，誤差在15%以內(nèi)的試件共40個(gè)，占89%；當(dāng)采用權(quán)函數(shù)法計(jì)算時(shí)，計(jì)算失穩(wěn)韌度Kun－wfIc與實(shí)測(cè)失穩(wěn)韌度Kun－EIc的誤差在5%以內(nèi)的試件共有20個(gè)，占45%，誤差在15%以內(nèi)的試件共42個(gè)，占93%，表明雙K斷裂模型適用于高溫后混凝土斷裂性能的描述；積分法與權(quán)函數(shù)法計(jì)算的黏聚韌度的誤差在5%以內(nèi)的試件占65%，顯示出兩者具有很好的吻合性.

表1 不同方法計(jì)算的混凝土失穩(wěn)韌度值的比較Tab.1 Comparison of unstable fracture toughness determined by weight function approach and analytical approach

5 結(jié)論

本文采用楔入劈拉法對(duì)高溫后混凝土的斷裂性能進(jìn)行研究，設(shè)置20～600 ℃共10組溫度，在總共45個(gè)有效試件中，計(jì)算失穩(wěn)韌度Kun－IIc與實(shí)測(cè)失穩(wěn)韌度Kun－EIc的誤差完全在工程可控范圍內(nèi)，由此論證了雙K斷裂準(zhǔn)則對(duì)于高溫后混凝土的適用性.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用權(quán)函數(shù)法對(duì)黏聚韌度進(jìn)行計(jì)算并與積分法計(jì)算值進(jìn)行比較，兩者誤差較小，具有很好的吻合性，權(quán)函數(shù)法具有較高的計(jì)算精度.

［1］ Hillerborg A，Modeer M，Petersson P E.Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements ［J］.Cement and Concrete Research，1976，6（6）：773.

［2］ Bazant Z P，Oh B－H.Crack band theory for fracture of concrete［J］.Materials and Structures（RILEM），1983，16（93）：155.

［3］ Jenq Y S，Shah S P.Two parameter fracture model for concrete［J］.Journal of Engineering Mechanics，1985，111（10）：1227.

［4］ Nallathambi P，Karihaloo B L.Determination of specimen－size independent fracture toughness of plain concrete［J］.Magazine of Concrete Research，1986，38（135）：67.

［5］ Size effect in blunt fracture：concrete，rock，metal［J］.Journal of Engineering Mechanics，1983，110（4）：518.

［6］ 徐世烺.混凝土斷裂機(jī)理［D］.大連：大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院，1988.XU Shilang.Fracture mechanism of concrete ［D］.Dalian：College of Civil Engineering of Dalian University of Technology，1988.

［7］ Xu S L，Reinhardt H W.Determination of double－Kcriterion for crack propagation in quasi－brittle fracture，Part I，II，III［J］.International Journal of Fracture，1999，98（2）：111.

［8］ Xu S L，Reinhardt H W.A simplified method for determining double－Kfracture parameters for three－point bending tests［J］.International Journal of Fracture，2000，104（2）：181.

［9］ 張秀芳，徐世烺.權(quán)函數(shù)法計(jì)算的混凝土斷裂韌度［J］.工程力學(xué)，2011，28（4）：58.ZHANG Xiufang，XU Shilang.Fracture toughness of concrete determined using weight function approach ［J］.Engineering Mechanics，2011，28（4）：58.

［10］ Baker G.The effect of exposure to elevated temperatures on the fracture energy of plain concrete［J］.Materials and Structures，1996，29（190）：383.

［11］ Zhang B，Bicanic N，Pearce C J，et al.Residual fracture properties of normal－and high－strength concrete subject to elevated temperatures ［J］.Magazine of Concrete Research，2000，52（2）：123.

［12］ Nielsen C V，Bicanic N.Residual fracture energy of highperformance and normal concrete subject to high temperatures［J］.Materials and Structures，2003，36（262），515.

［13］ Hisham Abdel－Fattah，Hanoush A S.Variation of the fracture toughness of concrete with temperature ［J］.Construction Building and Materials，1997，11（2）：105.

［14］ Prokopski G.Fracture toughness of concretes at high temperature［J］.Journal of Materials Science，1995，30：1609.

［15］ XU S.Determination of parameters in the Bilinear，Reinhardt’s and exponentially nonlinear softening curves and their physical meanings［C］／／Werkstoffe und Werkstoffprufung im Bauwesen.Hamburg：Libri BOD，1999：410－424.

［16］ 中國(guó)航空研究院.應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)［M］.北京：科學(xué)出版社，1981.Aviation Institute of China.Stress intensity factor handbook［M］.Beijing：Science Press，1981.

［17］ Kumar S，Barai S V.Determination the double－Kfracture parameters for compact tension and wedge splitting tests using weight function ［J］.Engineering Fracture Mechanics，2009，76：935.