Hilbert空間中平衡問題變分不等式問題和可數(shù)族k-嚴(yán)格偽壓縮映像的強(qiáng)收斂定理

馮仁勇,何中全

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

Hilbert空間中平衡問題變分不等式問題和可數(shù)族k-嚴(yán)格偽壓縮映像的強(qiáng)收斂定理

馮仁勇,何中全

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

在Hilbert空間中引進(jìn)一種新的迭代算法,得到了一類平衡問題變分不等式問題和可數(shù)族k-嚴(yán)格偽壓縮映像的強(qiáng)收斂定理,所得結(jié)果改進(jìn)并推廣了這類問題最新的一些結(jié)論.

平衡問題;k-Hilbert空間;k-嚴(yán)格偽壓縮映像;迭代算法

0 引言

設(shè)H是一實(shí)的Hilbert空間,C是H的一非空閉凸子集.對(duì)于任意的x∈H,存在唯一xC∈C使得‖x-xC‖≤‖x-y‖,?y∈C.令Px=xC,稱P為H到C上的投影映射.記T的不動(dòng)點(diǎn)集為F(T).稱映像T:C→C是k-嚴(yán)格偽壓縮映像,如果

‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2,k∈[0,1),?x,y∈C.

A∶C→H，變分不等式問題(VI)是求z∈C,使得lt;Az,y-zgt;≥0,?y∈C.此變分不等式問題的解集用Ⅵ(C,A)表示.稱映像A∶C→H為α-逆強(qiáng)單調(diào)的,如果存在正數(shù)agt;0,使得lt;Ax-Ay,x-ygt;≥α‖Ax-Ay‖2,?x,y∈C.

設(shè)φ(x,y):C×C→R是平衡函數(shù),即每一個(gè)u∈C,φ(x,y)=0.考慮如下平衡問題(EP)：尋找z∈C,使得φ(z,y)≥0,?y∈C.記它的解為EP.平衡問題包含了不動(dòng)點(diǎn)問題、最優(yōu)化問題、變分不等式問題、Nash平衡問題等.[1-5]

2008年,Chang[6]等介紹了如下迭代序列:

(1)

其中映像{Wn}是由一族非擴(kuò)張映像{Sn}生成的.

在Hilbert空間中,關(guān)于尋求平衡問題的解集與不動(dòng)點(diǎn)的解集的公共點(diǎn)問題,已有許多人研究 ，受文獻(xiàn)[6]啟發(fā),本文在Hilbert空間中介紹了一個(gè)新的迭代序列,借以尋找平衡問題不動(dòng)點(diǎn)問題和可數(shù)族k-嚴(yán)格偽壓縮映像的公共不動(dòng)點(diǎn),并在適當(dāng)?shù)臈l件下得到了強(qiáng)收斂定理.本文的結(jié)果推廣和改進(jìn)了Chang 等人的相應(yīng)結(jié)果.[7]

引理1[7]設(shè){Si:C→C}是一有限族的非擴(kuò)張映像,且{un}是對(duì)任意i≥1都有0≤uilt;1的非負(fù)實(shí)數(shù)序列,定義一個(gè)映射Wn∶C→C如下:

引理2[7]假設(shè)H為實(shí)Hilbert空間,C為H的非空閉凸子集,φ:C×C→R是一二元函數(shù)滿足條件：

(A1)φ(x,x)=0,?x∈C;

(A2)φ是單調(diào)的，即φ(x,y)+φ(y,x)≤0,?x,y?C;

(A4)對(duì)每一x∈C,y→φ(x,y)是凸的和下半連續(xù)的.

這里{Wn:C→C}，按引理(2)，{αn}，{βn},{γn}?[0,1],λn?[0,1],{λn}?(0,2a),{rn}?[0,∞]，如果滿足下列條件:

則{xn}和{un}強(qiáng)收斂于PF∩VI(C,A)∩EP(φ)(z) .

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)H為實(shí)Hilbert空間,C為H的非空閉凸子集,φ∶C×C→R是一二元函數(shù)且滿足引理2中條件(A1)-(A4).

(3)

這里{Wn∶C→C}，按引理1，{αn},{βn},{γn}?[0,1],{λn}?(0,2α),{rn}?[0,∞],如果滿足條件:

則{xn}和{un}強(qiáng)收斂于PF∩Ⅵ(C,A)∩EP(φ)(I-B+γf)(z).

證明:我們分三步證明該定理.

(1)證明Ti(?i∈N+)是半閉的.設(shè)任意序列{zn}?D(Ti),zn→z(n→∞)∈D(Ti),且Tizn→P·‖Tiz-p‖=‖Tiz-Tizn+Tizn-p‖≤‖Tiz-Tizn‖+‖Tizn-p‖,由k-嚴(yán)格偽壓縮映像的定義，存在ki∈[0,1),使得‖Tizn-Tiz‖2≤‖zn-z‖2+ki(‖zn-z‖2+‖Tizn-Tiz‖2).所以(1-ki)‖Tizn-Tiz‖2≤(1+ki)‖zn-z‖2,‖Tizn-Tiz‖2→0,(n→∞).故Ti(?i∈N+) 是半閉的.

