基于突變理論的列車脫軌機理研究

李竹文，戴煥云

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都 610031)

有關列車脫軌的理論與試驗研究成果豐碩［1］，最早研究脫軌問題的法國科學家Nadal根據(jù)車輪出現(xiàn)爬軌趨勢的靜力平衡條件，定義了車輪爬軌所需的最小脫軌系數(shù)，即著名的 Nadal公式［2］。盡管 Nadal準則一直被廣泛采用，但它較保守，求得的脫軌系數(shù)不能很好地反映車輪脫軌的安全性［3-5］。試驗中發(fā)現(xiàn)，即使運行車輛脫軌系數(shù)大大超過了Nadal脫軌評判標準，但車輛也未出現(xiàn)明顯的脫軌現(xiàn)象;而對脫軌事故的調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)脫軌車輛和事故發(fā)生地點的線路狀態(tài)往往符合現(xiàn)有安全標準。

脫軌系數(shù)的推導是基于單輪對準靜態(tài)條件，這與當今車輛的實際運行狀況有很大差別。高速車輛輪軌間的動態(tài)作用效應較強，難以僅用一個簡單的脫軌系數(shù)來揭示動態(tài)脫軌機理。由于輪軌關系非常復雜，影響脫軌的因素較多，至今人們對脫軌的機理并未完全掌握。因此，有必要對現(xiàn)行的脫軌評判標準和方法重新認識和分析，尋求更為合理和直觀的評判方法。突變理論為脫軌理論的研究提供了新思路，本文應用突變理論中的突變模型，綜合考慮影響列車脫軌的幾個因素，建立列車脫軌突變模型對脫軌問題進行分析。

1 突變理論簡介

突變理論(Catastrophe Theory)是法國數(shù)學家Thom于20世紀70年代提出的一種拓撲學理論［6］，用于研究動態(tài)系統(tǒng)在連續(xù)發(fā)展過程中出現(xiàn)突然變化的現(xiàn)象，解釋突然變化與連續(xù)變化因素之間的關系，能直接處理不連續(xù)性的問題，適用于內(nèi)部作用機理未知系統(tǒng)的研究。它以拓撲學、奇點理論和結構穩(wěn)定性理論等數(shù)學理論為主要工具，建立突變模型，描述現(xiàn)實世界某些事物形態(tài)、結構突然變化的規(guī)律。突變理論認為突變與漸變的本質(zhì)區(qū)別是系統(tǒng)勢函數(shù)在臨界點的附近有無“不連續(xù)”，通過分析分叉集的性質(zhì)來實現(xiàn)對突變現(xiàn)象的界定與控制［7-8］。Thom在突變理論中研究了初等函數(shù)的分類問題，通過建立微分方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，對梯度系統(tǒng)中的奇點進行了分類。在最近幾十年學者不僅將突變理論應用于數(shù)學、力學和物理等自然科學領域中，還將它應用于醫(yī)學、生物學、經(jīng)濟學、社會科學以及人文科學等領域，均取得了豐碩成果［9-11］。

隨著科學技術的發(fā)展，系統(tǒng)規(guī)模的擴大、數(shù)目的增多造成了系統(tǒng)之間的關系復雜化，因此對系統(tǒng)之間關系的研究也變得越來越困難。突變理論在解決類似的問題時具有一定的優(yōu)勢。根據(jù)突變理論的研究對象、發(fā)展歷史及其應用領域來看，突變理論在非線性科學中是一種很有用的數(shù)學工具。

1.1 突變特征

突變現(xiàn)象通常有幾個基本的特征:①多模態(tài)。系統(tǒng)狀態(tài)空間中可能出現(xiàn)兩個或多個穩(wěn)定狀態(tài)，因而在改變參數(shù)時，系統(tǒng)才可能發(fā)生突變。②不可達性。在不同穩(wěn)定狀態(tài)中存在著不穩(wěn)定的狀態(tài)，系統(tǒng)從一個穩(wěn)態(tài)向另一個穩(wěn)態(tài)躍遷的過程中直接跨過了這個態(tài)，不穩(wěn)定的狀態(tài)在實際中是不可達的。③發(fā)散?？刂茀?shù)數(shù)值的有限變化會導致狀態(tài)變量平衡位置數(shù)值的有限變化。不同控制參數(shù)的取值使系統(tǒng)發(fā)生變化，而從一個穩(wěn)態(tài)向另一個穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)變是突然完成的。通常，控制參數(shù)數(shù)值的一個小攝動只引起狀態(tài)變量的初值和終值的微小變化，但在退化臨界點附近，控制參數(shù)初值的微小變化卻可能導致狀態(tài)變量終值的很大變化。物理過程的這種對控制參數(shù)路徑攝動的不穩(wěn)定性稱為發(fā)散。④突跳。系統(tǒng)的突跳性是最常觀察到也是最容易使人想到的可以應用突變理論的突變指征。突跳意味著系統(tǒng)勢能在很短時間內(nèi)有一個很大的改變。⑤滯后。突變的發(fā)生與控制變量變化的方向有關，控制變量從一個方向變化和控制變量從另外一個方向變化發(fā)生突變的狀態(tài)是不相同的，有滯后現(xiàn)象。在分岔曲線附近，控制參量變化路徑的微小不同會引起系統(tǒng)產(chǎn)生完全不相同的狀態(tài)。

