基于比例積分控制器的恒定相移低通濾波電路

王 帥，劉文怡，王紅亮，符多鐸

（1.中北大學(xué)電子測(cè)試技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051；2.中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051）

0 引言

在設(shè)計(jì)電路時(shí)，低通濾波器是非常重要的模塊，主要作用是從多種頻率成分的復(fù)雜信號(hào)中，將感興趣的信號(hào)提取出來(lái)。然而濾波器在濾波的同時(shí)會(huì)使輸入信號(hào)產(chǎn)生相位偏移，而這種相移（除部分FIR數(shù)字濾波器）是非線性的［1］。濾波器應(yīng)用在表面粗糙度測(cè)量時(shí)，由于2RC濾波器本身的非線性相移特性，用2RC濾波法建立的評(píng)定中線會(huì)造成表面粗糙度輪廓的嚴(yán)重失真［2］，此外，在相參雷達(dá)體系［3－4］和醫(yī)療成像［5］等領(lǐng)域也有消極影響。目前，解決問(wèn)題的主要方法是通過(guò)全通濾波器［6－7］，最優(yōu) Hankel范數(shù)算法濾波器［8］或者利用時(shí)間反轉(zhuǎn)法構(gòu)造的零相位濾波器［9］把非線性相位偏移轉(zhuǎn)換為線性相移或恒定相移，但利用全通濾波器實(shí)現(xiàn)線性相位偏移的條件苛刻，計(jì)算復(fù)雜，而且誤差較大。零相位濾波器只能通過(guò)軟件（或者虛擬儀器）實(shí)現(xiàn)，無(wú)法應(yīng)用于實(shí)際的硬件電路［9］，因?yàn)樵撍惴▽⑤斎胄盘?hào)及其時(shí)間反轉(zhuǎn)后的信號(hào)相加，也就是將未來(lái)的信號(hào)序列和現(xiàn)在的相加，在實(shí)際電路中無(wú)法實(shí)現(xiàn)。為此，本文提出基于比例積分控制器的恒定相移低通濾波電路。

1 低通濾波器與比例積分控制器

1.1 低通濾波器的相位響應(yīng)

一階低通濾波器的硬件電路如圖1所示［10］，傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

相位響應(yīng)為：

式（2）中截止頻率wH＝RC。

圖1 一階低通濾波器的電路圖Fig.1 Circuit diagram of first－order low－pass filter

1.2 比例積分控制器的相位響應(yīng)

比例積分控制器是一種線性控制，結(jié)構(gòu)如圖2所示，其表達(dá)式為：

式（3）中Kp為比例積分控制器的比例系數(shù)，調(diào)節(jié)Ti影響積分控制作用，e（t）系統(tǒng)理想輸出量r（t）和實(shí)際輸出量c（t）之間的誤差。

比例積分控制的傳遞函數(shù)的在頻域表達(dá)式為：

相位響應(yīng)為：

圖2 比例積分控制器的結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of PI controller

比例積分控制是控制工程中一種技術(shù)成熟、理論完善和應(yīng)用較為廣泛的控制策略，通過(guò)比例控制作用調(diào)節(jié)積分作用所導(dǎo)致相角滯后對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性所帶來(lái)的不利影響，通過(guò)引入積分控制作用以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能［11］。

2 基于比例積分控制器的恒定相移低通濾波電路

基于比例積分控制器的恒定相移低通濾波電路的結(jié)構(gòu)如圖3所示，包括兩個(gè)模塊：N階低通濾波器與N個(gè)比例積分控制器。該電路工作過(guò)程是：首先，設(shè)置低通濾波器的極點(diǎn)值Wn等于比例積分控制器積分時(shí)間常數(shù)Tin的倒數(shù)，即Tin＝1／Wn（其中W1是濾波器截止頻率，n＝1，2，…，N），且低通濾波器的階數(shù)與比例積分控制器的個(gè)數(shù)相同。然后，當(dāng)信號(hào)經(jīng)過(guò)N階低通濾波器濾除噪聲時(shí)，其本身產(chǎn)生相位偏移，而經(jīng)過(guò)N個(gè)比例積分控制器同樣產(chǎn)生偏移，但信號(hào)兩次偏移的和為恒定值。最后，根據(jù)濾波器的階數(shù)和比例積分控制器的個(gè)數(shù)，可以準(zhǔn)確預(yù)知信號(hào)的相位偏移。

