基于非參數(shù)化與有限元的主軸刀柄結(jié)合面非線性參數(shù)識(shí)別

張正旺，李愛平，劉雪梅，謝 楠

（1．同濟(jì)大學(xué) 現(xiàn)代制造技術(shù)研究所，上海208104；2．同濟(jì)大學(xué) 中德工程學(xué)院，上海201804）

結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)是影響機(jī)床整機(jī)動(dòng)力學(xué)性能的關(guān)鍵因素，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，機(jī)床中出現(xiàn)的振動(dòng)問題有60%以上源自結(jié)合面［1］．在機(jī)床動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中，要建立準(zhǔn)確的機(jī)床動(dòng)力學(xué)模型，就必須考慮結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性．結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性參數(shù)分析一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)．

在機(jī)床、刀具、工件組成的工藝系統(tǒng)中，主軸－刀柄結(jié)合面等彈性連接是高速切削時(shí)產(chǎn)生顫振的一個(gè)主要來源，其聯(lián)結(jié)性能直接影響到被加工工件的尺寸精度、表面粗糙度和設(shè)備的加工效率．主軸－刀柄結(jié)合面的參數(shù)識(shí)別是主軸－刀柄系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的關(guān)鍵問題，為了準(zhǔn)確獲取其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)探索與研究．Yuan等［2］提出了一種基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)系統(tǒng)與有限元分析技術(shù)的連接副的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法，Kim 等［3］采用該方法識(shí)別了主軸－刀柄的結(jié)合面的接觸剛度和阻尼，結(jié)果表明，隨著軸向預(yù)載荷的增加，結(jié)合面的接觸剛度逐漸增大，而接觸阻尼則相應(yīng)減?。瓸ecker等［4］基于剛體動(dòng)力學(xué)和頻響函數(shù)理論，同時(shí)識(shí)別出刀柄－刀具結(jié)合面6個(gè)自由度方向的剛度．Aoyama等［5］采用實(shí)驗(yàn)和有限元方法分析了轉(zhuǎn)速對(duì)主軸－刀柄的結(jié)合面徑向接觸剛度的影響，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速越高，結(jié)合面的徑向接觸剛度越?。瓾anna等［6］利用有限元方法分析了接合面的幾何形狀、夾緊力、轉(zhuǎn)速、彎曲載荷及扭轉(zhuǎn)載荷對(duì)HSK（hollow short kegel）刀柄－主軸結(jié)合面性能的影響．Agapiou 等［7－8］分別采用實(shí)驗(yàn)加有限元方法、ABAQUS有限元程序及Becker等［4］提出的方法識(shí)別了CAT（caterpillar）刀柄及HSK 刀柄與主軸的結(jié)合面的接觸靜剛度．Erturk 等［9－11］對(duì)耦合系統(tǒng)組件（主軸、刀柄、刀具）的彈性導(dǎo)納耦合方程進(jìn)行重新整理，得到主軸－刀柄及刀柄－刀具結(jié)合面的復(fù)數(shù)剛度矩陣，該矩陣中各元素的實(shí)部為結(jié)合面的接觸剛度，虛部除以激勵(lì)頻率為結(jié)合面的接觸阻尼．Namazi等［12］以均勻分布的平移和扭轉(zhuǎn)彈簧單元對(duì)主軸－刀柄結(jié)合面建模，通過最小化實(shí)驗(yàn)測(cè)定與估計(jì)的頻響之間的誤差對(duì)結(jié)合面的平移和扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行識(shí)別．

盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者在主軸－刀柄結(jié)合面參數(shù)識(shí)別方面做過許多努力，但仍然存在兩個(gè)主要問題：一是大部分主軸－刀柄結(jié)合面的參數(shù)識(shí)別采用參數(shù)化識(shí)別方法，即先假定主軸－刀柄結(jié)合面的結(jié)構(gòu)模型是已知的，通過構(gòu)造帶參數(shù)的主軸－刀柄結(jié)合面模型，確定模型中的參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn)參數(shù)識(shí)別，而實(shí)際工況中的主軸－刀柄結(jié)合面的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，構(gòu)造其結(jié)構(gòu)模型通常較為困難；二是目前大部分的研究仍局限于采用線性模型識(shí)別主軸－刀柄結(jié)合面的系統(tǒng)參數(shù)，但實(shí)際的主軸－刀柄結(jié)合面間呈現(xiàn)出復(fù)雜的接觸狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)，屬于高度非線性的接觸問題［13－14］．研究表明，機(jī)床結(jié)構(gòu)的非線性是機(jī)床發(fā)生顫振的主要原因，而機(jī)床結(jié)構(gòu)非線性的一個(gè)重要來源就是結(jié)構(gòu)中各種結(jié)合面的非線性特性．Dhupia等［15－16］基于Masri等［17－18］提出的非參數(shù)化方法識(shí)別機(jī)床導(dǎo)軋－滑塊結(jié)合面的動(dòng)態(tài)參數(shù)，用含未知系數(shù)的正交函數(shù)去擬合系統(tǒng)的響應(yīng)，通過尋找滿足系統(tǒng)響應(yīng)最佳匹配的函數(shù)系數(shù)，得到了結(jié)合面之間的接觸力的非線性表達(dá)式，并用非線性導(dǎo)納耦合法分析了此非線性接觸力對(duì)機(jī)床動(dòng)態(tài)性能的影響，發(fā)現(xiàn)結(jié)合面處的非線性特性對(duì)機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能會(huì)產(chǎn)生較大的影響．

德國(guó)Aachen工業(yè)大學(xué)研制的HSK 刀柄近年來在高速切削機(jī)床上得到普遍應(yīng)用，被認(rèn)為是目前最適用于高速切削的刀柄形式之一．HSK 刀柄與主軸的聯(lián)接結(jié)構(gòu)如圖1所示，刀柄與主軸采用短錐面和法蘭端面同時(shí)定位，刀柄為中空結(jié)構(gòu)，短錐面錐度為1∶10，刀柄與主軸之間通過附帶夾緊錐的拉桿鎖緊．這種錐面、端面雙面定位的接觸機(jī)制，為主軸－刀柄系統(tǒng)在軸向和徑向剛度及定位精度等方面提供了優(yōu)異的性能．然而，由于主軸與刀柄的設(shè)計(jì)采用了非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，比如HSKA 型刀柄錐柄端面設(shè)有兩個(gè)深度不一致的驅(qū)動(dòng)鍵槽、拉桿機(jī)構(gòu)中的螺紋聯(lián)接結(jié)構(gòu)、單刃刀片結(jié)構(gòu)、側(cè)邊緊固螺釘結(jié)構(gòu)等，以及制造、裝配過程產(chǎn)生的加工誤差，使主軸－刀柄系統(tǒng)中存在不可避免的偏心質(zhì)量．當(dāng)主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，偏心質(zhì)量成為主要的激振源，使整個(gè)主軸－刀柄系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，從而導(dǎo)致主軸和刀柄的彈性結(jié)合面處呈現(xiàn)出非常復(fù)雜的非線性特性．同時(shí)，由于離心力作用，主軸刀柄安裝錐面間隙在高轉(zhuǎn)速下將發(fā)生變化．本文以HSK 刀柄與主軸的結(jié)合面為研究對(duì)象，視主軸－刀柄結(jié)合面的雙面接觸部為一個(gè)可以用系統(tǒng)狀態(tài)變量描述的非線性單元，基于非參數(shù)化方法結(jié)合有限元分析法識(shí)別主軸－刀柄結(jié)合面的非線性動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，得到高轉(zhuǎn)速下結(jié)合面非線性接觸力的解析模型，為進(jìn)一步研究主軸－刀柄系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性提供條件．

圖1 主軸－刀柄聯(lián)接結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Spindle－h(huán)older system