1.2 突變模型

系統(tǒng)中出現(xiàn)兩個以上突變特征時，可以考慮采用突變模型對系統(tǒng)進行分析，通過選取狀態(tài)變量和控制變量，建立突變模型對問題進行求解。具體的突變模型及使用參數(shù)如下:

1)折疊突變系統(tǒng)模型

勢函數(shù)V(x)=x3+ux，1個狀態(tài)變量x，1個控制變量u，突變流形

2)尖點突變系統(tǒng)模型

V(x)=x4+ux2+vx，1個狀態(tài)變量，2個控制變量u，v，突變流形

3)燕尾突變系統(tǒng)模型

V(x)=x5+ux3+vx2+wx，1個狀態(tài)變量，3個控制變量 u，v，w，突變流形

4)蝴蝶突變系統(tǒng)模型

V(x)=x6+tx4+ux3+vx2+wx，1 個狀態(tài)變量，4個控制變量 t，u，v，w，突變流形

5)雙曲臍點突變模型

V(x，y)=x3+y3+wxy－ux－vy，2個狀態(tài)變量 x和y，3個控制變量，突變流形

6)橢圓臍點突變模型

V(x，y)=(1/3)x3－ x2y+w(x2+y2)－ ux+vy，2個狀態(tài)變量，3個控制變量，突變流形

7)拋物臍點突變模型

V(x，y)=y4+x2y+wx2+ty2－ux－vy，2個狀態(tài)變量，4個控制變量，突變流形

式中，V(x)表示一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量x和y的勢函數(shù)，狀態(tài)變量的系數(shù)u、v、w、t表示該狀態(tài)變量的控制變量(更復雜的系統(tǒng)一般不適用此方法)。

2 列車脫軌突變模型

動態(tài)系統(tǒng)的勢函數(shù)表示系統(tǒng)具有某種趨向的能力，可以描述為V=V(x，c)，其中x為系統(tǒng)狀態(tài)變量(系統(tǒng)輸出變量)，c為系統(tǒng)控制變量(系統(tǒng)外部輸入變量)。當勢函數(shù)一階導數(shù)為0，其 Hessen矩陣不等于0時的點稱為孤立臨界點(Morse點)，系統(tǒng)的狀態(tài)呈連續(xù)光滑的變化;當勢函數(shù)一階導數(shù)及Hessen矩陣均為0時的點稱為非孤立臨界點(非Morse點)，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生突變。因此突變理論的關鍵便是尋求非孤立臨界點構成的集合(分叉集)，對其進行分析以揭示系統(tǒng)突變的形式及發(fā)生的機制。

列車運行過程中脫軌是一個復雜的變化過程。按照系統(tǒng)論觀點，一方面，列車在軌道運行過程中持續(xù)受到脫軌系數(shù)和沖角兩個因素的共同作用，這兩個要素和列車運行狀態(tài)一起組成了一個動態(tài)系統(tǒng);另一方面，列車脫軌是一個連續(xù)性與突變性相統(tǒng)一的發(fā)展過程。連續(xù)性指系統(tǒng)內(nèi)部“列車運行狀態(tài)—脫軌系數(shù)—沖角”各要素的不安全狀態(tài)變化是一個連續(xù)積累漸變的過程，具有一定的規(guī)律性;而導致的結果(列車脫軌)卻是直接由安全狀態(tài)到危險狀態(tài)的不連續(xù)突變結果。由此可見，列車脫軌的發(fā)生可以理解為系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)脫軌系數(shù)和沖角(控制參數(shù))的連續(xù)變化引起系統(tǒng)狀態(tài)的突然質(zhì)變，系統(tǒng)從安全運行狀態(tài)轉(zhuǎn)化為脫軌狀態(tài)實際上是一種突變現(xiàn)象。因此，將突變理論應用于列車脫軌成因機理分析中，建立列車脫軌突變模型來解釋和描述列車脫軌的發(fā)生過程是可行和必要的。

