一類奇異二階三點(diǎn)邊值問題正解的存在性

魏 嘉,王 靜

(甘肅聯(lián)合大學(xué) 師范學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

一類奇異二階三點(diǎn)邊值問題正解的存在性

魏 嘉,王 靜

(甘肅聯(lián)合大學(xué) 師范學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

運(yùn)用錐上的Guo-Krasnoselskii’s不動(dòng)點(diǎn)定理證明了奇異二階三點(diǎn)邊值問題-u″=λh(t)f(t,u),0lt;tlt;1,u(0)=αu(η),u(1)=βu(η) 至少一個(gè)或兩個(gè)正解的存在性.

奇異;邊值問題;錐不動(dòng)點(diǎn)定理;正解

0 引言

二階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理領(lǐng)域中有著極為廣泛的應(yīng)用，具體的應(yīng)用有工程學(xué)上均勻桿軸向受力問題、由N部分不同密度構(gòu)成的金屬支索絲一致截面的振動(dòng)問題等.[1]近年來,二階微分方程多點(diǎn)邊值問題受到了廣泛的關(guān)注,其研究成果如文獻(xiàn)[2-6].在文[2]中,Sun和Wei通過運(yùn)用錐上的拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理證明了半正二階三點(diǎn)邊值問題u″+λf(t,u(t))=0,0lt;tlt;1,u(0)=αu(η),u(1)=βu(η)的正解的存在性，其中η∈(0,1)，0lt;β≤αlt;1,參數(shù)λgt;0,f(t,u)∈C([0,1]×[0,+∞),(-M,+∞)).本文考慮奇異二階三點(diǎn)邊值問題

(1)

其中η∈(0,1),0≤β≤αlt;1,參數(shù)λgt;0,h(t)∈C((0,1)，[0,∞)),f(t,u)∈C([0,1]×[0,+∞)，[0,+∞)),h(t)在t=0和t=1點(diǎn)具有奇異性.

為了討論(1)式正解的存在性，我們做如下假設(shè)：

(H1)η∈(0,1),0≤β≤αlt;1；

(H2)f(t,u)∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞))；

為了后面推理的需要，我們做如下記號(hào)：

本文所用的工具為如下的Guo-Krasnoselskii’s不動(dòng)點(diǎn)定理.[7-8]

(ⅰ)‖Au‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω1，且‖Au‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω2；

(ⅱ) ‖Au‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω1，且‖Au‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω2,

(ⅰ)‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω1;

(ⅱ)‖Au‖≥‖u‖,Au≠u,?u∈P∩?Ω2;

(ⅲ)‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω3.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1 對(duì)于確定的y∈E，邊值問題

(2)

有唯一解

引理2 設(shè)y∈E，y≥0，0≤β≤αlt;1,則對(duì)于?t∈[0,1] ，邊值問題(2)的唯一解u(t)≥0.

證明：由于u″(t)=-y(t)≤0,t∈(0,1)，則u(t)的圖像是上凸的，僅需證明u(0)≥0和u(1)≥0.

再由于0≤β≤αlt;1和條件u(0)=αu(η),u(1)=αu(η)，可以知道u(0),u(η)與u(1)同號(hào).反設(shè)u(0)lt;0,u(η)lt;0與u(1)lt;0 ，則可得

那么就有u(η)lt;min{u(0),u(1)} ，這與u為上凸的矛盾.從而可得到u(0)≥0和u(1)≥0.

由引理3可知T(P)?P,進(jìn)一步，由Arzela-Ascoli定理可知：T是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

(3)

則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明:我們分兩步證明定理3的結(jié)論.

因此‖Tu‖≤‖u‖,u∈Ρ∩?Ωε.

下面，分三種情況加以討論.

因此‖Tu‖≥‖u‖,u∈P∩?Ωτ.

由定理1可知，T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u且min(ε,τ)≤‖u‖≥max(ε,τ).從而，u為邊值問題(1)式的正解.

定理4 假設(shè)(H1)-(H4)成立,且f0=∞,f∞=∞,存在正常數(shù)N0，當(dāng)0lt;λlt;N0時(shí)，邊值問題(1)至少存在兩個(gè)正解.

從而有

由定理2可知，T有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1,u2且b1≤‖u1‖≤a1lt;a2≤‖u2‖≤b2.從而u1,u2為邊值問題(1)式的兩個(gè)正解.

證明:與定理4的證明類似，此處不在贅述.

[1] Timoshenko S.TheoryofElasticStability[M].NewYork:Mcgraw-Hill,1961:214.

[2] Sun J P,WEI J.ExistenceofPositiveSolutionforSemipositoneSecond-orderThree-pointBoundary-valueProblem[J].Differential Equations,2008(41):1-7.

[3] Agarwal R P,Regan D.MultipleNonnegativeSolutionsforSecondOrderImpulsiveDifferentialEquations[J].Appl Math Comput,2000(114):51-59.

[4] Kong L J.SecondOrderSingularBoundaryValueProblemswithIntegralBoundaryConditions[J].Nonlinear Analysis,2010(72):2628-2638.

[5] Ma R.PositiveSolutionsofaNonlinearThree-pointBoundaryValueProblems[J].J Differential Equations,1998(34):1-8.

[6] Yao Q.AnExistenceTheoremOfAPositiveSolutionToaSemipositoneSturm-liouvilleBoundaryValueProblem[J].Appl Math Lett,2010(23):1401-1406.

[7] Guo D, Lakshmikantham V.NonlinearProblemsinAbstractCones[M].New York:Academic Press,1988:178.

[8] Krasnoselskii M A.PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen:Noordhoff,1964:304-305.

[責(zé)任編輯鄧杰]

ExistenceofPositiveSolutionsfortheSingularSecond-orderThree-pointBoundaryValueProblem

WEI Jia, WANG Jing

(Normal School of Gansu University, Lanzhou Gansu 730000, China)

In this paper, we study the existence of at least one or two positive solutions for the singular second-order three-point boundary value problem -u″=λh(t)f(t,u),0lt;tlt;1,u(0)=αu(η),u(1)=βu(η). Our arguments are based on the well-known Guo-Krasnoselskii's fixed-point theorem in cones.

singular; boundary value problem; fixed point theorem in cones; positive solution

2012-11-21

甘肅省自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (3ZS042-B25-021);甘肅省教育廳科研項(xiàng)目(1013B-03)

魏 嘉(1982—),男,甘肅靖遠(yuǎn)人.講師,碩士,主要從事微分方程邊值問題研究.

O175

A

1674-5248(2013)02-0020-04