(2)證明F是閉凸集.只需證明F(Ti)(?i∈N+)是閉凸集.設(shè)任意序列{zn}?F(Ti)，且zn→p·‖Tip-p‖=‖Tip-zn+zn-p‖≤‖Tip-zn‖+‖zn-p‖,根據(jù)k-嚴(yán)格偽壓縮映像的定義,由(1)知‖Tizn-Tp‖→0,(n→∞).又Ti(?i∈N+) 是半閉的.于是‖Tip-p‖=0,因此F(Ti) 是閉集.設(shè)p1和p2是F(Ti)中任意兩點(diǎn),由嚴(yán)格偽壓縮映像定義知

‖TiP-p‖2=‖λ(Tip-p1)+(1-λ)(Tip-p2)‖

=λ‖Tip-p1‖2+(1-λ)‖Tip-p2‖2-λ(1-λ)‖p1-p2‖2

≤λ(‖p-p1‖2+ki‖Tip-p‖2)-(1-λ)(‖p2-p2‖2+ki‖Tip-p‖2)-λ(1-λ)‖p1-p2‖2=λ(1-λ)‖p1-p2‖2+ki‖Tip-p‖2，

所以(1-ki)‖Tip-p‖≤λ(1-λ)‖p1-p2‖2.

由ki∈[0,1] ，令T→0 ,得(1-ki)‖Tip-p‖2=0.

(3)證明Six=ξix-(1-ξi)Tix,ξi∈[ki,1) 是非擴(kuò)張映像,且F(Si)=F(Ti).

‖Six-Siy‖2=‖ξi(x-y)+(1-ξi)(Tix-Tiy)‖2-ξi(1-ξi)‖((I-Ti)x-(I-Ti)y)‖

因?yàn)門i(?i∈N+) 是嚴(yán)格偽壓縮映像,從而

‖Tix-Tiy‖2=‖x-y‖2+ki‖((I-Ti)x-(I-Ti)y)‖2.

于是有

‖Six-Siy‖2≤ξi‖x-y‖2+(1-ξi)‖x-y‖2-(1-ξi)(ξi-ki)‖(I-Ti)x-(I-Ti)y‖2=‖x-y‖2-(1-ξi)(ξi-ki)‖(I-Ti)x-(I-Ti)y‖2≤‖x-y‖2，

所以Si是非擴(kuò)張映像,由Six=ξix-(1-ξi)Tix得x-Six=(1-ξi)(x-Tix).

因此F(Si)=F(Ti).由引理2知{xn}和{un}強(qiáng)收斂于PF∩Ⅵ(C,A)∩EP(φ)(I-B+γf)(z) .

[1] Rockafellar R T.OntheMaximalityofSumsofNonlinearMonotoneOperator[J].Trans Amer Math Soc,1970(149):75-88.

[2] Rockafellar R T.MonotoneOperatorsandProximalPointAlgorithm[J].SIAMJ Control Pptim,1976(14):877-898.

[3] Xu H K.IterativeAlgorithmforNonlinearMonotoneOperators[J].Math Soc，2002(66):240-256.

[4] Flam S D, Antipin A S.EquilibriumProgrammingUsingProximal-likeAlgorithms[J].Math Program,1997(78):29-41.

[5] Zhang S S, Rao R F, Hung J L.StrongConvergenceTheoremforaGeneralizedEquilibriumProblemandak-strictPseudocontractioninHilbertSpace[J].Appl Math Mech,2009(6):685-694.

[6] Liu M, Zhang S S.ANewIterativeMethodforFindingCommonSolutionsofGeneralizedEquilibriumProblem,FixedPointProblemOfInfinitek-strictPseudo-contractiveMappingsandQuasi-variationalInclusionProblem[J].Acta Mathematica Scientia，2012(2):499-519.

[7] Zhang S S, Joseph L H W, Chi K C.ANewMethodforSolvingEquilibriumProblemFixedPointProblemandVariationalInequalitiyProblemwithApplicationtoOptimization[J].Nonlinear Analysis,2009(9):3307-3319.

[責(zé)任編輯鄧杰]

Kewwords:equilibrium problem; Hilbert space;k-strict pseudo-contraction mappings; iterative algorithm

VariationInequalitiesProblemsofEquilibriumProblemsandStrongConvergenceTheoremofaCountableFamilyofk-StrictPseudo-contractionMappinginHilbertSpace

FENG Reng-yong, HE Zhong-quan

(Mathematics and Information School of China West Normal University, Nanchong Sichuan 637002, China)

In this paper, a new iterative algorithm is introduced in Hilbert space. A strong convergence theorem of equilibrium problems variation inequalities problem and a Family of countablek-Strict Pseudo-contraction Mapping is obtained. The result presented improves and extends the recent corresponding announced by many others.

2012-10-24

教育部科學(xué)技術(shù)重點(diǎn)項(xiàng)目(211163)

馮仁勇(1983—)，男，四川廣元人.碩士研究生，主要從事非線性分析研究；

何中全(1955—)，男，四川南充人.教授，主要從事非線性分析研究.

0177.91

A

1674-5248(2013)02-0014-03