2.1 列車脫軌尖點突變模型的建立

基于以上分析，列車在運行過程中主要受到脫軌系數(shù)與沖角的共同作用，此時列車的運行狀態(tài)是非控制的。列車脫軌勢函數(shù)V=V(x，c)，其中V表示列車運行系統(tǒng)保持穩(wěn)定運行趨勢的能力;x表示列車運行系統(tǒng)安全狀態(tài)變量，表示系統(tǒng)總體是否安全，為一維變量;c表示影響列車運行系統(tǒng)安全狀態(tài)變化的控制變量即前面提到的列車脫軌系數(shù)和沖角，為二維變量。因此列車脫軌事故系統(tǒng)是通過二維控制變量(脫軌系數(shù)和沖角)以及一維狀態(tài)變量(列車運行系統(tǒng)安全狀態(tài))來共同反映列車運行系統(tǒng)的勢能。根據(jù)前文中提到的各突變模型的維數(shù)分析，應選用尖點突變模型對列車脫軌事故進行模擬。在用突變控制理論研究列車在軌道運行狀態(tài)時，脫軌系數(shù)與沖角為控制變量，分別設為u和v，已知列車運行狀態(tài)x為狀態(tài)變量，則列車在運行中的突變特性可以通過尖點突變模型來描述，尖點突變模型的勢函數(shù)為

狀態(tài)空間是三維的(x，u，v)，狀態(tài)變量為 x，控制變量有兩個，即u和v。由勢函數(shù)對狀態(tài)變量求導得平衡曲面M的方程

它在三維空間(x，u，v)中的圖形稱為突變流形，這是一個有褶皺的曲面，列車運行系統(tǒng)的所有臨界點都在該曲面上，而在不同的區(qū)域內(nèi)平衡位置也是不同的。系統(tǒng)的安全狀態(tài)變量x受到控制變量u和v的約束，隨控制變量的變化而變化。在突變理論中，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，安全狀態(tài)變量取得唯一極值，此時對應于上下葉的平衡位置是穩(wěn)定的;當系統(tǒng)的安全狀態(tài)變量x多于一個極值時，系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，此時對應于中葉的勢函數(shù)取得最大值。

對平衡曲面方程M求導，得到的非孤立奇點集S滿足方程

且是平衡曲面M的一個子集。

聯(lián)立

消去 x，得

此式即為分叉集B，是奇點集S在控制平面u—v上的投影。由于分叉集是同時滿足平衡曲面方程和平衡曲面對狀態(tài)變量的導數(shù)方程，故分叉集在控制平面上的表達式為

寫成分解的形式為

把列車運行狀態(tài)系統(tǒng)的平衡曲面M和分叉集B繪制出來，得到列車脫軌尖點突變模型，如圖1所示。

圖1 列車脫軌尖點突變模型

2.2 突變分析

綜上所述，列車運行過程中在脫軌系數(shù)和沖角作用下的突變機制可以通過尖點突變模型圖進行定性描述。列車運行的狀態(tài)由坐標空間中的點表示，故相點必在平衡曲面上。圖1中的曲面表示列車運行過程中系統(tǒng)平衡曲面，底平面是脫軌系數(shù)和沖角兩個控制變量所在的平面，控制平面上的曲線即為分叉集。平衡曲面的上下兩葉是穩(wěn)定結構，中葉是不穩(wěn)定的。平衡曲面的上葉代表列車運行過程中在受脫軌系數(shù)和沖角作用前的穩(wěn)定狀態(tài);中葉帶有褶皺部分為不可達區(qū)域，為一對多區(qū)域，表示系統(tǒng)發(fā)生突變現(xiàn)象，即發(fā)生列車脫軌;下葉代表列車運行過程中在受脫軌系數(shù)和沖角作用后姿態(tài)發(fā)生突變脫軌后的另一穩(wěn)定狀態(tài)。中葉褶皺投影到底面控制平面，便得到分叉集，它形象地表明列車脫軌的發(fā)生條件，即當列車運行系統(tǒng)中的兩控制變量(脫軌系數(shù)和沖角)落入分叉集時，系統(tǒng)狀態(tài)變量x突變引發(fā)列車脫軌。所以穩(wěn)定的列車運行狀態(tài)應在曲面上葉或在曲面的下葉上，中葉對應于不穩(wěn)定狀態(tài)，也就是列車運行狀態(tài)發(fā)生突變的那一刻的狀態(tài)。