1 主軸－刀柄結(jié)合面非線性參數(shù)識(shí)別

結(jié)合面問題從本質(zhì)上講是粗糙表面間的接觸問題，接觸問題是一種高度非線性行為，是狀態(tài)變化非線性類型中一個(gè)特殊而重要的子集．HSK 刀柄利用端面和錐面同時(shí)與主軸接觸定位，其結(jié)合面表現(xiàn)為彈性接觸，主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于接觸剛度、接觸阻尼及外部激勵(lì)力的存在，結(jié)合面產(chǎn)生徑向非線性接觸力f（x，）和切向非線性接觸力f（y，）．將刀柄與主軸分別看成質(zhì)量塊M1，M2，主軸－刀柄端面和錐面雙面接觸部看作可以用系統(tǒng)狀態(tài)變量（相對(duì)位移、相對(duì)速度）描述的非線性單元，得到如圖2所示的簡(jiǎn)化非線性振動(dòng)系統(tǒng)．

圖2 主軸－刀柄非線性振動(dòng)系統(tǒng)Fig．2 Spindle－h(huán)older nonlinear vibration system

徑向非線性接觸力f（x，）和切向非線性接觸力f（y，）的大小可表示為結(jié)合面相對(duì)位移和相對(duì)速度的組合［16］，即

式中：x，分別為結(jié)合面的徑向相對(duì)位移和徑向相對(duì)速度；y，分別為結(jié)合面的切向相對(duì)位移和切向相對(duì)速度；k1i，c1i，l1i，k2i，c2i，l2i為未知系數(shù)．目 前 大部分的相關(guān)研究都只考慮了主軸－刀柄結(jié)合面的線性剛度和線性阻尼，而忽略了它的非線性項(xiàng)．

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得圖2所示振動(dòng)系統(tǒng)中刀柄的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：Fr，F(xiàn)t分別為刀柄鎖緊機(jī)構(gòu)通過夾緊錐向刀柄施加的徑向和切向夾緊力；Fr（t），F(xiàn)t（t）分別為偏心質(zhì)量引起的徑向和切向外部激勵(lì)力，當(dāng)主軸－刀柄系統(tǒng)工作頻率為ω，偏心量為e時(shí)，F(xiàn)r（t），F(xiàn)t（t）大小分別為

式（2）中的（t），（t）分別為徑向和切向相對(duì)瞬態(tài)加速度，且

式中：x1，x2分別為刀柄和主軸結(jié)合面的徑向位移；分別為刀柄和主軸結(jié)合面的徑向速度；y1，y2分別為刀柄和主軸結(jié)合面的切向位移；1，2分別為刀柄和主軸結(jié)合面的切向速度．

由式（2）可得主軸－刀柄結(jié)合面的徑向和切向接觸力分別為

實(shí)驗(yàn)方法無法直接測(cè)量出主軸－刀柄結(jié)合面的瞬態(tài)響應(yīng)，因此，需要采用商業(yè)有限元分析軟件對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)進(jìn)行非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析．在有限元分析軟件中建立主軸－刀柄系統(tǒng)的有限元模型，為保證該有限元模型的正確性，對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行自由模態(tài)分析，并將得到的固有頻率與自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到的主軸－刀柄系統(tǒng)的固有頻率進(jìn)行對(duì)比，如存在差異則修正有限元模型．對(duì)修正后的主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析，得到結(jié)合面瞬態(tài)位移、瞬態(tài)速度及瞬態(tài)加速度的時(shí)間歷程表達(dá)式，結(jié)合式（5）可求得結(jié)合面非線性接觸力f（x，），f（y，）的時(shí)間歷程數(shù)據(jù)f（x（t），（t）），f（y（t），（t））．

為了確定式（1）中的未知系數(shù)，得到結(jié)合面非線性接觸力f（x，）及f（y，）的解析表達(dá)式，從x（t），（t），f（x（t），（t））的時(shí)間歷程中取出m個(gè)樣本點(diǎn)x（tm），（tm），f（x（tm），（tm）），從y（t），（t），f（y（t），（t））的時(shí)間歷程中取出m個(gè)樣本點(diǎn)y（tm），（tm），f（y（tm），（tm）），并分別對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行回歸分析．

式中：cij，dij為切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)；Tn（ζ）為切比雪夫多項(xiàng)式，即

切比雪夫多項(xiàng)式具有正交性，即

綜上，基于非參數(shù)化方法結(jié)合有限元分析技術(shù)識(shí)別主軸－刀柄結(jié)合面非線性動(dòng)態(tài)特征參數(shù)的流程圖如圖3所示．