圖3 恒定相移電路的結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure of constant phase shift system

3 驗(yàn)證

3.1 理論證明

如圖4所示，一階低通濾波器和一個(gè)比例積分控制器級(jí)聯(lián)得到系統(tǒng)的相位響應(yīng)為：

式（7）中Ti若取值Ti＝1／wH得到：

將式（8）帶入式（6）的結(jié)果為：

式（9）得到系統(tǒng)相移在整個(gè)W 中恒等于－π／2。

從前面的推理可以得出結(jié)論：當(dāng)Ti＝1／wH時(shí)，一階低通濾波器和一個(gè)比例積分控制器級(jí)聯(lián)得到系統(tǒng)的相移值在整個(gè)頻域等于－π／2。

圖4 一階低通濾波器、比例積分控制器和系統(tǒng)相移的示意圖Fig.4 Phase shift diagram of first－order low－pass filter，PI controller and the system

從這個(gè)特例推廣到N階系統(tǒng)：在N階系統(tǒng)中，如果低通濾波器的階數(shù)和比例積分控制器模塊的個(gè)數(shù)相等，且滿足低通濾波器的極點(diǎn)值等于比例積分控制器積分時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)，是否可以得到在整個(gè)頻域具有恒定相移？

圖5 N個(gè)一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的N階系統(tǒng)Fig.5 N－order system of N＊first－order systems cascaded

實(shí)現(xiàn)上述假設(shè)，需要分兩步進(jìn)行證明：

第一步：證明圖5中由N個(gè)一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的N 階系統(tǒng)相移為恒定值，且相移值為－N·π／2。

第二步：證明圖5的N階系統(tǒng)與圖3中由N階濾波器和N個(gè)比例積分控制器級(jí)聯(lián)的N階系統(tǒng)等價(jià)。

第一步的證明：

假定n＝N時(shí)，系統(tǒng)的相位偏移恒定且值為－N·π／2，當(dāng)n＝N＋1時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的相位偏移為：

式（10）中φN（ω）為N 階系統(tǒng)的相移，φ1（ω）為一階系統(tǒng)的相移，且都為常數(shù)；

則φN＋1（ω）＝A ，A 為常數(shù)

所以，當(dāng)n＝N＋1時(shí)，系統(tǒng)的相移為常數(shù)且值為－（N＋1）·π／2，因此，圖5中由N 個(gè)一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的N階系統(tǒng)相位偏移為恒定值，且偏移值為－N·π／2。

第二步的證明：

設(shè)低通濾波器、比例積分控制器和構(gòu)成的系統(tǒng)在頻域?yàn)锳u（jw），G（jw），Y（jw），則系統(tǒng)在頻域的表達(dá)式：

圖5的N 階系統(tǒng)表達(dá)式為：Yn（jω）＝Au1（jω）

根據(jù)乘法的交換律得：

而N階低通濾波器可以由N 個(gè)一階低通濾波器的形式相乘構(gòu)成：

式（15）中a1，a2，…an－1，an為實(shí)數(shù)。

而式（15）可以表示為：

所以，圖5和圖3的N階系統(tǒng)等價(jià)。

圖5的N階系統(tǒng)的相移恒定，相移值等于一階系統(tǒng)的N倍且值為－N·π／2，因此，圖3的N階系統(tǒng)也是相移恒定，系統(tǒng)的相移值是－N·π／2，其中當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)為4n時(shí)，通過(guò)系統(tǒng)的信號(hào)延遲相位為－2πn，經(jīng)過(guò)處理后最終可以使周期信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)時(shí)的相移為零。注意：N個(gè)比例積分控制器可以互不相同，即各個(gè)比例積分模塊的參數(shù)可以互不一樣，但需滿足低通濾波器極點(diǎn)值與比例積分控制器的積分時(shí)間常數(shù)Ti的關(guān)系為T(mén)in＝1／Wn（W1是截止頻率，n＝1，2，…，N）。

