基于非達(dá)西滲流的砂井地基徑向固結(jié)解

李文翔，劉曙光，蔡 奕，阮春生

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092；2.中交第三航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，上海200032）

在沿海地區(qū)的工程建設(shè)中，經(jīng)常會(huì)遇到含水量大、承載力低、壓縮量高的軟土地基.通過在軟土地基中打設(shè)砂井可以改變土體的排水路徑，形成砂井地基，促使土體提高固結(jié)速率從而達(dá)到增加地基承載力、控制工后沉降等目的.1948 年Barron［1］首先提出了砂井軸對稱固結(jié)理論，此后Hansbo等［2］給出了等應(yīng)變條件下考慮井阻和涂抹作用的砂井地基固結(jié)解，謝康和等［3］推導(dǎo)了等應(yīng)變條件下考慮徑豎向組合滲流的沙井固結(jié)方程并得到了解析解.砂井固結(jié)理論在不斷完善［2－8］.

但是，這些成果大多是在假定土層中孔隙水滲流特性符合達(dá)西定律的基礎(chǔ)上取得的.大量研究證明［5－8］，在軟黏土中滲流特性往往會(huì)偏離達(dá)西定律，表現(xiàn)出非線性和存在起始水力梯度的非達(dá)西特征.軟黏土中常含有大量的親水物質(zhì)，土顆粒周圍因存在結(jié)合水而呈現(xiàn)黏滯性，只有克服結(jié)合水的黏滯阻力后，滲流才會(huì)發(fā)生.而克服此黏滯力所需的水力梯度，稱為起始水力梯度.由于存在起始水力梯度，使得軟黏土中的滲流特性偏離達(dá)西定律，進(jìn)而會(huì)對軟黏土地基的固結(jié)性狀產(chǎn)生影響.齊添等［4］利用GDS固結(jié)儀對蕭山黏土進(jìn)行了固結(jié)滲透聯(lián)合試驗(yàn)，研究了滲流速度與水力梯度的非線性關(guān)系，結(jié)果表明，黏土中的滲流呈現(xiàn)出非達(dá)西特性.Hansbo［5］在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了指數(shù)形式的滲流模型，并將其引入砂井地基固結(jié)理論劉忠玉等［6－7］、周琦等［8］對考慮起始水力梯度時(shí)軟黏土的固結(jié)情況進(jìn)行了研究，但都未給出顯式解.

本文將考慮起始水力梯度的非達(dá)西滲流模型引入了砂井地基固結(jié)理論，建立了相應(yīng)的控制方程，并通過推導(dǎo)給出了其顯式解.最后通過計(jì)算分析，研究了考慮起始水力梯度時(shí)砂井地基的固結(jié)性狀.

1 模型的建立

1.1 計(jì)算簡圖及基本假定

砂井地基固結(jié)計(jì)算簡圖如圖1所示.圖中l(wèi)為砂井計(jì)算長度，H為土層的厚度，單面排水時(shí)l＝H.本文不考慮涂抹作用，re為砂井的影響區(qū)土體半徑，rw為砂井半徑，de為砂井的影響區(qū)土體直徑，kh為地基水平滲透系數(shù)，kv為地基豎向滲透系數(shù)，kw為砂井滲透系數(shù)，q0為瞬時(shí)施加并在固結(jié)過程中保持不變的均布荷載.r，z分別為徑向和豎向坐標(biāo).

圖1 砂井地基固結(jié)計(jì)算簡圖Fig.1 Schematic diagram for consolidation computation of sand drains foundation

采用如圖2所示的考慮起始水力梯度的滲流模型取代達(dá)西滲流模型，其數(shù)學(xué)模型可以表示為

式中：v為孔隙水滲流速度；i為水力梯度；ib為起始水力梯度；k為圖中直線的斜率，即土體的滲透系數(shù)；b＝－kib.除此之外，采用與傳統(tǒng)砂井固結(jié)理論相似的假定，即

（1）等應(yīng)變條件成立，即假定在砂井影響區(qū)范圍內(nèi)同一水平面上各點(diǎn)的土體豎向變形相等.