2 算例

HSK63A 刀柄是在高速切削加工中得到廣泛應(yīng)用的一款刀柄，其形狀尺寸及相應(yīng)的主軸內(nèi)孔錐面的尺寸可根據(jù)德國(guó)標(biāo)準(zhǔn)DIN 69893－1：1996－01確定，HSK63A 刀柄的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)尺寸如圖4所示．

本算例擬采用的某公司生產(chǎn)的主軸與HSK63A刀柄的三維模型如圖5所示．設(shè)主軸－刀柄系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速為n＝24 000r·min－1，系統(tǒng)不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的偏心量為e＝0．02mm，通過拉桿的夾緊錐作用在刀柄內(nèi)孔30°斜面上的夾緊力沿主軸軸向方向的大小為F＝18kN．

圖3 主軸－刀柄結(jié)合面非線性動(dòng)態(tài)特征參數(shù)識(shí)別流程圖Fig．3 Flow chart of nonlinear dynamic parameter identification of spindle－h(huán)older interface

圖4 HSK63A 刀柄結(jié)構(gòu)圖（單位：mm）Fig．4 HSKA63Aholder（unit：mm）

圖5 主軸－HSK63A 刀柄三維模型Fig．5 3D model of spindle－HSK63Aholder

將主軸－HSK63A 刀柄系統(tǒng)的三維模型導(dǎo)入商業(yè)有限元分析軟件HyperWorks 的前處理模塊HyperMesh中，建立如圖6 所示的有限元分析模型．模型由刀柄、主軸以及它們之間的結(jié)合面組成，主軸與刀柄的端面接觸與錐面接觸部分均采用CONTACT 卡片設(shè)置，靜摩擦系數(shù)μs＝0．2，徑向和切向外部激勵(lì)力Fr（t），F(xiàn)r（t）采用TLOAD2卡片施加，并用DLOAD 卡片對(duì)徑向和切向外部激勵(lì)力Fr（t），F(xiàn)r（t）進(jìn)行組合．主軸及刀柄的材料采用45號(hào)鋼，因此，取密度ρ＝7．86×10－6kg·mm－3，彈性模量E＝206GPa，泊松比μ＝0．3．

圖6 主軸－HSK63A 刀柄系統(tǒng)有限元模型Fig．6 FEM model of spindle－HSK63Aholder

施加好所需的約束及載荷條件后，利用HyperWorks提供的Radioss求解器對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，得到主軸－刀柄系統(tǒng)的固有頻率，同時(shí)，對(duì)主軸－刀柄系統(tǒng)進(jìn)行自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)，測(cè)得主軸－刀柄系統(tǒng)的固有頻率．根據(jù)兩種方法得到的固有頻率的對(duì)比結(jié)果，通過細(xì)化有限元網(wǎng)格及調(diào)整接觸對(duì)的參數(shù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，最終確定有限元單元網(wǎng)格長(zhǎng)度為2．5mm，接觸對(duì)設(shè)置參數(shù)中的靜摩擦系數(shù)調(diào)整為0．215．最終得到的有限元模型模態(tài)分析同模態(tài)實(shí)驗(yàn)的前6階固有頻率對(duì)比如表1所示，從表中可以看出，修正后的有限元模型得到的結(jié)果同模態(tài)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果比較接近，因此，可以認(rèn)為此有限元模型較真實(shí)地模擬了主軸－刀柄的實(shí)際系統(tǒng)，能夠反映真實(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性．

表1 主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模態(tài)及實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的固有頻率Tab．1 Natural frequencies of FEA and mode test

