假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系問題

王凡彬

(1.內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,四川 內(nèi)江 641100；2.四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 內(nèi)江 641100)

假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系問題

王凡彬1，2

(1.內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,四川 內(nèi)江 641100；2.四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 內(nèi)江 641100)

糾正了現(xiàn)行教材中的關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)關(guān)系問題的錯(cuò)誤，給出了二者正確的關(guān)系，豐富并發(fā)展了其結(jié)果．

假設(shè)檢驗(yàn)；區(qū)間估計(jì)；關(guān)系

0 引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中．[1-5]由于在假設(shè)檢驗(yàn)中所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與區(qū)間估計(jì)中所用的樞軸量是相同的，因此二者存在非常密切的關(guān)系．教材[1]在討論單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)時(shí)，針對(duì)第三類檢驗(yàn)問題即雙側(cè)檢驗(yàn)問題H0∶μ=μ0，H1∶μ≠μ0,對(duì)水平為a的假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系討論得很好．但在討論水平為a的第一類假設(shè)檢驗(yàn)問題

H0∶μ≤μ0,H1∶μgt;μ0

(1)

與參數(shù)μ的1-α的置信上限的關(guān)系時(shí)，發(fā)生了錯(cuò)誤．本文針對(duì)教材[1]的錯(cuò)誤，進(jìn)行了糾正，給出了二者的正確關(guān)系，并把結(jié)果進(jìn)行了推廣．

1 現(xiàn)行教材的錯(cuò)誤及糾正

設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本．教材[1]認(rèn)為，對(duì)第一類假設(shè)檢驗(yàn)問題(1)(單側(cè)檢驗(yàn)問題)，其水平為a的檢驗(yàn)的接受域?yàn)?/p>

(2)

(3)

得到的應(yīng)該是參數(shù)μ的1-a置信下限而非置信上限．教材[1]所說的“接受域”實(shí)際既非接受域也非拒絕域．那么，教材[1]錯(cuò)在什么地方呢？

事實(shí)上，由于t分布是對(duì)稱分布，注意到ta(n-1)=-t1-a(n-1)，那么

=1-a.

(4)

同樣，從水平為a的接受域出發(fā)，μ的第二類檢驗(yàn)問題

H0∶μ≥μ0,H1∶μlt;μ0

(5)

與μ的1-a置信上限才是一一對(duì)應(yīng)的，而不是教材[1]所說的與置信下限一一對(duì)應(yīng)．

2 結(jié)果的推廣

從上面的討論我們看到，由于t分布是對(duì)稱分布，從概率相等的角度，未必一定要μ的第一類檢驗(yàn)問題(1)與μ的1-a置信下限一一對(duì)應(yīng)；μ的第二類檢驗(yàn)問題(5)與μ的1-a置信上限一一對(duì)應(yīng)．實(shí)際上，從μ的第一類或第二類檢驗(yàn)問題出發(fā)，均可得到μ的1-a置信上限和置信下限．反之，從μ的1-a置信上限或置信下限出發(fā)，也可以得到μ的水平為a的第一類和第二類檢驗(yàn)問題．

=1-a.

(6)

即

(7)

這就得到了μ的1-a置信上限．

同理，從μ的第二類檢驗(yàn)問題(5)的接受域出發(fā)，注意到ta(n-1)=-t1-a(n-1)，有

(8)

=1-a.

(9)

這就完成了第一個(gè)方面的推廣．

=P{t≥ta(n-1)}

=P{t≤t1-a(n-1)}=1-a.

(10)

從而

P{t≥t1-a(n-1)}=P{t≤ta(n-1)}=a.

(11)

注意到上式給出了拒絕域，這樣我們分別得到μ的第一、二類假設(shè)檢驗(yàn)問題(1)和(5)．

=P{t≤t1-a(n-1)}

=P{t≥ta(n-1)}=1-a.

(12)

由(12)可得(11)，從而也能分別得到μ的第一、二類假設(shè)檢驗(yàn)問題(1)和(5)．

這就完成了第二個(gè)方面的推廣．

3 結(jié)論

從第2節(jié)的討論可以看出，假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系是：從μ的水平為a的第一或第二類檢驗(yàn)問題可以得到μ的1-a置信上限和下限；反之，從μ的1-a置信上限或下限也可以得到水平為a的第一和第二類假設(shè)檢驗(yàn)問題．這樣，就大大豐富和發(fā)展了教材[1]的結(jié)果．

[1] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]．北京：高等教育出版社，2012:335-345．

[2] 王凡彬．一個(gè)社會(huì)問題的概率方法研究[J]．四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(5)：7-8．

[3] 王梓坤．概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，1979:232-234．

[4] 復(fù)旦大學(xué)．概率論：第2冊(cè)[M]．北京：人民教育出版社，1980:197-202．

[5] 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，1985:257-267．

[責(zé)任編輯鄧杰]

RelationshipbetweenHypothesisTestingandIntervalEstimation

WANG Fan-bin1, 2

(1. Mathematics and Information Science College of Neijiang Normal University, Niejiang Sichuan 641100，China; 2. Key Laboratory of Numerical Simulation in the Sichuan Province College, Neijiang Sichuan 641100,China)

Existing textbooks on hypothesis testing and interval estimation of the relationship between the error was corrected, both the right relationship is given, and the result has been enriched and developed.

hypothesis testing; interval estimation; relationship

2012-09-12

內(nèi)江師范學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目(09NJZ-1)；四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重點(diǎn)科研項(xiàng)目(09NJZZ001)

王凡彬(1957—)，男，四川富順人.教授，主要從事偏微分方程及應(yīng)用研究．

O212.1

A

1674-5248(2013)02-0007-03