（2）砂井地基固結(jié)過程中，徑向和豎向滲流可以分別單獨(dú)考慮.本文只考慮徑向滲流情況，且認(rèn)為固結(jié)開始時(shí)滲流前鋒面已到達(dá)re.

（3）土體完全飽和，且孔隙水的滲流情況服從式（1）表示的非達(dá)西滲流模型.

（4）在任一深度處，從土體中沿井周流入砂井的水量等于從砂井流出的水量增量.

（5）H深度處為不透水土層，且認(rèn)為影響區(qū)徑向re外也為不透水區(qū)域.

（6）除了滲透系數(shù)之外，砂井與土體的其他性質(zhì)相同.

圖2 考慮起始水力梯度的非達(dá)西滲流模型Fig.2 The non－Darcy seepage model with a consideration of initial hydraulic gradient

1.2 控制方程及定解條件

根據(jù)基本假定［1－3，9］，用式（1）代替達(dá)西定律的公式，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到考慮起始水力梯度的砂井地基固結(jié)控制方程為

式中：γw為孔隙水重度；εv為僅考慮徑向滲流時(shí)砂井影響區(qū)內(nèi)土體任一點(diǎn)的體積應(yīng)變；ur為影響區(qū)內(nèi)土體中任一點(diǎn)的孔壓；uw為砂井內(nèi)任一深度的孔壓為影響區(qū)內(nèi)土體中任一深度的平均孔壓；t為時(shí)間；Es為土體壓縮模量.其中

模型的定解條件為

其中u0為施加q0后在土體中產(chǎn)生的初始孔壓.

把控制方程（2），（3），（4）和定解條件①，②，③，④，⑤結(jié)合在一起，就構(gòu)成了考慮起始水力梯度的砂井地基固結(jié)的定解問題.

2 方程求解

對式（2）兩邊關(guān)于r積分，并利用定解條件②，可以得到

將式（6）代入式（3），并整理可得

對式（6）兩邊再次關(guān)于r積分，并利用定解條件①，可以得到

將式（8）代入式（5），并計(jì)算整理可得

為了簡化方程，可以設(shè)則式（9）可以簡寫為

聯(lián)立式（4），（7），（12），可以得到可以設(shè)

則式（13），（14）可以寫為

式（19）兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，可得

并且由式（19）可得

將式（21）代入式（18）可得

再將式（22）代入式（20），整理可得

可見，式（23）為非齊次偏微分方程，不能直接通過分離變量法求解，需要對其進(jìn)行代換處理.令

式（23）可以改寫為

同時(shí)，定解條件③，④可寫為

選取W（z）使得其滿足

可以解得

而對于V（z，t）則有

可以使用分離變量法對其求解.設(shè)

將其代入式（28a），則有

設(shè)式（30）比值為－η2，由于左式不依賴于t，右式不依賴于z，因此－η2既不依賴于t又不依賴于z，它只能是常數(shù)，其數(shù)值待定.于是有

分別對式（31），（32）求解，可以得到

式中：C1，C2，C3為待定系數(shù).將式（33），（34）代入式（29）有式中：A，B為待定系數(shù)，其中A為C1或C3，B為C1或C2.

利用求解條件（28b），（28c），可得

為了使得V（z，t）有非零解，應(yīng)當(dāng)有

于是有

將式（27），（28）代入式（24），有

將式（39）代入式（19）可得

由式（40）和初始條件⑤，可得

再利用函數(shù)系

在區(qū)間［0，l］上的正交性質(zhì)，可得

聯(lián)立式（4），（8），（39），（40），（44）可得

地基任一深度的徑向固結(jié)度Ur為

若不考慮井阻作用，kw→∞，F(xiàn)c＝0，Br＝λ，并由級數(shù)理論，可以證明［3］

式（45），（46），（47），（48），（49），（51）即為本文的解.可見，若將b＝0 代入，本文的解與文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［10］的結(jié)果相同，即本文解可以退化為傳統(tǒng)砂井地基固結(jié)理論解.