在HyperMesh中設(shè)置主軸前軸承支撐處的徑向和軸向位移為0，后軸承支撐處的徑向位移為0，即使主軸－刀柄系統(tǒng)僅保留繞軸向轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)自由度，然后設(shè)置主軸－刀柄系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速為24 000r·min－1．利用Radioss求解器對(duì)修正后的主軸－刀柄系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析，可得到主軸－刀柄雙面接觸部位于刀柄上的11個(gè)節(jié)點(diǎn)在轉(zhuǎn)速為24 000r·min－1時(shí)的相對(duì)瞬態(tài)位移、相對(duì)瞬態(tài)速度及相對(duì)瞬態(tài)加速度，取其平均值表示主軸－刀柄結(jié)合面的相對(duì)瞬態(tài)位移、相對(duì)瞬態(tài)速度及相對(duì)瞬態(tài)加速度．因?yàn)橹鬏S－刀柄結(jié)合面徑向非線性接觸力與切向非線性接觸力的求解過程基本相同，故本算例僅介紹切向非線性接觸力的求解過程．主軸－刀柄結(jié)合面處的切向相對(duì)瞬態(tài)位移、切向相對(duì)瞬態(tài)速度及切向相對(duì)瞬態(tài)加速度時(shí)間歷程分別如圖7、圖8、圖9所示．

圖7 切向相對(duì)瞬態(tài)位移y（t）Fig．7 Tangential relative transient displacement y（t）

圖8 切向相對(duì)瞬態(tài)速度（t）Fig．8 Tangential relative transient velocity （t）

圖9 切向相對(duì)瞬態(tài)加速度（t）Fig．9 Tangential relative transient acceleration （t）

由圖7、圖8、圖9所示的切向相對(duì)瞬態(tài)位移、切向相對(duì)瞬態(tài)速度、切向相對(duì)瞬態(tài)加速度的時(shí)間歷程及圖10 所示的切向外部激勵(lì)力時(shí)間歷程，根據(jù)式（5）可得到結(jié)合面徑向接觸力的時(shí)間歷程數(shù)據(jù)．

圖10 切向外部激勵(lì)力Ft（t）＋FtFig．10 Tangential excitation force Ft（t）＋Ft

以相同的時(shí)間間距Δt＝0．4s，從各個(gè)瞬態(tài)響應(yīng)值中取出50對(duì)相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)作為樣本點(diǎn)，即樣本點(diǎn)為

應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合，最終得到主軸－刀柄結(jié)合面切向非線性接觸力的表達(dá)式為

同理可得主軸－刀柄結(jié)合面徑向非線性接觸力的表達(dá)式為

3 驗(yàn)證

Hyperworks軟件中提供了允許用戶定義載荷位移非線性關(guān)系的非線性彈簧單元．為了驗(yàn)證前面得到的主軸－刀柄結(jié)合面非線性接觸力計(jì)算模型的正確性，在Radioss中采用非線性彈簧單元模擬刀柄承受的如式（10）及式（11）所示的非線性接觸力，對(duì)刀柄有限元模型進(jìn)行直接頻響分析，然后對(duì)整個(gè)主軸－刀柄系統(tǒng)的有限元模型進(jìn)行直接頻響分析，分別得到刀柄前端中心部位的頻響函數(shù)如圖11所示．從圖中可以看出，兩種頻響曲線較為一致，說明采用本文得到的非線性接觸力計(jì)算模型進(jìn)行主軸－刀柄系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析能夠得到理想的分析結(jié)果．

圖11 施加非線性接觸力的刀柄及主軸－刀柄頻響函數(shù)Fig．11 Frequency response functions of holder with the nonlinear contact force and spindle－h(huán)older system

4 結(jié) 語

基于非參數(shù)化方法結(jié)合有限元分析技術(shù)提出了一種主軸－刀柄結(jié)合面非線性動(dòng)態(tài)特征參數(shù)的識(shí)別方法．將主軸－刀柄結(jié)合面視為一個(gè)聯(lián)結(jié)主軸和刀柄的非線性單元，并對(duì)主軸－刀柄結(jié)合面有限元模型的非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析結(jié)果應(yīng)用切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行最小二乘法擬合，最終得到了主軸－刀柄結(jié)合面之間徑向和切向非線性接觸力的解析模型，并通過算例與有限元頻響分析驗(yàn)證了該方法的有效性．此非線性接觸力模型可直接應(yīng)用于后續(xù)的主軸－刀柄系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模中，為進(jìn)一步研究整個(gè)主軸－刀柄系統(tǒng)的整體動(dòng)態(tài)特性提供了必要條件．

