克萊姆法則的推廣和完善

錢(qián)志祥

(肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 肇慶 526020)

克萊姆法則的推廣和完善

錢(qián)志祥

(肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 肇慶 526020)

克萊姆法則是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，但克萊姆法則只解決了當(dāng)線性方程組系數(shù)行列式不等于零時(shí)，線性方程組的解的存在性和唯一性問(wèn)題.當(dāng)系數(shù)行列式等于零時(shí)，線性方程組無(wú)解或者有無(wú)窮多解.什么條件下線性方程組無(wú)解？什么條件下線性方程組有無(wú)窮解？當(dāng)線性方程組有無(wú)窮解時(shí)，這無(wú)窮解的通解的結(jié)構(gòu)是什么？克萊姆法則沒(méi)有給出答案.所以需要推廣和完善，這在線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論上是很有用的.

克萊姆法則；系數(shù)矩陣；系數(shù)行列式

0 引言

克萊姆法則完美地解決了含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組在其系數(shù)行列式不為零時(shí)，其解的存在性、個(gè)數(shù)及求解(公式)問(wèn)題.[1-4]但是當(dāng)其系數(shù)行列式等于零時(shí)，其解的情況沒(méi)有解決，這時(shí)線性方程組無(wú)解或者有無(wú)窮多解，那么在什么情況下線性方程組無(wú)解，在什么情況下線性方程組有無(wú)窮多解，有無(wú)窮多解時(shí)通解的結(jié)構(gòu)又是什么？本文將給予推廣和完善，使克萊姆法則更加完美，具有更強(qiáng)的理論價(jià)值.

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)線性方程組

(1)

的系數(shù)矩陣為

(Ⅱ)當(dāng)系數(shù)行列式D=0時(shí)，且Dj(j=1,2,…,n)不全為零時(shí)，方程組無(wú)解;

(Ⅲ)當(dāng)系數(shù)行列式D=0時(shí)，且Dj(j=1,2,…,n)全為零時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，其通解的結(jié)構(gòu)為：

證明：(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論是明顯的.設(shè)ngt;1,令j是整數(shù)1,2,…,n中的任意一個(gè)，分別以Aij,A2j,…,Anj乘方程組(1)的第一，第二，直至第N個(gè)方程后相加得：

(a11A1j+a21A2j+…+an1Anj)x1+…+(a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj)xj+…+(a1nA1j+a2nA2j+…+annAnj)xn=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj，

易知,xj的系數(shù)等于D，而xj(i≠u)的系數(shù)都是零；因此等式左端等于Dxj，而等式右端剛好是行列式

這樣得到：Dxj=Dj.令j=1,2,…,n，得到方程組

(2)

先證方程組(1)的每一解都是方程組(2)的解.事實(shí)上,設(shè)?1,?2,…,?n是方程組(1)的一個(gè)解.則在(1)中把xi代以?i(i=1,2,…,n)就得到一組等式.對(duì)于這一組等式施以方程組(1)到方程組(2)的變換，得到下面的一組等式：D?1=D1,D?2=D2,…,D?n=Dn.即是說(shuō)，?1,?2,…,?n也是方程組(1)的一個(gè)解.

(Ⅱ)由方程組(2)知：當(dāng)系數(shù)行列式D=0且Dj(j=1,2,…,n)不全為零時(shí)，方程組(2)N個(gè)方程中至少有一個(gè)沒(méi)有解，所以方程組(1)無(wú)解.

(Ⅲ)當(dāng)系數(shù)行列式D=0且Dj(j=1,2,…,n)全為零時(shí)，方程組(2)N個(gè)方程均有無(wú)窮解，所以方程組(2)有無(wú)窮多解，從而方程組(1)有無(wú)窮多解.這時(shí)不妨設(shè)Dr位于D的左上角，Dr為D的一個(gè)最高非零的r階子式.這時(shí)方程組(1)顯然與下列方程組同解.

(3)

因?yàn)閞lt;n，將方程組(3)改寫(xiě)為：

(4)

方程組(4)作為x1,x2,…,xr的一個(gè)方程組，它的系數(shù)行列式Dr≠0，由證明(Ⅰ)知對(duì)于xr+1,xr+2,…,xn的任意一組值，方程組(4)，也就是方程(1)，都有唯一的解，xr+1,xr+2,…,xn就是方程組(1)的一組自由未知量，由證明(Ⅰ)可以解出x1,x2,…,xr：

同理可得：

…

即方程組(1)的通解為

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)：第2版[M].北京：高等教育出版社，1988:83-84.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)：第4版[M].北京：高等教育出版社，1999：136-138.

[3] 楊子胥. Cramer法則的推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1983(4):29-30.

[4] 趙振華.廣義行列式與Cramer法則[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1993(9):41-43.

[5] 王萼芳,石生明.高等代數(shù):第3版[M].北京：高等教育出版社，2003：136-138.

[責(zé)任編輯鄧杰]

TheExtensionandRefinementofCramerRule

QIAN Zhi-xiang

(Basic Education Department of Zhaoqing Polytechnic Technology College, Zhaoqing Guangdong 526020, China)

Cramer rule is an important content in linear algebra. But Cramer rule only solved the linear system of equations determinant of coefficient is not equal to zero, the system of linear equations solution existence and uniqueness problem. When the determinant of coefficient is equal to zero, system of linear equations has no solution or has an infinite number of solutions. What conditions linear equations has no solution? What conditions linear equations with infinite solutions? When solutions of linear equations with infinite time, what is the structure of general solutions of infinite solutions? Cramer did not give an answer. So it needs to promote and perfect, and it is very useful in the system of linear equations solution structure theory.

Cramer rule; coefficient matrix;determinant of the coefficients

2012-12-16

錢(qián)志祥(1974—),男,安徽巢湖人.講師，碩士，主要從事微分算子研究.

O13

A

1674-5248(2013)02-0031-03