當控制軌跡越過分叉點集，若相點恰好在曲面終止的邊緣上(曲面回折形成的中葉處)，則它必定跳躍到另一葉上，這樣就導致了列車運行狀態(tài)x的突變。也就是當點P在控制空間上移動時，勢函數(shù)V(x)值為最小值，對應于狀態(tài)的穩(wěn)定平衡;當P在尖點范圍(分叉集B)里時，勢函數(shù)V(x)有兩個極小值，它們互相牽引，由Maxwell約定，系統(tǒng)總是轉(zhuǎn)移到使它的勢全局極小的穩(wěn)定平衡位置。故在此不穩(wěn)定狀態(tài)下，列車運行狀態(tài)變量x不是跳回到平衡曲面上葉就是跳到平衡曲面的下葉，最終導致了系統(tǒng)狀態(tài)的突變。

將分叉集分為兩部分，如圖2所示。左半部分為列車由穩(wěn)定運行狀態(tài)向脫軌狀態(tài)變化，右半部分為列車由突跳狀態(tài)向穩(wěn)定運行狀態(tài)變化。列車脫軌突變從起動到發(fā)展的過程就是從上葉到下葉躍遷的過程。圖2中分叉集的陰影部分為引發(fā)突變發(fā)生列車脫軌的危險區(qū)域。脫軌系數(shù)和沖角為控制變量，它們的運動軌跡在控制空間內(nèi)，為一個平面。隨著控制變量u和v的變化，(u，v)點劃出一條控制軌跡。同時，相點沿著控制軌跡上方的平衡曲面上的一條軌跡移動。u和v的平穩(wěn)變化幾乎總引起x的平穩(wěn)變化。

圖2 分叉集

由圖2可以得到:隨著沖角的增大，危險區(qū)域變大，脫軌的危險性增大;對應一個較小的脫軌系數(shù)值，在沖角很大時，脫軌的危險性依然存在;在沖角很小時，危險區(qū)域邊界對應的脫軌系數(shù)比沖角大時對應的脫軌系數(shù)值要大;減小沖角，從而減小危險區(qū)域，有利于防止列車脫軌。

分叉集右半部分表示列車運行狀態(tài)變量x跳回到平衡曲面的上葉，即為列車跳起軌道運行一段時間后沒有脫軌，而是車輪掉落回軌道，重新繼續(xù)穩(wěn)定運行，也就是說列車在脫軌系數(shù)和沖角作用下回到了初始的穩(wěn)定狀態(tài)，稱此突變?yōu)橛幸嫱蛔儯戳熊囋谶\行過程中經(jīng)受住了脫軌系數(shù)和沖角的共同作用而運行狀態(tài)未發(fā)生變化。這樣就解釋了在調(diào)查列車脫軌時發(fā)現(xiàn)列車在軌道上表面運行一小段距離又掉落回軌道的現(xiàn)象。

3 實例仿真分析

本文選用某型列車應用Simpack動力學軟件進行多體系統(tǒng)建模，應用突變理論分析列車脫軌現(xiàn)象?？紤]車體質(zhì)量、構架和輪對的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心幾何位置、懸掛參數(shù)等，建立車輛系統(tǒng)動力學仿真模型。對該模型在一定的運行速度工況下施加軌道激勵譜后，分別對其脫軌系數(shù)、沖角等特性分3種工況進行計算。工況一、二、三對應速度等級分別為150，200和250 km/h。各工況脫軌系數(shù)時間歷程和沖角時間歷程見圖3～圖5。

對圖3～圖5在不同的速度級別下運行的脫軌系數(shù)值和沖角進行分析，得到脫軌系數(shù)隨沖角的變化分布情況，見圖6～圖8。

圖3 工況一

圖4 工況二

圖5 工況三

圖6 工況一

圖7 工況二

圖8 工況三

由圖6～圖8可得:對應于不同速度等級，脫軌危險區(qū)域主要集中分布在正沖角部分，負沖角有利于防止脫軌;對于較小的沖角，脫軌系數(shù)超過臨界脫軌系數(shù)標準時列車脫軌危險性不大;對于較大的沖角，雖然脫軌系數(shù)未超過脫軌系數(shù)臨界值，列車脫軌危險性卻很大。在相同脫軌系數(shù)下，減小沖角有利于防止脫軌。

4 結語

本文利用突變理論中的尖點突變模型，以脫軌系數(shù)和沖角為控制變量，建立列車脫軌突變模型，研究列車在行駛過程中受到控制變量作用運行狀態(tài)發(fā)生突變的情形。通過建立車輛動力學模型，分析了在不同速度下列車脫軌系數(shù)和沖角的分布，以驗證突變分析結果。

本文所建立的列車脫軌突變模型，是列車脫軌機理研究的一種新方法，同時也將突變理論開拓性地應用到列車脫軌分析中，提出一種全新的列車脫軌解釋。由于輪軌問題的復雜性，影響列車脫軌的因素眾多，列車脫軌突變過程十分復雜，建立更為具體的列車脫軌評判標準將是以后重點研究的目標。

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