［1］ 蔣書運(yùn)，祝書龍．帶滾珠絲杠副的直線導(dǎo)軌結(jié)合部動(dòng)態(tài)剛度特性［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（1）：92．JIANG Shuyun， ZHU Shulong． Dynamic characteristic parameters of linear guideway joint with ball screw［J］．Journal of Mechanical Engineering，2010，46（1）：92．

［2］ Yuan J X，Wu X M．Identification of the joint structural parameters of machine tool by DDS and FEM［J］．Journal of Engineering for Industry，1985，107：64．

［3］ Kim S M，Ha J H，Jeong S H，et al．Effect of joint conditions on the dynamic behavior of a grinding wheel spindle［J］．International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2001，41（12）：1749．

［4］ Becker P J W，Wynn R H，Berger E J，et al．Using rigid－body dynamics to measure joint stiffness［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，1999，13（5）：789．

［5］ Aoyama T，Inasaki I．Performances of HSK tool interfaces under high rotational speed ［J］． Cirp Annals—Manufacturing Technology，2001，50（1）：281．

［6］ Hanna I M，Agapiou J S，Stephenson D A．Modeling the HSK toolholder－spindle interface［J］．Journal of Manufacturing Science and Engineering Transactions of the Asme，2002，124（3）：734．

［7］ Agapiou J S．A methodology to measure joint stiffness parameters for toolholder－spindle interfaces［J］．Journal of Manufacturing Systems，2005，24（1）：13．

［8］ Agapiou J S．Estimating the static stiffness for a spindletoolholder－tooling system ［J］． Machining Science and Technology，2008，12（1）：77．

［9］ Ozsahin O，Erturk A，Ozguven H N，et al．A closed－form approach for identification of dynamical contact parameters in spindle－h(huán)older－tool assemblies［J］．International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2009，49（1）：25．

［10］ Erturk A，Ozguven H N，Budak E．Analytical modeling of spindle－tool dynamics on machine tools using Timoshenko beam model and receptance coupling for the prediction of tool point FRF［J］．International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2006，46（15）：1901．

［11］ Erturk A，Ozguven H N，Budak E．Effect analysis of bearing and interface dynamics on tool point FRF for chatter stability in machine tools by using a new analytical model for spindle－tool assemblies［J］．International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2007，47（1）：23．

［12］ Namazi M，Altintas Y， Abe T，et al． Modeling and identification of tool holder－spindle interface dynamics［J］．International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2007，47（9）：1333．

［13］ 張松，艾興，趙軍．高速主軸／刀具聯(lián)結(jié)的參數(shù)化有限元法優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2004，40（2）：83．ZHANG Song，AI Xing，ZHAO Jun．FEM－based parametric optimum design of spindle／toolholder interfaces under high rotational speed［J］．Journal of Mechanical Engineering，2004，40（2）：83．

［14］ 馬宇箭，唐小琦，毛寬民，等．?dāng)?shù)控機(jī)床主軸刀柄錐配合結(jié)合部動(dòng)力學(xué)建模［J］．華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，39（1）：75．MA Yujian，TANG Xiaoqi，MAO Kuanmin，et al．Dynamics model for the conical joint of spindle and tool holder on NC machine tools［J］．Journal of Huazhong University of Science and Technology：Natural Science Edition，2011，39（1）：75．

［15］ Dhupia J S，Powalka B，Ulsoy A G，et al．Effect of a nonlinear joint on the dynamic performance of a machine tool［J］．Journal of Manufacturing Science and Engineering—Transactions of the Asme，2007，129（5）：943．

［16］ Dhupia J S，Ulsoy A G， Katz R，et al． Experimental identification of the nonlinear parameters of an industrial translational guide for machine performance evaluation［J］．Journal of Vibration and Control，2008，14（5）：645．

［17］ Masri S F，Sassi H，Caughey T K．Nonparametric identification of nearly arbitrary nonlinear systems［J］．Journal of Applied Mechanics，1982，49（3）：619．

［18］ Masri S F，Bekey G A，Sassi H，et al． Nonparametric identification of a class of nonlinear multidegree dynamic systems［J］．Earthquake Engineering ＆Structural Dynamics，1982，10（1）：1．