克萊姆法則的推廣和完善

錢志祥

(肇慶科技職業(yè)技術學院 基礎教學部，廣東 肇慶 526020)

克萊姆法則的推廣和完善

錢志祥

(肇慶科技職業(yè)技術學院 基礎教學部，廣東 肇慶 526020)

克萊姆法則是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，但克萊姆法則只解決了當線性方程組系數(shù)行列式不等于零時，線性方程組的解的存在性和唯一性問題.當系數(shù)行列式等于零時，線性方程組無解或者有無窮多解.什么條件下線性方程組無解？什么條件下線性方程組有無窮解？當線性方程組有無窮解時，這無窮解的通解的結構是什么？克萊姆法則沒有給出答案.所以需要推廣和完善，這在線性方程組的解的結構理論上是很有用的.

克萊姆法則；系數(shù)矩陣；系數(shù)行列式

0 引言

克萊姆法則完美地解決了含有n個未知量n個方程的線性方程組在其系數(shù)行列式不為零時，其解的存在性、個數(shù)及求解(公式)問題.[1-4]但是當其系數(shù)行列式等于零時，其解的情況沒有解決，這時線性方程組無解或者有無窮多解，那么在什么情況下線性方程組無解，在什么情況下線性方程組有無窮多解，有無窮多解時通解的結構又是什么？本文將給予推廣和完善，使克萊姆法則更加完美，具有更強的理論價值.

1 主要結論

定理1 設線性方程組

(1)

的系數(shù)矩陣為

(Ⅱ)當系數(shù)行列式D=0時，且Dj(j=1,2,…,n)不全為零時，方程組無解;

(Ⅲ)當系數(shù)行列式D=0時，且Dj(j=1,2,…,n)全為零時，方程組有無窮多解，其通解的結構為：

證明：(Ⅰ)當n=1時，結論是明顯的.設ngt;1,令j是整數(shù)1,2,…,n中的任意一個，分別以Aij,A2j,…,Anj乘方程組(1)的第一，第二，直至第N個方程后相加得：

(a11A1j+a21A2j+…+an1Anj)x1+…+(a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj)xj+…+(a1nA1j+a2nA2j+…+annAnj)xn=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj，

易知,xj的系數(shù)等于D，而xj(i≠u)的系數(shù)都是零；因此等式左端等于Dxj，而等式右端剛好是行列式

這樣得到：Dxj=Dj.令j=1,2,…,n，得到方程組

(2)

先證方程組(1)的每一解都是方程組(2)的解.事實上,設?1,?2,…,?n是方程組(1)的一個解.則在(1)中把xi代以?i(i=1,2,…,n)就得到一組等式.對于這一組等式施以方程組(1)到方程組(2)的變換，得到下面的一組等式：D?1=D1,D?2=D2,…,D?n=Dn.即是說，?1,?2,…,?n也是方程組(1)的一個解.

(Ⅱ)由方程組(2)知：當系數(shù)行列式D=0且Dj(j=1,2,…,n)不全為零時，方程組(2)N個方程中至少有一個沒有解，所以方程組(1)無解.

(Ⅲ)當系數(shù)行列式D=0且Dj(j=1,2,…,n)全為零時，方程組(2)N個方程均有無窮解，所以方程組(2)有無窮多解，從而方程組(1)有無窮多解.這時不妨設Dr位于D的左上角，Dr為D的一個最高非零的r階子式.這時方程組(1)顯然與下列方程組同解.

(3)

因為rlt;n，將方程組(3)改寫為：

(4)

方程組(4)作為x1,x2,…,xr的一個方程組，它的系數(shù)行列式Dr≠0，由證明(Ⅰ)知對于xr+1,xr+2,…,xn的任意一組值，方程組(4)，也就是方程(1)，都有唯一的解，xr+1,xr+2,…,xn就是方程組(1)的一組自由未知量，由證明(Ⅰ)可以解出x1,x2,…,xr：

同理可得：

…

即方程組(1)的通解為

[1] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)：第2版[M].北京：高等教育出版社，1988:83-84.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)：第4版[M].北京：高等教育出版社，1999：136-138.

[3] 楊子胥. Cramer法則的推廣[J].數(shù)學通報，1983(4):29-30.

[4] 趙振華.廣義行列式與Cramer法則[J].數(shù)學通報,1993(9):41-43.

[5] 王萼芳,石生明.高等代數(shù):第3版[M].北京：高等教育出版社，2003：136-138.

[責任編輯鄧杰]

TheExtensionandRefinementofCramerRule

QIAN Zhi-xiang

(Basic Education Department of Zhaoqing Polytechnic Technology College, Zhaoqing Guangdong 526020, China)

Cramer rule is an important content in linear algebra. But Cramer rule only solved the linear system of equations determinant of coefficient is not equal to zero, the system of linear equations solution existence and uniqueness problem. When the determinant of coefficient is equal to zero, system of linear equations has no solution or has an infinite number of solutions. What conditions linear equations has no solution? What conditions linear equations with infinite solutions? When solutions of linear equations with infinite time, what is the structure of general solutions of infinite solutions? Cramer did not give an answer. So it needs to promote and perfect, and it is very useful in the system of linear equations solution structure theory.

Cramer rule; coefficient matrix;determinant of the coefficients

2012-12-16

錢志祥(1974—),男,安徽巢湖人.講師，碩士，主要從事微分算子研究.

O13

A

1674-5248(2013)02-0031-03