3.2 仿真

為驗(yàn)證前面的論述，利用MALAB軟件對(duì)一階系統(tǒng)和四階系統(tǒng)仿真分析，以此證明該電路的可行性。取一階低通濾波器的截止頻率wH＝1 000rad／s，一個(gè)比例積分控制器的Kp＝0.1，Ti＝0.001。

通過(guò)仿真對(duì)比可以得出：圖6的一階低通濾波器和圖7的一個(gè)比例積分控制器的相位響應(yīng)的曲線互為鏡像，圖8中系統(tǒng)相移的值在頻率W∈（0，＋∞）為－π／2，由于計(jì)算存在四舍五入，誤差在0.1°～0.2°。運(yùn)用一階低通濾波器和一個(gè)比例積分控制器級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)達(dá)到理論計(jì)算的值。

N階系統(tǒng)的仿真取N＝4驗(yàn)證理論的一般適用性。一方面，四階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不太復(fù)雜，需要計(jì)算的值較少，誤差相對(duì)就??；另一方面，四階系統(tǒng)的相移為－2π，對(duì)于周期信號(hào)可以實(shí)現(xiàn)零相移。取四階低通濾波器的截止頻率wH（或者W1）＝1 000rad／s，其他 極 點(diǎn) 的 值 為 W2＝ 10 000rad／s，W3＝100 000rad／s，W4＝1 000 000rad／s，所以，相對(duì)應(yīng)的四個(gè)比例積分控制器的積分時(shí)間常數(shù)為T(mén)i1＝0.001，Ti2＝0.000 1，Ti3＝ 0.000 01，Ti4＝0.000 001，Kp1＝Kp2＝Kp3＝Kp4＝0.1。這樣取值的目的是減小誤差，方便觀察。

圖6 一階低通濾波器的相位響應(yīng)Fig.6 Phase response of first－order low－pass filter

圖7 一個(gè)比例積分控制器的相位響應(yīng)Fig.7 Phase response of PI controller

圖8 一階系統(tǒng)的相位響應(yīng)Fig.8 Phase response of first－order system

四階低通濾波器和四個(gè)比例積分控制器級(jí)聯(lián)的相位響應(yīng)如圖9和圖10，圖11為四階系統(tǒng)的相位響應(yīng)，得到的相移值在W∈（0，＋ ∞）為－2π，所以利用四階低通濾波器和四個(gè)比例積分控制器級(jí)聯(lián)得到的系統(tǒng)達(dá)到理論計(jì)算的值。

圖9 四階低通濾波器的相位響應(yīng)Fig.9 Phase response of four－order low－pass filer

圖10 四個(gè)比例積分控制器的相位響應(yīng)Fig.10 Phase fesponse of four PI controllers

圖11 四階系統(tǒng)的相位響應(yīng)Fig.11 Phase response of four－order system

4 結(jié)論

本文提出了基于比例積分控制器的恒定相移低通濾波電路。該電路利用低通濾波器與比例積分控制器級(jí)聯(lián)，設(shè)置低通濾波器的極點(diǎn)值等于比例積分控制器積分時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)，且低通濾波器的階數(shù)與比例積分控制器的個(gè)數(shù)相同，從而使信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器與比例積分控制器的相位偏移的和為恒定值。理論分析與仿真表明，與全通濾波器和零相移濾波器實(shí)現(xiàn)線性相移或恒定相移相比，本文提出的電路計(jì)算簡(jiǎn)單，誤差較小，并且容易實(shí)現(xiàn)。

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