3 算例分析

由本文解的形式可以看出，考慮起始水力梯度的砂井地基固結(jié)解與傳統(tǒng)理論解的差異大小，會(huì)受到參數(shù)b，u0和re的影響.根據(jù)文獻(xiàn)［11－12］的研究，起始水力梯度的取值范圍在0～13之間.圖3為不同的起始水力梯度下，砂井地基的固結(jié)曲線.考慮起始水力梯度時(shí)，砂井地基在經(jīng)歷長時(shí)間固結(jié)后，其最終的應(yīng)力固結(jié)度將不會(huì)達(dá)到100%，而是會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)小于100%的數(shù)值上.最終的固結(jié)度會(huì)隨著起始水力梯度的增加而減小.圖3中，當(dāng)ib分別為2，4，6，8，10時(shí)，最終固結(jié)度分別為87%，75%，62%，50%，37%.

圖3 起始水力梯度對固結(jié)度的影響Fig.3 Influence of initial hydraulic gradient on consolidation rate

圖4為取不同的影響區(qū)半徑情況下，砂井地基的固結(jié)曲線.可見當(dāng)re逐漸增大時(shí)，最終的固結(jié)度逐漸減小.當(dāng)re分別為0.40，0.45，0.50，0.55，0.60m時(shí)，最終固結(jié)度分別為91%，89%，87%，85%，83%.

圖4 影響區(qū)半徑對固結(jié)度的影響Fig.4 Effect of influence zone radii on consolidation rate

圖5 初始孔壓對固結(jié)度的影響Fig.5 Influence of initial pore water pressure on consolidation rate

圖5為不同的初始孔壓下，砂井地基的固結(jié)曲線.可見當(dāng)u0逐漸增大時(shí)，最終的固結(jié)度也逐漸增大.因?yàn)楣探Y(jié)壓力越大，在土體中產(chǎn)生的水力梯度越大，這有利于滲流的發(fā)生，使得孔壓消散更為充分.但是，由圖5可以發(fā)現(xiàn)，u0每增加20kPa時(shí)，對最終固結(jié)度的影響程度是不一樣的.當(dāng)u0從40kPa增加到100kPa時(shí)，最終的固結(jié)度從69%增加到87%，但是，若再繼續(xù)增加u0則對最終的固結(jié)度影響不大.可以認(rèn)為在本算例中，當(dāng)u0達(dá)到100kPa后，最終的固結(jié)度對u0的靈敏度降低.

4 結(jié)論

（1）本文將考慮起始水力梯度的非達(dá)西滲流模型引入沙井地基固結(jié)理論，建立相應(yīng)的控制方程，并通過詳細(xì)的推導(dǎo)，給出了便于應(yīng)用的顯示解答.該解答可以退化為達(dá)西滲流模型的固結(jié)理論解.

（2）研究了考慮起始水力梯度時(shí)砂井地基的固結(jié)性狀.結(jié)果表明，由于起始水力梯度的存在，應(yīng)力固結(jié)度最終將穩(wěn)定在一個(gè)小于100%的數(shù)值上，最終的固結(jié)度隨著起始水力梯度增大而減小.

（3）考慮起始水力梯度存在時(shí)，影響區(qū)半徑和初始孔壓也會(huì)對砂井地基的固結(jié)性狀產(chǎn)生影響.re越大，最終達(dá)到的應(yīng)力固結(jié)度越?。籾0越大，最終達(dá)到的應(yīng)力固結(jié)度越大.但是需要注意的是，當(dāng)u0增大到某一個(gè)值之后，若再繼續(xù)增加u0則對最終的固結(jié)度影響不大.在本文算例中u0增大到100kPa之后，最終固結(jié)度對u0的靈敏度降低.

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