M-矩陣Hadamard積最小特征值下界的估計

劉 新，楊曉英

(四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部，四川 廣元 628017)

M-矩陣Hadamard積最小特征值下界的估計

劉 新，楊曉英

(四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部，四川 廣元 628017)

M-矩陣；Hadamard積；最小特征值；下界

0 引言

為表述方便，我們首先給出一些概念.記Rm×n(Cm×n)表示m×n階實(shí)(復(fù))矩陣集合；N表示正整數(shù)集合；ρ(P)表示n×n階非負(fù)矩陣P的Perron根.

定義1[1]276-278設(shè)A=(aij)∈Rn×m,且aij≤0,i≠j,則稱矩陣A為Z矩陣(簡記為A∈Zn×n).

定義2[1]296設(shè)A=(aij)∈Zn×n，則A可以表示為A=λI-B，其中B≥0, 當(dāng)λ≥ρ(B)時，則稱A為M-矩陣.特別地，當(dāng)λgt;ρ(B)時，稱A為非奇異M-矩陣；當(dāng)λ=ρ(B)時，稱A為奇異M-矩陣.

同時，記τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}, (其中σ(A)表示矩陣A的譜),τ(A)稱為A的最小特征值.

Yong，[3-4]Song，[5]Chen[6]分別證明了上述猜想的正確性.

Li Hou-biao等在文獻(xiàn)[7]給出了下面的下界估計式：

1 符號與引理

首先，我們給出一些記號,它們會在后面的討論中用到.記:

引理1[7]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(bij). 則

引理2[8]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(bij).則

引理3[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(bij) . 則

引理4[8]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是M-矩陣,A-1=(bij)是雙隨機(jī)矩陣. 則

引理6[4]設(shè)A-1是雙隨機(jī)矩陣, 則Ae=e,ATe=e, 其中e=(1,1,…,1)T.

引理7[11]設(shè)A=(aij)n×n是任意復(fù)矩陣,xi,x2,…,xn是正實(shí)數(shù).則A的所有特征值都位于復(fù)平面的下列區(qū)域之中

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是不可約M-矩陣，A-1=(bij)是雙隨機(jī)矩陣.則

證明：由文獻(xiàn)[10]中定理2.1的證明，可知

0lt;nj≤1,j∈N.

若A是可約的.不失一般性，假設(shè)A是具有不可約對角塊Aii(i=1,2,…,k)的塊上三角矩陣，則A-1仍是塊上三角矩陣，且

結(jié)論仍然成立.

應(yīng)用引理4和引理7，類似定理1的證明可得如下定理，其證明過程不再贅述.

定理2 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是不可約M-矩陣,A-1=(bij) 是雙隨機(jī)矩陣.則

3 例子

例3.1[7]設(shè)

易知A是M-矩陣, 通過Matlab計算得

因此,A-1是雙隨機(jī)矩陣, 且

依據(jù)Fiedler和Markham的猜想:

依據(jù)文獻(xiàn)[7]中定理3.1的結(jié)論, 得:

依據(jù)文獻(xiàn)[8]中定理3.2的結(jié)論, 得:

由本文定理1得:

由本文定理2得:

由例3.1的數(shù)值結(jié)果知, 定理1和定理2有效地改進(jìn)了Fiedler和Markham的猜想和文獻(xiàn)[7-8]中相應(yīng)的結(jié)果.

例3.2 設(shè)

易知A是非奇異M-矩陣, 且

依據(jù)Fiedler和Markham的猜想:

依據(jù)文獻(xiàn)[8]中定理3.4的結(jié)論, 得:

由本文推論1得:

由例3.2的數(shù)值結(jié)果知, 推論1也很好地改進(jìn)了Fiedler和Markham的猜想和文獻(xiàn)[8]中定理3.4的結(jié)果.

[1] 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000.

[2] Fiedler M, Markham T.AnInequalityfortheHadamardProductofanM-matrixandInverseM-matrix[J].Linear Algebra Appl,1988(101):1-8.

[3] Yong Xue-rong.ProofofaConjectureofFiedlerandMarkham[J].Linear Algebra Appl,2000(320):167-171.

[4] Yong Xue-rong, Wang Zheng.OnaconjectureofFiedlerandMarkham[J].Linear Algebra Appl,1999(288): 259-267.

[5] Song Yong-zhong.OnanInequalityfortheHadamardProductofanM-matrixanditsInverse[J].Linear Algebra Appl, 2000( 305):99-105.

[6] Chen Shen-can.ALowerBoundfortheMinimumEigenvalueoftheHadamardProductofMatrices[J].Linear Algebra Appl, 2004(378):159-166.

[7] Li Hou-biao, Huang Ting-zhu, Shen Shu-qian, et al.LowerBoundsfortheMinimumEigenvalueofHadamardProductofanM-matrixanditsInverse[J].Linear Algebra Appl,2007(420):235-247.

[8] Li Yao-tang, Chen Fu-bin, Wang De-feng.NewLowerBoundsonEigenvalueoftheHadamardProductofanM-matrixanditsInverse[J].Linear Algebra Appl,2009(430):1423-1431.

[9] Li Yao-tang, Liu Xin, Yang Xiao-ying, et al.SomeNewLowerBoundsfortheMinimumEigenvalueoftheHadamardProductofanM-matrixanditsInverse[J].Electronic Journal of Linear Algebra,2011(22):630-643.

[10]Li Yao-tang, Li Yan-yan, Wang Rui-wu, et al.SomeNewBoundsonEigenvaluesoftheHadamardProductandtheFanProductofMatrices[J].Linear Algebra Appl,2010(432):536-545.

[11]Vargar S.MinimalGerschgorinsets[J].Pacific J Math,1965(2):719-729.

[責(zé)任編輯鄧杰]

NewLowerBoundsontheMinimumEigenValuefortheHadamardProductofM-matrices

LIU Xin, YANG Xiao-ying

(Basic Education Ministry of Sichuan Information Technology College, Guangyuan Sichuan 628017, China)

M-matrix; Hadamard product; minimum eigen value; lower bounds

2012-10-18

劉 新(1983—)，男，山東濟(jì)寧人.助教，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用研究.

O151.21

A

1674-5248(2013)02-0024-04